2024年浙江省嘉兴“南中杯”数学学科素养与创新能力竞赛试卷和答案

2024.11嘉兴“南中杯”数学学科素养与创新能力竞赛一、选择题(每小题3分,共24分)1.已知xyA.2x=3yB.x+yy=522.若把抛物线y=3xA.y=3x2−3B.y=33.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,若∠AOC=140∘A.100∘B.110∘C.120∘4.从长度为1 cm,A.12B.13C.145.已知关于x的二次函数y=ax2−4axa>0.若PA.m<−1B.m>5C.m<−16.如图,四边形ABCD是菱形,边长为42,∠A=45∘.点P从点A出发,沿A→D→C方向以每秒2个单位长度的速度运动,同时点Q沿射线BA的方向以每秒1个长度单位的速度运动,当点P运动到达点C时,点Q也立刻停止运动,连接PQ,△题3题6B.C.D.7.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A−①2a+b=0；②2c<④方程cx2+⑤抛物线上有两点Px1,y1和Qx2A.2B.3C.4D.5题7题8题118.如图,△ABC中,∠ACB=90∘,点D在CAA.41111B.51111C.5二、填空题(每小题4分,共24分)9.有两辆车按1,2编号,洪、杨两位老师可任意选坐一辆车,则两位老师同坐2号车的概率为_____.10.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,P为AB的黄金分割点AP>PB,如果AB的长度为8 cm11.如图,OA是⊙O的半径,弦BC⊥OA于点D,连结OB.若⊙O的半径为5 cm,BC的长为812.已知,二次函数y=4x2−13.已知:如图,二次函数y=−49x2+4的图象与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,点P在以A点为圆心,2个单位长度为半径的圆上,Q题13题14数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点,这类图形称为“诺模图”.如图是关于x,y,z三者关系的诺模图,它是由点O出发的三条射线OA,OB,OC组成,每条射线上都有相同的刻度,且射线端点刻度为0,其中∠AOC(1)若x=20,(2)若x=2y,则三、解答题(共6题,第15-18题每题8分,第19、20题每题10分,共52分)15.已知抛物线y=x2(1)求该图象的顶点坐标和对称轴.(2)自变量在什么范围内时,y随x的增大而增大.16.第19届亚运会在杭州举行,小聪和小明都是志愿者,他们被随机分配到A、(1)小明被分配到D场馆做志愿者的概率是多少?(2)利用画树状图或列表的方法,求小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的概率.17.如图,在直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标如下:A−1(1)以原点O为位似中心,在x轴上方作与△ABC的位似比为2的位似图形△(2)顶点A′的坐标为_____,△A′18.在如图所示的方格纸中存在△ABC,其中,点A,B(1)用直尺作出△ABC的外接圆圆心O(2)若方格纸中每个小正方形的边长为1,求△ABC外接圆半径R(3)在(2)的条件下,求出弧AB的长度.19.某超市购进甲、乙两种商品,已知购进3件甲商品和2件乙商品,需60元;购进2件甲商品和3件乙商品,需65元.(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？(2)设甲商品的销售单价为x(单位:元/件),在销售过程中发现,当11≤x≤19时,甲商品的日销售量y(单位:件)与销售单价销售单价x(元/件)1119日销售量y(件)182请写出当11≤x≤19时,在(2)的条件下,设甲商品的日销售利润为w元,当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时,日销售利润最大?最大利润是多少?20.如图1,△ACE,△ACD均为直角三角形,∠ACE=90∘,∠ADC=90∘,AE与CD相交于点P,以CD(1)求证:∠ADF(2)如图2,过O作OG//CE,交BC于点G,连接DE,若BC=(3)如图3,在此图情况下,若AEOC=x,AF图1图2图3解析选C依据“左加右减”选D由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠ABC=12∠AOC=70∘,又由圆内接四边形ABCD从四条线段中任意取三条等价于从四条线段中拿出一条作为没被取的,故总共有4种取法,要满足所取线段能构成等腰三角形就需要所取的三条线段中有两条1 cm的线段或两条2 cm的线段,而取两条1 cm的线段时所取的第三条线段一定是2 cm,而1+1=2,所以此时无法组成三角形,故所取的三条线段能组成等腰三角形的概率P=2由题意得:抛物线开口向上,对称轴x=−−4a2a=2,根据二次函数的对称性,当n=b时,m=−1或5,故当n>b时,m<−1显然点D到AB的距离ℎ=ADsin45∘=4,①当0≤x≤4时,此时AP=2x,AQ=42−x,S△APQ=12AP⋅AQsin45∘=−x由于抛物线经过点(-1,0)和(3,0),则其对称轴为直线x=1,即b−2a=1,故2a+b=0,故①正确;由抛物线的对称轴为直线x=1知其在x=1时取到最小值,故对任意m,a+b+c≤am2+bm+c,即a+b≤am2+bm,故③错误;由两点式得y=ax+1x−3=ax2−2ax−3a,故b=−2ac=−3a,故2c=−6a=3b,故②错误,故cx2+bx+a=−ax+1(3x−1),即设BC=x,显然tan∠BAC=x5,tan∠BDC=xtan∠BDC=tan∠BAC+2∠BAC=x1由黄金分割点定义知AP=53显然,二次函数开口向上,且对称轴为x=a2,当a2≤0时,即a≤0,当x=0时,ymin=a2+2a+2=4,解得a=−1−3或−1+3(舍);当0<a2当x=2时,ymin=a连结AP,AB,取AB中点C,连结CQ,CO,因为OA=4,OB=3,因此AB=5,OC=52,CQ=12方法一:对于(1),过点B作AO的垂线交AO延长线于点D,x=20,∵OC为∠∴BO∴BC由斯特瓦尔特定理,当OC为∠AOBOC因此OC=对于(2),同(1)可得z=方法二:过点C作CD//OB交OA于点依题意得,∠BOC∵CD∴∠OCD∴△OCD∴CD∴AD∵CD∴△ACD∴AD即x−zx(1)当x=20,(2)x=2y时,即3yz=(1)2,−9分析:主要考察抛物线的基本知识和图像.(1)14;(1)略；(2)(一2,2),4:1分析:主要考察位似三角形的基本定义.(1)略;(2)10;(3)分析:(1)(2)问主要考察外心的简单性质以及勾股定理.(3)问主要考察“一线三等角模型”发现弧AB所对圆心角为90∘19.(1)10,15;(2)y=−(3)w=−2x20.(1)见解答；(2)400；(3)y分析:本题主要考察圆中角的关系,导角即可.(1)证明:∵∠ACE∴∠ADF∵∠PDF∴∠ADF(2)分析:本题主要考察相似关系,由题意把着眼点放在DE和AC上,不难发现包含这两条边的△CDE和△ACD具有相似关系,进而可以得到DE⋅AC=CD∵OG∴∠CGO∴OG∵BC