浙江省绍兴市柯桥区2024届高三上学期期末教学质量调测数学试题

浙江省绍兴市柯桥区2024届高三上学期期末教学质量调测数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x<2或x>3}，B=x22x-5A．[52,3) B．(2,52]2．若1+ia−i=i（a∈R，i为虚数单位），则A．2 B．2 C．3 D．23．函数y=lnA．−∞,1 B．1,+∞ C．−4．已知平面向量a=10sinθ,1，b=A．−13或−3 B．13或−3 C．13或35．已知命题p：函数f(x)=2x3+x−a在1,2A．3≤a<18 B．3<a<18 C．a<18 D．a≥36．直线mx−ny+m−n=0交曲线x2+yA．25 B．45 C．3 7．已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2，则x2A．34 B．94 C．328．若对任意实数x≥0，恒有2ex+2mxA．−102,2C．ln2−2,102二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知a∈R，关于x的一元二次不等式ax−2x+2A．xx>2a或x<−2C．x−2<x<2a10．已知直线m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则下列线面关系可能成立的是（）A．m⊥n B．m⊥平面βC．平面α/平面β D．平面α⊥平面11．已知等差数列an的前n项和为Sn，S5A．数列2aB．SC．当且仅当n=4时，SnD．S12．双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0上一动点Px0,y0A．当x0>a时，点a,0在B．mC．GD．当x0<−a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若3x−1xn的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含x14．已知函数fx=12x215．卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标，卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为a，高为23a，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是16．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P2,0的直线l交C于A、B两点，直线AF、BF分别交C于M、N，则四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知锐角△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且bsin（1）求角A；（2）若a=23，求△ABC18．已知数列an的前n项和为Sn.若Snn为等差数列，且满足（1）求数列an（2）设Tn=a19．临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查.（1）应从A，B，C三种水果各抽多少箱?（2）若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望；②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率.20．如图，在三棱锥P−ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，PA=PC=4.（1）求证：PB⊥AC；（2）若平面PAC⊥平面ABC，在线段PB（包含端点）上是否存在一点E，使得平面PAB⊥平面ACE，若存在，求出PE的长，若不存在，请说明理由.21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0与圆x−22+y−12=（1）求椭圆C的离心率；（2）若a=6，求k22．已知函数f(x)=x−ln（1）讨论函数的单调性；（2）若方程f(x)=a有两个解x1,x

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由22x−5>1，得2x−5>0，解得x>5由A={x|x<2或x>3}，得∁R所以(∁故选：C

【分析】本题考查集合的补集和交集运算.先解指数不等式可求出集合B，再利用补集的定义可求出∁R2．【答案】B【解析】【解答】解：因为1+ia−i=i，又因为1+ia−i=1+ia+ia-ia+i=a+i+ai+i2a3．【答案】C【解析】【解答】由y=ln∴x2−2x>0，解得x<0所以函数y=lnx2令u=x2−2x，则函数u=x2而函数y=lnu在由复合函数单调性可得y=lnx2故选：C.

【分析】本题考查复合函数的单调性.根据对数的真数大于0可得：x2−2x>0，解不等式可求出函数的定义域，再利用二次函数的性质可得：u=x2−2x4．【答案】A【解析】【解答】∵a=(10sin∴a⋅b∴sinθcos∴tanθ=−1故选：A.

【分析】本题考查平面向量垂直的坐标转化，同角三角函数的基本关系.先利用平面向量垂直的坐标转化可列出方程10sinθcosθ+3=0，化简方程可得：sinθ5．【答案】D【解析】【解答】函数f(x)=2x3+x−a在R上单调递增，由函数f(x)=2得f(1)=3−a<0f(2)=18−a≥0，解得3<a≤18，即命题p成立的充要条件是3<a≤18显然3<a≤18成立，不等式3≤a<18、3<a<18、a<18都不一定成立，而3<a≤18成立，不等式a≥3恒成立，反之，当a≥3时，3<a≤18不一定成立，所以命题p成立的一个必要不充分条件是a≥3.故选：D

【分析】本题考查零点的定义，充分必要条件的定义.根据题意可得函数f(x)在R上单调递增，再结合函数f(x)=2x3+x−a在1,2内有零点，利用零点存在性定理可列出不等式组f(1)=3−a<0f(2)=18−a≥0，解不等式组可求出实数a的取值范围，再利用集合子集的定义进行判断可得：3<a≤18成立，不等式a≥3恒成立，反之，当6．【答案】B【解析】【解答】mx−ny+m−n=0即mx+1则直线mx−ny+m−n=0恒过定点(−1,−1)，且曲线x2+(y−1)将点(−1,−1)代入圆方程得1+4=5<25，所以点-1,-1在圆内.设圆心到直线mx−ny+m−n=0的距离为d，则|AB|=2r因为圆心到直线距离的最大值为直线所过定点与圆心的距离，即dmax∴|AB|故选：B.

【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先将直线方程变形为mx+1−y+1n=0，进而可推出直线恒过定点(−1,−1)，将圆化为标准方程可得：曲线x2+(y−1)2=257．【答案】B【解析】【解答】由x为正实数，y为非负实数，得x>0,y+1≥1，由x+2y=2，得x+2(y+1)=4，于是x=≥14[5+22(y+1)x所以当x=43,y=13故选：B

【分析】本题考查利用基本不等式求最值.等式x+2y=2，变形可得：x+2(y+1)=4，式子x2+1x+28．【答案】C【解析】【解答】∵2e∴2e设f(x)=2ex+4mx−设hx=2ex+4m−2x∴f'(x)在[0,+当m≥−12时，f'∴f(x)min=f(0)=2, ∴当m<−12时，则f'(0)<0，不妨取当x∈0,x0时，f'(x)<0∴f(x)在0,x0上单调递减，在∴f(x)∴2e∴ex0≤4，即x0≤ln∴2m=x0−综上可得ln2−2≤m≤故选：C.

【分析】本题考查恒成立问题.先将不等式进行移项可得：2ex+4mx−x2≥4m2−8(x≥0)，设f(x)=2ex+4mx−x2，求出导函数可得：f'(x)=2ex+4m−2x，再设h9．【答案】A,C,D【解析】【解答】当a=0时，ax−2x+2当a>0时，ax−2x+2=ax−当a<0时，ax−2x+2若2a若2a<−2⇒−1<a<0，则不等式的解为：若2a>−2⇒a<−1，则不等式的解为：故选：ACD

【分析】本题考查医院将二次不等式的解法.根据不等式的特征，需要分三种情况：a=0，a>0，a<0，依次求出对应方程的根，再根据a的范围：a=0，a>0，a<0，依次2a与−210．【答案】A,D【解析】【解答】AD，当平面α⊥平面β，且m⊥n时，两直线可以为异面直线，AD正确；C，若平面α/平面β，则m//n，则m,nB，当m⊥平面β时，则平面α/平面β故选：AD

【分析】本题考查直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的性质，平面与平面平行的性质.当平面α⊥平面β，利用平面与平面垂直的性质可得：m⊥n时，两直线可以为异面直线，据此可判断A选项和D选项；若平面α/平面β，利用直线与平面垂直的性质可得：m//n，据此可推出m,n共面，据此可判断C选项；当m⊥平面β时，利用平面与平面平行的性质可得：平面α/平面β，进而利用直线与平面垂直的性质可得：m//n，据此可推出11．【答案】A,B【解析】【解答】等差数列an中，S5=5(a1+于是等差数列an的公差d=a4前n项和SnA，显然2a1>0，2B，S9C，显然等差数列an因此当n=4或n=5时，SnD，Snn=−因此S1故选：AB

【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.根据题意利用等差数列的性质可求出a3=10，a4=5，利用等差数列的通项公式可求出公差d，进而可求出an，利用等差数列的前n项和公式可求出Sn.根据等比数列的定义，作商可得：2an+12an=132，据此可判断A选项；利用12．【答案】A,B【解析】【解答】

A，当P点位于双曲线右支时，设△PF1F2的内切圆与PF1,P根据圆的切线性质，有PN=再根据双曲线的定义，有PFPN+得到NF1−QF解得xk=a，即所以当x0>a时，点(a,0)在B，以下证明双曲线焦半径公式，设点Px0,若点Px0,则PF1−a2c−若点Px0,则PF2x0−a2对于本题来说，当点P在双曲线右支上时，由于PM为∠FPF因此PF结合e=ca，得到m=a由于PM为∠FPF因此PF1PC，当点P位于双曲线右支上时，由于G为△PF1F根据A选项的结论可知G的横坐标为a，设G(a,r)，根据三角形的面积公式，有12即12reD，当x0<−a时，点P在双曲线的左支上，同A选项方法可得同C选项方法（或根据双曲线对称性可得）可得y=a显然a>0，y0≠0，则故选：AB.

【分析】本题考查三角形内切圆性质，双曲线定义，双曲线的简单几何性质.利用圆的切线的性质可得：PN=PN+NF1−PQ+QF2=2a，据此可得NF1−QF2=2a，设Kxk,0，进而可求出点K的坐标，进而可得点(a,0)在△PF113．【答案】270【解析】【解答】由3x−1xn展开式的二项式系数之和为2所以3x−1x5令5−32r=2所以含x2项的系数为3故答案为：270.

【分析】本题考查二项式的系数的性质，二项式展开式的通项.根据展开式的二项式系数之和为2n，据此可列出方程2n=32，解方程可求出n=5，再利用二项式展开式的通项公式可得：Tr+1=14．【答案】5【解析】【解答】∵f∴f'(x)=0时，x=3因为函数定义域为4,6，在左端点x=4处无法取到极值，∴a∈4,6，而a∈Z*故答案为：5.

【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数f'(x)，再令f'(x)=0，可求出x=3或x=a，再根据函数定义域为4,6，所以在左端点15．【答案】289【解析】【解答】如图，

因为OA<OP，所以球心O在PO1因为正四棱锥的底面边长为a，高为23a，所以设OO'=x则22a2+x所以外接球的表面积为4π17a故答案为：289π【分析】本题考查球的内接几何体问题.先作出图形，据此可得球心O在PO1的延长线上，利用四棱锥的性质可求出AO1=2216．【答案】9【解析】【解答】

设An2,2nn>0，直线AB：x=my+2，则x=my+2所以yA·y由AM过焦点，设直线AM：x=ty+1，则x=ty+1y2=4x所以yA·yM=-4所以AM=1n则AM+当且仅当n=2故答案为：9.【分析】本题考查抛物线的简单几何性质.设An2,2nn>0及直线AB：x=my+2，将直线AB的方程与抛物线方程进行联立，消x可得：y2-4my-8=0，利用根与系数的关系，可求出点B的坐标为：B4n2,-4n，再根据17．【答案】（1）由已知得，bsinπ则根据正弦定理得sinBcosAcosA∵△ABC为锐角三角形，∴A=π（2）由正弦定理得asinA=b则b=4sinB,c=4sinB+a+b+c=2=2=23因为0<B<π20<2π3所以sinB+π6【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）先利用正弦定理进行边化角和利用诱导公式进行化简可得：sinBcosA2=sinAsinB(sinB>0)（2）先利用正弦定理化简可得：b=4sinB,c=4sinB+π3，据此可得：a+b+c=23+4（1）由已知得，bsinπ则根据正弦定理得sinBcosAcosA∵△ABC为锐角三角形，∴A=π（2）由正弦定理得asinA=b则b=4sinB,c=4sinB+a+b+c=2=2=23因为0<B<π20<2π3所以sinB+π618．【答案】（1）由题意，设等差数列Snn的公差为d，又S1∴3d=5−8=-3，∴d=−1，∴S∴Sn=−n2∴an=∴an=−2n+10（2）由（1）得，a1当n≤5时，Tn当n≥6时，T=2×−∴T【解析】【分析】本题考查等差数列的定义，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，数列的通项与前n项和公式的关系.（1）利用等差数列的定义可求出Snn的通项公式，进而可求出Sn，再求出Sn-1，两式相减，再利用Sn（2）由an的通项公式，可推出a1>a2>⋯>a（1）由题意，设等差数列Snn的公差为d，又S1∴3d=5−8=-3，∴d=−1，∴S∴Sn=−n2∴an=∴an=−2n+10（2）由（1）得，a1当n≤5时，Tn当n≥6时，T=2×−∴T19．【答案】（1）由题意知：3636+27+18所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱.（2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有：PX=0=C54C94=5126，PX01234P52010101所以随机变量X的期望为EX=0×5126+1×2063+2×1021【解析】【分析】本题考查分层抽样，离散型随机变量的分布列和期望.（1）根据分层抽样的定义，依次求出A，B，C三种水果所占的比例，再利用比例依次乘以9，据此可求出应从A，B，C三种水果的箱数；（2）①根据题意可得：X的可能取值为0，1，2，3，4，利用超几何的计算公式分别求出变量对应的概率，据此可列出分布列，再利用数学期望计算公式进行计算可求出期望；

②先利用对立事件的定义可得：A为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，据此可列出式子：PA（1）由题意知：3636+27+18所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱.（2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有：PX=0=CPX=2=CPX=4所以随机变量X的分布列为X01234P52010101所以随机变量X的期望为EX②由题意可知：A为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，所以PA20．【答案】（1）取AC的中点O，连接OP,OB，因为△ABC是边长为2的正三角形，所以OB⊥AC，由PA=PC，所以OP⊥AC，又OB∩OP=O,OB,OP⊂平面OPB，所以AC⊥平面OPB，又PB⊂平面OPB，所以PB⊥AC；（2）由（1）得OP⊥AC,OB⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC且交线为AC，且OP⊂平面PAC，所以OP⊥平面ABC，如图，以点O为原点，建立空间直角坐标系，则A1,0,0设PE=λPB0≤λ≤1设平面PAB的法向量为m=x,y,z，AB=令y=5，则x=15设平面ACE的法向量为n则n⋅AC=−2x=0n⋅若平面PAB⊥平面ACE，则m⋅n=0+5+此时PE=0,536【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求二面角.（1）取AC的中点O，连接OP,OB，利用等边三角形的性质可得：OB⊥AC，再根据PA=PC，利用等腰三角形的性质可得：OP⊥AC，利用直线与平面垂直的判定可证明AC⊥平面OPB，再利用直线与平面垂直的性质可证明结论.（2）根据OP⊥AC,OB⊥AC，利用直线与平面垂直的性质可证明OP⊥平面ABC，以点O为原点，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出PB⃗,PE⃗,AB⃗,AE⃗，据此可求出平面PAB的法向量和平面（1）取AC的中点O，连接OP,OB，因为△ABC是边长为2的正三角形，所以OB⊥AC，由PA=PC，所以OP⊥AC，又OB∩OP=O,OB,OP⊂平面OPB，所以AC⊥平面OPB，又PB⊂平面OPB，所以PB⊥AC；（2）由（1）得OP⊥AC,OB⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC且交线为AC，且OP⊂平面PAC，所以OP⊥平面ABC，如图，以点O为原点，建立空间直角坐标系，则A1,0,0设PE=λPB0≤λ≤1设平面PAB的法向量为m=x,y,z，AB=令y=5，则x=15设平面ACE的法向量为n则n⋅AC=−2x=0n⋅若平面PAB⊥平面ACE，则m⋅n=0+5+此时PE=0,53621．【答案】（1）由已知得，MN中点为2,1，设Mx则x1+x2=4,作差得x1−x由k=y1−y2（2）由（1）及题设得椭圆C的方程为：x26+则其右焦点F3,0，A−设Dx3,y3x26+∴过F作x轴的垂线交AD,BE分别于点G,H，kAD=y令x=3，则y=y同理直线BE:y=y4得GF=y所以1由（※）知，1y3+k1​​​​​​​【解析】【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.（1）设Mx1,y1（2）设直线DE的方程为x=my+3，将直线DE的方程与椭圆方程进行联立，消y可得：m2+2y2+23my−3=0，利用韦达定理可得：y3+y4=−23（1）由已知得，MN中点为2,1，设Mx则x1+x2=4,作差得x1−x由k=y1−y2（2）由（1）及题设得椭圆C的方程为：x26+则其右焦点F3,0，A−设Dx3,y3x26+∴过F作x轴的垂线交AD,BE分别于点G,H，kAD=y令x=3，则y=y同理直线BE:y=y4得GF=y所以1由（※）知，1y3+k122．【答案】（1）函数f(x)=x−lnx+exx当0<x<