数学自我小测：反证法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．“M不是N的子集”的充分必要条件是()A．若x∈M,则x∉NB．若x∈N，则x∈MC．存在x1∈M，且x1∈N，又存在x2∈M，但x2∉ND．存在x0∈M，但x0∉N2．有下列说法：①“a＞b"的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”．其中正确的说法有()A．0个B．1个C．2个D．3个3．设a，b，c都是正数，则三个数a＋eq\f（1，b),b＋eq\f（1，c),c＋eq\f（1，a）（)A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于24．已知x1＞0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)．试证:“在数列{xn}中，对任意正整数n都满足xn＜xn＋1,或者对任意的正整数n都满足xn＞xn＋1，”当此题用反证法否定结论时,应为（)A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xn＝xn＋1C．存在正整数n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1D．存在正整数n，使（xn－xn－1)（xn－xn＋1)≥05．已知数列｛an｝，｛bn}的通项公式分别为an＝an＋2,bn＝bn＋1（a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是(）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个6．证明命题“任何三角形的三个内角中至少有两个是锐角”成立时，应假设__________．7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误;②所以一个三角形不能有两个直角;③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A＝90°，∠B＝90°。上述步骤的正确顺序为__________．8．完成下面用反证法证题的全过程．题目：设a1，a2,…,a7是1，2，…，7的一个排列,求证：乘积p＝（a1－1)（a2－2）…（a7－7）为偶数．9．已知：a∥b,a∩平面α＝A，如图所示,求证:直线b与平面α必相交10．已知a1，a2，a3，…，an和b1,b2，b3,…，bn都是正数，且aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al（2,2）＋aeq\o\al（2,3)＋…＋aeq\o\al（2,n）＝beq\o\al(2，1)＋beq\o\al（2，2)＋beq\o\al（2，3)＋…＋beq\o\al（2，n).求证：eq\f(a1,b1),eq\f(a2，b2),eq\f（a3，b3),…，eq\f(an,bn)中的最小数一定不大于1.11．已知函数f（x）＝ax＋eq\f（x－2，x＋1)(a＞1）．用反证法证明方程f（x）＝0没有负数根．

参考答案1.解析：按定义,若M是N的子集,则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以要使M不是N的子集，只需存在x0∈M，但x0∉N即可．答案：D2.解析:①错误，应为a≤b；②正确;③错误，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．答案:B3.解析：eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(a＋\f(1，b)））＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(b＋\f(1，c)))＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（c＋\f（1,a)）)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（a＋\f（1，a））)＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（b＋\f(1,b）））＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（c＋\f(1,c）））≥6。假设题中所给三个数都小于2，则三个数之和小于6，故三个数中至少有一个不小于2.答案：D4.解析：结论是说数列｛xn｝或单调增加或单调减少,总之是严格单调数列．其否定应是:或为常数列或为摆动数列．因而其中存在一个项xn，或不比两边的项大,或不比两边的项小，即xn≤xn－1且xn≤xn＋1或xn≥xn－1且xn≥xn＋1，合并为（xn－xn－1）（xn－xn＋1)≥0.故选D.答案：D5。解析：假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n,使得an＝bn.但∵a＞b,n∈N＋，∴恒有a·n＞b·n，从而an＋2＞bn＋1恒成立．∴不存在n，使得an＝bn，故应选A。答案：A6.答案:存在一个三角形，其三个内角中最多有一个是锐角7.答案：③①②8。证明:假设p为奇数，则__________均为奇数．①因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝__________②＝__________③＝0。但0不是奇数，这一矛盾说明p为偶数．解析:假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数,故有奇数＝(a1－1）＋(a2－2）＋…＋（a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7）－(1＋2＋…＋7)＝0。但0不是奇数，这一矛盾说明p为偶数．答案：a1－1，a2－2，…，a7－7（a1－1)＋（a2－2)＋…＋(a7－7）(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7）9。证明：假设b与平面α不相交，即b⊂α或b∥α。①若b⊂α,因为b∥a,a⊄α，所以a∥α,这与a∩α＝A相矛盾；②如图所示，如果b∥α,则a，b确定平面β。显然α与β相交，设α∩β＝c，因为b∥α,所以b∥c.又a∥b，从而a∥c，且a⊄α,c⊂α，则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾．由①②知，假设不成立,故直线b与平面α必相交．10.分析：本题的结论为否定性命题,且题设提供的信息较少,故用反证法证明．证明:假设，，,…，都大于1，即＞1，＞1，＞1，…,＞1，则a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，a3＞b3＞0，…，an＞bn＞0.于是a21＞b21,a22＞b22,a23＞b23，…,a2n＞b2n,则a21＋a22＋a23＋…＋a2n＞b21＋b22＋b23＋…＋b2n，与已知a21＋a22＋a23＋…＋a2n＝b21＋b22＋b23＋…＋b2n相矛盾，所以假设错误，故原结论正确．11。证明：假设x0为方程f(x）＝0的负根，则有ax0＋eq\f（x0－2,x0＋1)＝0,即ax0＝eq\f(2－x0，x0＋1)＝eq\f（3－（1＋x0),x0＋1）＝－1＋eq\f（3,x0＋1），显然x0≠－1.(1)当－1＜x0＜0时，0＜x0＋1＜1，则eq\f(3，1＋x0）＞3，则－1＋eq\f（3，1＋x0）＞2，即ax0＞2。