数学-自我小测：反证法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（)①结论的否定,即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等;④原结论．A．①②B．①②④ C．①②③D．②③2．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是(）A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a,b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b,c至多有两个是偶数3．如果两个数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数C．至少有一个是正数 D．两个都是负数4．已知x1＞0，x1≠1且xn＋1＝eq\f（xnx\o\al(2，n）＋3,3x\o\al（2,n)＋1)（n＝1,2，…)．试证：数列{xn｝或者对任意正整数n都满足xn＜xn＋1，或者对任意的正整数n都满足xn＞xn＋1.当此题用反证法否定结论时,应为（）A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1B．存在正整数n,使xn＝xn＋1C．存在正整数n,使xn≥xn－1且xn≥xn＋1D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1）≥05．设x，y，z∈(0，＋∞），a＝x＋eq\f（1，y）,b＝y＋eq\f(1,z),c＝z＋eq\f(1，x)，则a，b，c三数(）A．至少有一个不小于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．都大于26．命题“a，b是实数，若|a－1｜＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．7．设实数a，b,c满足a＋b＋c＝1，则a,b，c中至少有一个数不小于__________．8．已知a，b，c，d∈R,且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证:a，b，c,d中至少有一个是负数．9．已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：eq\f(1，a)，eq\f(1,b），eq\f(1,c)不能构成等差数列．10．求证：过直线a外一点P，有且只有一条直线与这条直线平行．参考答案1．解析:原结论不能作为条件使用．答案:C2．解析：“至少有一个是偶数”的否定是“都不是偶数”．答案：B3．解析:这两个数中至少有一个数是正数，否则,若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：C4．解析：“或者对任意正整数n都满足xn＜xn＋1,或者对任意正整数n都满足xn＞xn＋1”的否定是“存在正整数n，使xn＝xn＋1答案：B5．解析：假设a，b，c三个数均小于2,即x＋eq\f(1,y)＜2,y＋eq\f(1，z)＜2,z＋eq\f（1,x)＜2，于是有eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,y））)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1，z)））＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（z＋\f（1,x))）＜6。而又有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,y)））＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(y＋\f（1,z）））＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(z＋\f(1，x））)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(1，x）)）＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（y＋\f(1,y)))＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(z＋\f(1，z））)≥2＋2＋2＝6，这与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1，y）))＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(y＋\f(1，z)）)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(z＋\f（1，x)））＜6相矛盾,故假设错误，即a，b，c中至少有一个不小于2。答案:A6．解析：“a＝b＝1"即“a＝1且b＝1”，其否定为“a≠1或b≠1”．答案：a≠1或b≠17．解析：假设a，b，c都小于eq\f（1,3)，则a＋b＋c＜1。故a，b，c中至少有一个不小于eq\f（1,3）.答案：eq\f（1，3）8．证明：假设a，b，c，d都是非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，由于a＋b＝c＋d＝1,所以(a＋b）（c＋d)＝（ac＋bd)＋(ad＋bc)＝1,于是ac＋bd＝1－（ad＋bc）≤1,这与ac＋bd＞1相矛盾,故假设不成立，即a,b,c，d中至少有一个是负数．9．证明：假设eq\f（1，a），eq\f(1,b），eq\f（1，c)能构成等差数列，则有eq\f(2,b）＝eq\f（1，a)＋eq\f（1，c)，于是得bc＋ab＝2ac而由于a，b，c构成等差数列,即2b＝a＋c.②所以由①②两式得(a＋c）2＝4ac即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立,因此eq\f（1,a）,eq\f(1,b），eq\f(1,c）不能构成等差数列．10．证明:∵点P在直线a外，∴点P和直线a确定一