湖南省长沙市2024届高三上学期1月新高考适应性考试数学试卷

湖南省长沙市2024届高三上学期1月新高考适应性考试数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x<1}，N={x|xA．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅2．复数z=iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若抛物线y2=ax的焦点坐标为(1，A．−2 B．2 C．−4 D．44．下图是函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是（）A．y=2sin(12x+C．y=2sin(2x+π3)5．已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是（）A．38 B．920 C．586．若tan2α+4tan(α+A．−45 B．−25 C．7．已知直线y=a与函数f(x)=ex，g(x)=lnx的图象分别相交于A，B两点.设k1为曲线y=f(x)在点A处切线的斜率，k2为曲线A．1e B．1 C．e D．8．在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点.若AB=2，CD=3，且EF⋅AB=4A．172 B．212 C．422二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数中，是奇函数的是（）A．y=ex−C．y=tan2x 10．某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为d1，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为dA．轨道的焦距为d2+dC．轨道的短轴长为2d1d211．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为线段A．存在点P，使得BB1B．存在点P，使得B1P⊥C．当点P不是BD1的中点时，都有m//D．当点P不是BD1的中点时，都有m⊥12．设等比数列{an}的公比为q，前nA．若T8=B．若T8=C．若a1=1024，且T10为数列D．若a1>0，且T10>T三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量X的分布列如下：X123P0.10.70.2则数学期望E(X)=.14．已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(2)=1，则不等式f(x)>5−2x的解集为.15．已知A(4，1)，B(2，2)，C(0，3)，若在圆x2+y2=16．已知正四棱锥P−ABCD的顶点均在球O的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球O体积的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{an}满足a（1）证明：数列{a（2）求数列{an}的前n18．如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=23，将△ABD沿矩形的对角线BD进行翻折，得到如图2所示的三棱锥A−BCD图1图2（1）当AB⊥CD时，求AC的长；（2）当平面ABD⊥平面BCD时，求平面ABC和平面ACD的夹角的余弦值.19．某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：产品优质品非优质品更新前2416更新后4812附：χP(0.0500.0100.001x3.8416.63510.828（1）依据小概率值α=0.（2）如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败.①求经核查认定设备更新失败的概率p；②根据p的大小解释核查方案是否合理.20．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足sinB+（1）证明：a2（2）如图，点D在线段AB的延长线上，且|AB|=3，|BD|=1，当点C运动时，探究|CD|−|CA|是否为定值？21．已知函数f(x)=axln（1）若f(x)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围：（2）证明：(ln22．已知双曲线x2−y23=1与直线l：y=kx+m（k≠±3）有唯一的公共点P，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M（1）探求参数k，m满足的关系式；（2）若O为坐标原点，F为双曲线的左焦点，证明：∠MFP=∠NFO.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：集合M={x|x<1}，N={x|x2<1}={x|-1<x<1}故答案为：C.【分析】根据集合的子集的定义求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：z=i2−i=故答案为：B.【分析】根据已知，结合复数的四则运算以及复数的几何意义，求解即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：抛物线y2=ax的焦在x轴的正半轴上，且p=a2，所以故答案为：D.【分析】由题意知抛物线y2=ax的焦在x轴的正半轴上，且p=a4．【答案】C【解析】【解答】解：根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，可得A=2，34T=34×2πω=故答案为：C.【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得函数的解析式.5．【答案】D【解析】【解答】解：甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球，现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率为：P=故答案为：D.【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果.6．【答案】A【解析】【解答】解：tan2α+4tan(α+π4)=0，整理得2tanα1-tan2α+4+4tanα1-tanα=0，故故答案为：A.【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求解即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：直线y=a与函数f(x)=ex，g(x)=lnx的图象分别相交于A，B两点，可知a>0，并且xA=lna，xB=ea，f'(x)=ex，

g'(x)=1x，可得k1=elna=a，k2=1ea，所以k1k2=aea，

令h(x)=xex，h'(x)=1-xex，令1-x故答案为：A.【分析】求解解得横坐标，利用函数的导数，求解斜率，然后推出k1k2的表达式，利用函数的导数求解最值即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：已知如图所示：

设G为AC的中点，根据三角形中位线定理，可得GF//AB，且GF=12AB=1，GE//CD，且GE=12CD=32，又EF→=EG→+GF→，

且EF→·AB→=4，所以EF→·【分析】根据EF→·AB→=49．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、fx=ex−e−x，其定义域为R，有f-x=e-x−ex=-ex−e-x=-fx，f(x)为奇函数，A正确；故答案为：ACD.【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：由题意可得a+c=d2，a-c=d1，可得2a=d1+d2，2c=d2-d1，

A、焦距为d2-d1，A错误；

B、离心率e=2c2a=d2−d1d2+d1，B正确；故答案为：BC.

【分析】由题意可得椭圆的长轴长，短轴长，焦距，进而判断出A，B，C的真假，当d111．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、当P与D1重合时，显然BB1//DD1，从而易得BB1//面A1DD1，A正确；

B、∵B1在左侧面内的射影为A1，又点P为线段BD1上的动点，BD1在左侧面内的射影为AD1，∴P在左侧面内的射影在AD1上，又A1与线段AD1上的点的连线始终与A1D不垂直，∴根据三垂线定理可知B1P与A1D不垂直，∴B1P与面A1DP不垂直，B错误；

C、当点P不是BD1的中点时，∵A1D//B1C，∴易知A1D//平面B1CP，从而可得平面A1DP与平面B1CP的交线m//A1D，从而可得m//面A1B1CD，C正确；

D、由C选项分析可知m//A1D，又易知A1D⊥面ABD1，∴m⊥面ABD1，D正确；故答案为：ACD.【分析】根据线面平行的判定定理，三垂线定理，线面平行的判定定理与性质定理，线面垂直的判定定理，即可分别求解.12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、若T8=T12，则有T12T8=a9a10a11a12=1，结合a9a12=a10a11，可得a10a11=±1，A错误；

B、若T8=T12，则有T12T8=a9a10a11a12=1，可知T20=a1a2a3a4a17a18a19a20=(a9a10a11a12)5=1，B正确；

C、若a1=1024，且T10为数列{Tn}的唯一最大项，则公比q>0，a10>1且a11<1，即1024q9>11024q10<1，解得12故答案为：BCD.【分析】根据题意利用等比数列的通项与性质，对各项中的结论依次进行验证，即可求解.13．【答案】2.1【解析】【解答】解：根据随机变量X的分布列可得，E(X)=1×0.1+2×0.7+3×0.2=2.1.故答案为：2.1.【分析】根据数学期望的计算公式求解即可.14．【答案】(2【解析】【解答】解：根据题意，设g(x)=f(x)+2x-5，函数f(x)是定义在R上的增函数，y=2x-5也是定义在R上的增函数，

故g(x)是定义在R上的增函数，又由f(2)=1，则g(2)=f(2)+2x2-5=0，故f(x)>5-2x→f(x)+2x-5>0→g(x)>g(2)→x>2，

则原不等式的解集为(2，故答案为：(2，【分析】根据题意，设g(x)=f(x)+2x-5，分析可得g(x)是定义在R上的增函数且g(2)=0，由此可得原不等式等价于g(x)>g(2)，结合单调性可得答案.15．【答案】[2【解析】【解答】解：设点P(x，y)，由A(4，1)，B(2，2)，C(0，3)，点P满足|PA|2+|PB|2+|PC|2=13，

可得(x-4)2+(y-1)2+(x-2)2+(y-2)2+(x-0)2+(y-3)2=13，化简可得x2+y2-4x-4y+7=0，即(x-2)2+(y-2)2=1，

即点P在以(2，2)为圆心，1为半径的圆上，

因为点P在圆x2+y2=r故答案为：[22【分析】由题意设出点P(x，y)，结合点P满足|PA|216．【答案】27【解析】【解答】解：如图所示：

设正四棱锥P-ABCD的底面边长为a，高为h，球的半径为R，由正四棱锥P-ABCD的体积为V=13a2h=1，得a2h=3，在Rt△AOO1中，有AO2=AO12+OO12，即R2=22a2+h-R2，即h2-2Rh+a22=0，化简得2R=h+32h2，令fh=h+32故答案为：2716【分析】根据体积表示出棱锥的高与外接球半径的等量关系，利用函数求最值即可.17．【答案】（1）证明：由an+1可知数列{an+n}（2）解：由（1）可知，an+n=2⋅从而S=2(1−【解析】【分析】(1)由等比数列的定义：若an+1an18．【答案】（1）解：由AB⊥CD，BC⊥CD，且AB∩BC=B，可得CD⊥平面ABC，则AC⊥CD.在Rt△ACD中，根据勾股定理，AC=A（2）解：如图，过A点作AO⊥BD于点O，易知AO=3由平面ABD⊥平面BCD，可知AO⊥平面BCD.在平面BCD中，过O点作BD的垂线为x轴，以O为坐标原点，BD，AO所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，3)，B(0有AB=(0，−1，−3)设平面ABC的法向量m=(x1令z1=1，解得其中一个法向量设平面ACD的法向量n=(x2令x2=1，解得其中一个法向量从而cos⟨即平面ABC和平面ACD夹角的余弦值为313【解析】【分析】(1)要求AC，可考虑解三角形ACD，因AD，CD已知，故想到求∠ACD，结合条件可证AC⊥CD即得；

(2)利用面面垂直构建平面BCD的垂线AO，从而建系，求相关量，得各点坐标，分别求出两个平面的法向量，运用两空间向量的夹角公式计算即得.19．【答案】（1）解：零假设为H0由列联表可计算χ2=100×我们可以推断H0（2）解：根据题意，设备更新后的优质率为0.8.可以认为从生产线中抽出的5件产品是否优质是相互独立的.①设X表示这5件产品中优质品的件数，则X∼B(5，p=P(X≤2)=②实际上设备更新后提高了优质率.当这5件产品中的优质品件数不超过2件时，认为更新失败，此时作出了错误的判断，由于作出错误判断的概率很小，则核查方案是合理的.【解析】【分析】(1)先计算出χ2的值，根据独立性检验的思想对照临界值得结论；

(2)①根据二项分布的有关计算公式，求出对应的概率；②20．【答案】（1）证明：由sinB+sinC=2则b+c=2a⋅a2（2）解：根据cos∠ABC+cos∠CBD=0即4a2−从而|CD|=b+2，故|CD|−|CA|=2为定值.【解析】【分析】(1)根据正弦定理，可将sinB+sinC=2sinA21．【答案】（1）解：易知函数f(x)的定义域为(0，+∞).由f(x)=0，可得设g(x)=alnx−x+1x，则且g(x)与f(x)有相同的零点个数.思路1：令φ(x)=−x2+ax−1，x>0当−2≤a≤2时，Δ≤0，则φ(x)≤0，即g'(x)≤0，可得g(x)在则g(x)有且仅有一个零点.当a<−2时，显然φ(x)<0，则g'(x)<0，可得g(x)在(0，当a>2时，由φ(x)=0，解得x1=a−a2当x∈(x1，x2)时，当x∈(x2，+∞)时，φ(x)<0，即不难得知g(x2)>g(1)=0，g(4a2)=aln综上，可知a∈(−∞，思路2：令φ(x)=−x2+ax−1当a≤0时，φ(x)在(0，+∞)单调递减，有φ(x)<φ(0)=−1，即可得g(x)在(0，+∞)单调递减，则当a>0时，φ(x)若a≤2，φ(x)≤0，则g'(x)≤0，可得g(