数学-自我小测：合情推理与演绎推理（第课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．下列说法正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理就是从一般到特殊的推理D．类比推理就是从特殊到特殊的推理2．在平面直角坐标系内,方程eq\f（x，a)＋eq\f（y,b)＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线,拓展到空间，在x,y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的直线方程为（)A．eq\f(x,a）＋eq\f(y,b）＋eq\f（z，c)＝1B．eq\f（x，ab）＋eq\f（y，bc)＋eq\f(z，ac）＝1C．eq\f（xy,ab）＋eq\f(yz,bc）＋eq\f(zx,ac）＝1D．ax＋by＋cz＝13．如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列{an｝的前4项,则这个数列的一个通项公式为（)A．an＝3n－1B．an＝3nC．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－34．如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2004到2006的箭头方向依次为()A．→↑B．↑→C．↓→D．→↓5．在数学解题中,常会碰到形如“eq\f(x＋y,1－xy)"的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足eq\f（asin\f（π,5)＋bcos\f（π，5）,acos\f(π,5)－bsin\f(π,5））＝taneq\f(8π,15），则eq\f(b,a）＝（)A．4B．eq\r(15)C．2D．eq\r（3)6．设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列｛bn}的前n项积为Tn，则T4,__________，__________，eq\f（T16,T12)成等比数列．7．设｛an}是首项为1的正数项数列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n∈N*),经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．8．在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f（AC，BC),将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为__________．9．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2），sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f（3，2），通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题，并给出证明．10．在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α,β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．

参考答案1．解析：归纳推理和类比推理统称为合情推理，合情推理得到的结论不一定正确，故选项A，B错误；因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，故选项C错误;类比推理就是从特殊到特殊的推理，故选项D正确．答案:D2．C3．解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想an＝3n－1.答案：A4．解析：观察总结规律为:以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，2004到2006的箭头方向和0到2的箭头方向是一致的．故选C．答案：C5．解析：将已知式变形，得eq\f（asin\f（π,5)＋bcos\f（π,5),acos\f(π,5)－bsin\f(π，5))＝eq\f（atan\f（π，5）＋b,a－btan\f（π，5））＝eq\f（tan\f（π,5)＋\f(b，a),1－\f(b，a)tan\f（π,5)）＝taneq\f（8π，15)，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，可知只有当eq\f(b，a）＝taneq\f（π，3）＝eq\r（3）时，上式成立．答案：D6．解析：将等差数列中的运算类比等比数列中的运算时，加法类比于乘法，减法类比于除法，故可得类比结论为：设等比数列｛bn}的前n项积为Tn，则T4，eq\f（T8,T4）,eq\f(T12，T8），eq\f（T16,T12)成等比数列．答案：eq\f(T8,T4)eq\f（T12,T8)7．解析：由首项为1，得a1＝1；当n＝1时，由2a22－1＋a2＝0,得a2＝eq\f（1，2）；当n＝2时，由3a32－2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)））2＋eq\f(1,2）a3＝0，即6a32＋a3－1＝0，解得a3＝eq\f（1,3）；…归纳猜想该数列的通项公式为an＝eq\f(1，n）(n∈N＊）．答案：an＝eq\f（1，n)(n∈N＊）8．解析：平面中的面积类比到空间为体积,故eq\f（S△AEC，S△BEC）类比成eq\f（VA－CDE,VB－CDE).平面中的线段长类比到空间为面积，故eq\f(AC,BC)类比成eq\f(S△ACD，S△BCD）。故有eq\f（VA－CDE,VB－CDE)＝eq\f(S△ACD，S△BDC）.答案：eq\f（VA－CDE,VB－CDE）＝eq\f（S△ACD,S△BDC)9．解:通过观察可得一般性的命题为sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2（α＋60°)＝eq\f(3,2).证明如下：左边＝eq\f（1－cos(2α－120°），2）＋eq\f（1－cos2α，2）＋eq\f（1－cos(2α＋120°),2)＝eq\f(3,2）－eq\f(1，2)[cos(2α－120°）＋cos2α＋cos(2α＋120°）]＝eq\f（3,2）－eq\f(1,2)（cos2αcos120°＋sin2αsin120°＋cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°)＝eq\f（3，2)＝右边，所以该一般性的命题成立．10．解:如图①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a，c）))2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（b,c)））2＝eq\f(a2＋b2，c2)＝eq\f（c2，c2）＝1。于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.证明如下：如图②,cos2α＋cos2β＋cos2γ＝eq\b\lc