黑龙江省哈尔滨市香坊区2023-2024学年高三上学期期末联考数学试卷

黑龙江省哈尔滨市香坊区2023-2024学年高三上学期期末联考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、､单选题：本题共8个小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知i为虚数单位，若复数z=1−iA．复数z实部为1B．复数z虚部为0C．|z|=D．在复平面内z对应的点位于第二象限2．已知集合A={−1，0，1，A．{−1，0} C．{0，1，3．已知直线m，n，平面α，β，m⊂α，n⊂β，α∩β=l，m⊥l，则A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)，已知方程A．(0，34] B．[585．下列函数的图象不可能与直线y=2x+m，A．f(x)=x2+x B．f(x)=x3+6．已知函数f(x)=2−x(1−axA．12 B．2 C．2 7．过正四棱锥P−ABCD的高PH的中点作平行于底面ABCD的截面A1B1C1D1，若四棱锥P−ABCD与四棱台ABCD−A．105 B．155 C．638．在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为径的圆C与直线交于另一点DA．−1 B．3 C．3或−1 D．2二、､多选题：本题共4个小题，在每个小题给出的选项中，有多个符合题目要求．9．已知椭圆C：x24+y2A．离心率的取值范围为(0B．|QFC．不存在点Q，使得QFD．当e=33时，以点10．下列判断正确的是（）A．函数f(x)是定义在R上的奇函数，若x<0时，f(x)=−ln(−x)，则x>0时，f(x)=−lnxB．若loga12C．为了得到函数y=log2x−1的图象，可将函数y=loD．设x1满足x+lnx=2，x211．如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AAA．存在M，使得AM∥平面EFGB．当λ>1时，存在M，使得CM⊥平面EFGC．存在M，使得平面MBC1D．存在λ，使得平面MB112．已知数列{aA．当an=n时，数列B．当an=n时，数列C．当bn=n时，数列D．当bn=n时，数列三、､填空题：本题4个小题．13．若向量a，b满足a=(1，1)，|b|=1，且14．已知数列{an}满足a4+a7＝2，a5a6＝﹣8，若{an}是等差数列，则a1a10＝；若{an}是等比数列，则a1+a10＝.15．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(45，−35)，∠AOC=α16．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A，左焦点F，过四、解答题：解答题写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线x2（1）求双曲线C的方程；（2）已知M(5，0)，P是双曲线C上的任意一点，求18．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1（1）证明：A1C1（2）P是线段B1C1中点，求平面PAB19．已知在数列{an}（1）令bn=3（2）设Sn=a20．在△BCD中，∠D=90∘，点A在线段BD上，AD=2，∠ACB=α，且（1）求a的值；（2）求AB的值和△BCD的面积21．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸.以点F，E所在的直线为x轴，线段（1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段AE交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）记（1）问所得图形为曲线C，若过点Q(1，0)且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点22．已知−1≤a≤1，函数f(x)（1）讨论函数g(（2）设f'(x)（i）f(x)（ii）当x∈[−π3，π3

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：根据复数的除法运算，化简复数z可得：z=1−ii(1+i)=1−ii−1=−1，所以复数z的实部为−1，虚部为0，故A错误；B正确；故答案为：B.【分析】先根据复数的除法运算求得z=−1，再结合复数的相关概念逐项判断即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：由题意知，当x=−1时，y=x当x=0时，y=x当x=1时，y=x当x=2时，y=x故B={y|y=x故答案为：D.【分析】由题意计算即可得集合B.3．【答案】B【解析】【解答】解：m⊥l，m⊥n，当n∥l时，推不出m⊥β，所以无法证明α⊥β；当α⊥β，m⊥l时，由m⊂α，根据面面垂直的判定定理可知m⊥β，又因为n⊂β，所以m⊥n，故m⊥n是α⊥β的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】利用线面垂直的判定、面面垂直的判定定理，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：因为方程|f(x)|=1在[0，2π]有且仅有2个实根，所以函数y=|f(x)|图象与直线y=1在[0，2π故答案为：C.【分析】由题意知函数y=|f(x)|图象与直线y=1在[0，2π]上仅有2个交点，由5．【答案】D【解析】【解答】解：因为直线y=2x+m，m∈R的斜率为2，所以函数f'A、函数f(x)=x2+x的定义域为R，导函数为f'(x)=2x+1，令fB、函数f(x)=x3+ex的定义域为R，导函数为f'(x)=3x2+eC、函数f(x)=lnx+x22的定义域为(0，+∞)，导函数为fD、函数f(x)=x+2x的定义域为(0，+∞)，导函数为故答案为：D.【分析】问题转化为方程f'(x)=2有解，则直线6．【答案】D【解析】【解答】解：函数f(x)的定义域为R，因为函数f(x)为奇函数，所以f(−1)=−f(1)，即2(1−a−1)=−2−1(1−a)，解得经检验满足f(−x)=−f(x)，所以a=4.故答案为：D.【分析】先求函数f(x)的定义域，再根据函数为奇函数，则满足f(−1)=−f(1)求出a，然后验证即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意过正四棱锥P−ABCD的高PH的中点作平行于底面ABCD的截面A1B1C1D1，则A1，B1，C1，设正方形ABCD的边长为a，PA=b，则正方形ABCD的面积为a2，正方形A1B1C四棱台ABCD−A1B所以正四棱锥P−ABCD的表面积为a2四棱台ABCD−A1B因为四棱锥P−ABCD与四棱台ABCD−A1B1C1D1的表面积之比为1211，所以a2+2ab2所以cos∠PAH=AHPA，又AH=22故答案为：A.【分析】根据题意知A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，设正方形ABCD的边长为a，PA=b，然后表示四棱锥P−ABCD与四棱台ABCD−A1B1C1D8．【答案】B【解析】【解答】解：如图，由已知可得BD⊥l，则kBD=−12，故直线由y=2xy=−12(x−5)，解得D(1，2)，设点A(a，2a)，a>0，则点C(故答案为：B．【分析】由已知可得BD⊥l，求得直线BD的方程，联立直线l和直线BD的方程，求得点D(1，2)9．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、因为点P(2，1)在椭圆内部，所以2离心率e=ca=1−bB、因为点Q在椭圆上，所以|QF1|+|QF2|=2a=4，所以C、由椭圆性质可知，当点Q为短轴顶点时∠F1Q因为0<e<22，所以cos∠F1QFD、当e=33时，c2=33，解得c=233，故b2=83，易知，当点P为弦中点时斜率存在，设直线斜率为k故答案为：AC.【分析】由点P(2，1)在椭圆内部求得b的范围，根据离心率公式即可得离心率的范围，从而判断A；利用椭圆定义结合基本不等式判断B；当点Q为短轴端点时∠10．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、当x>0时，−x<0，f(−x)=−lnx，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(−x)=−lnB、若loga12<1，当a>1时，函数y=logax单调递增，所以loga12<1=lo综上可得0<a<12或C、将函数y=log2x图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，可得D、将ln(1−x)−x=1变形可得ln(1−x)+1−x=2，即x2满足ln(1−x)+1−x=2，又x1满足x+lnx=2，可知x1，1−x2满足方程x+lnx=2，因为函数f(x)=x+lnx−2故答案为：CD.【分析】根据函数的奇偶性即可求当x>0时的解析式为f(x)=lnx，从而判断A错误；利用对数函数单调性分类讨论参数a解不等式可得0<a<12或a>1，即可判断B错误；利用含图像变换规则以及对数运算法则即可判断C正确；由函数与方程的思想可得11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设AB=2，则AA1=2λ，则A(2，0，0)A、设平面EFG的一个法向量为n=(x，y，z)，EF=(−1，−1，0)，EG=(−1，0，λ)，则n⋅EF=−x−y=0n⋅EG=−x+λz=0，令z=1，解得n=(λB、根据A可知，CM=(2k，−2，2λk)，若CM⊥则2kλ=−2C、当M与D重合时，因为EG//BC1，FG//DC1，EG∩FG=G，D、M(2k，0，2λk)，则CM=(2k，−2，2λk)，因为B1(2，2，2λ)，所以CB1故答案为：ACD.【分析】以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系；设面EFG的一个法向量为n=(x，y，z)，由直线AM和平面EFG同时垂直于法向量求出k，即可判断A；若CM⊥平面EFG，则CM//n，解出λ=k=1，即可判断B；证明平面M(D)BC112．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意可得，bnA、当an=n时，bn=1B、当an=n时，bn偶数项有8项，其和为2(2+4+⋯+16)C、当bn=n时，an+1+(−1)n令n=2k−1，得a2k−a2k−1=2k−1②，令①−②，得a2k+1+a2k−1=1，①+③，得a2k+2+D、由选项C可知a2k−a2k−1=2k−1，当数列{(即偶数项和大于奇数项和，故D正确.故答案为：BCD.【分析】由题意可得bn=1，n为奇数2n+1，n为偶数，进而得b2n=4n+1，根据等差数列的通项公式即可判断A；分别求出数列{bn}前16项和中奇数项和与偶数项和，即可判断B；由an+1+13．【答案】0【解析】【解答】解：由题意可知，向量a在b上的投影向量为a⋅b|b|所以(a故答案为：0.【分析】根据已知条件，结合投影向量公式可得a⋅14．【答案】﹣728；﹣7【解析】【解答】解：若数列{an}为等差数列，则a4+a7＝a5+a6＝2，又因为a5a6＝﹣8，所以a5，a6为方程x2−2x−8=0的两根，由韦达定理可得：a当a5=−2，a6=4时，公差d=a6−当a5=4，a6=−2时，公差d=a6−若{an}是等比数列，设其公比为q，则a5a6＝a4a7＝﹣8，又a4+a7＝2，所以a4和a7为方程x2−2x−8=0的两根，由韦达定理可得a4当a4=−2，a7=4时，则a7a4当a4=4，a7=−2时，则a7a4故答案为：﹣728；﹣7.【分析】利用等差数列性质求出a5和a6的值，从而得到数列的公差，然后求出a1和a10即可求解；利用等比数列的性质求出a4和a7的值，从而得到数列的公比，然后求出a1和a1015．【答案】3【解析】【解答】解：因为点B(45，−35)所以∠AOB=π3−α，且=32cos故答案为：35【分析】根据已知条件，推出∠AOB=π3−α，再由二倍角公式和辅助角公式化简316．【答案】1【解析】【解答】解：如图，设椭圆的右焦点为F1，PF1⊥x轴，则P在△APF中，由正弦定理可得|AF|sin∠APF=在△APF1中，sin∠PAF=由e=ca=15，得a=5c，所以sin∠APF=4mcm2故答案为：12【分析】设椭圆的右焦点为F1，PF1⊥x轴，则P(c，17．【答案】（1）解：易得双曲线x22−y23=1的焦点坐标为(5，0)，(−5，0)，设双曲线C所以双曲线C的方程为x2（2）设P(x0，y0)，因为P是双曲线C上的任意一点，由所以x024−y|PM|=(因为x0≤−2或x0≥2，所以当x0【解析】【分析】（1）根据题意设双曲线C的方程，由双曲线的性质求解即可；（2）设P(x0，18．【答案】（1）证明：因为顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，所以A1B⊥面ABC，AC⊂面ABC，则A1B⊥AC，因为在三棱柱ABC−A1B1C1中AC∥A1C1，所以A1B⊥（2）在平面ABB1A1内，过点B作BE∥AC，则BE⊥AB，因为A1B⊥面ABC，BE，则A(0，故B1C1=(2，−2，设平面PAB的法向量m=(x，y，z)，则m由（1）知n=(1，0，0)是平面A1AB【解析】【分析】（1）根据顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，得到A1B⊥面ABC，再根据线面垂直的性质得到A1B⊥AC（2）根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.19．【答案】（1）证明：因a1=1，an+a所以数列{bn}是以3（2）由Sn=可得Sn−1=a1+3a2+所以4=4(S又4S1−【解析】【分析】（1）由递推关系式an+an+1=13（2）由Sn=a1+3a2+320．【答案】（1）因为2α+3B=180∘，所以α+32B=90∘①，又因为α+B+∠ACD=90在△ABC中，由正弦定理得3asin(B+α)=2asinB，将①代入得3asin(90∘−B（2）由sinB2=13所以sinB=2sin在△ABC中，由余弦定理得A即(2a)2=AB化简得AB2−14AB+45=0，解得AB=5，或AB=9，因为∠BAC>∠ACB，所以AB<BC=9，所以AB=5，在Rt△BCD中，由勾股定理得所以Rt△BCD的面积为S=12BD⋅CD=142，

​​​​​​​故AB【解析】【分析】（1）分别在Rt△BCD和△ABC中，利用正弦定理列式求解即可得a（2）在△ABC中，利用余弦定理求出AB，在Rt△BCD中根据勾股定理求得CD=42，代入面积公式即可求得21．【答案】（1）以EF的中点O为原点，EF所在的直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，设M(x，因为点M的轨迹点E，F为焦点，长轴因为2a