2024-2025学年广东省肇庆市广信中学、四会中学等五校高二（上）第二次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广信中学、四会中学等五校高二（上）第二次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过A(2,t)，B(5,−5)两点的直线的倾斜角是135°，则t=(

)A.2 B.−2 C.4 D.−42.已知直线l1：x+ay−20=0与l2：2x+(a+1)y−10=0.若l1//lA.−1 B.1 C.13 D.3.一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为(

)A.100π3 B.208π3 C.500π34.关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是(

)A.若l//α，α∩β=m，则l//m B.若l//α，m//α，则l//m

C.若l⊥α，m//α，则l⊥m D.若l//α，m⊥l，则m⊥α5.已知一个圆锥的体积为3π3，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为A.2π B.3π C.−3π6.圆台的高为2，体积为14π，两底面圆的半径比为1：2，则母线和轴的夹角的正切值为(

)A.33 B.32 C.7.如图，已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为(

)A.63

B.−63

8.《九章算术》中关于“刍童”(上、下底面均为矩形的棱台)体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.现有“刍童”ABCD−EFGH，其上、下底面均为正方形，若EF=2AB=8，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为32，则该“刍童”的体积为(

)A.224 B.448 C.2243 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.直线x−3y+3=0的倾斜角为60°

B.直线3x−2y−4=0在y轴上的截距为−2

C.直线(m+3)x−y−m+2=0过定点(1,5)

D.三条直线y=−x+1，2x+3y−5=010.下列说法正确的是(

)A.已知空间向量m=(3,1,3),n=(−1,λ,−1)，且m//n，则实数λ=−13

B.直线x+2y−4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是52．

C.已知直线l过点(2,1)，且与x，y轴正半轴交于点A、B两点，则△AOB面积的最小值为4

D.若直线l沿x轴向左平移11.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为A.BD⊥平面ACC1

B.向量B1C与AA1的夹角是60°

C.AC1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l1：(2a−1)x+y+3=0，l2：x+ay+3=0，若l1⊥l213.已知A(2,1)点到直线x−ay+1=0的距离为1，则a=______．14.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC上的动点且不与B重合，F为线段A1E的中点.给出下列四个命题：

①三棱锥A−A1BE的体积为12；

②AB1⊥四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的三个顶点分别为A(2,−1)，B(2,4)，C(4,1)．

(1)求边AC的中线和高所在直线的方程；

(2)若过顶点A的直线l的斜率存在，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．16.(本小题15分)

如图，PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=∠BAD=90°，F为PA的中点，PD=2，AB=AD=12CD=1，四边形PDCE为矩形．

(1)求证：AC/​/平面DEF；

(2)求点F到直线PC的距离；

(3)求平面ABCD17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．

(1)求点B到平面MNC的距离；

(2)求直线MB与平面BNC所成角的余弦值．18.(本小题17分)

已知圆心为C的圆经过O(0,0)，A(0,23)两点，且圆心C在直线l：y=3x上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)点P19.(本小题17分)

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，满足DE/​/BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示．

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)在线段A1C上是否存在点N，使平面CBM参考答案1.B

2.B

3.C

4.C

5.B

6.B

7.C

8.B

9.BCD

10.ACD

11.ACD

12.1313.4314.②③④

15.解：(1)①边AC的中点为D(3,0)，又B(2,4)，∴直线BD的斜率为4−02−3=−4，

∴边AC上的中线所在直线的方程为y−0=−4(x−3)，即4x+y−12=0．

②直线AC的斜率为1−(−1)4−2=1，∴边AC上的高所在直线的斜率为−1，

∴边AC上的高所在直线的方程为y−4=−(x−2)，即x+y−6=0．

(2)①当直线l的斜率存在时，直线l的方程可设为y+1=k(x−2)，即kx−y−2k−1=0，

由题意，原点到直线l的距离为2，即|2k+1|k2+1=2，解得k=34，

∴所求直线l的方程为3x−4y−10=0．

②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为16.解：(1)证明：设CP∩DE=G，连接FG，

由四边形PDCE为矩形，得G为PC中点，

又F为PA中点，则AC/​/FG，

又FG⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，

所以AC/​/平面DEF．

(2)由PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=90°，得直线DA、DC、DP两两垂直，

以D为坐标原点，直线DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则B(1,1,0)、C(0,2,0)、P(0,0,2)、F(12,0,22)，

PF=(12,0,−22)，CP=(0,−2,2)，

所以点F到直线PC的距离为d=|PF|2−(PF⋅CP|CP|)2=34−(−16)2=2117.解：(1)∵PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，

以D为原点，如图建立空间直角坐标系D−xyz，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，

∵M，N分别为DA，DP中点，∴M(12,0,0)，N(0,0,1)，

则MN=(−12,0,1)，MC=(−12,1,0)，MB=(12,1,0)，

设平面MNC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅MN=−12x+z=0n⋅MC=−12x+y=0，

令x=2，则y=1，z=1，所以n=(2,1,1)，

则MB⋅n=2×12+1×1+1×0=2，|n|=22+12+12=6，

∴点B到平面MNC的距离d=|MB⋅n||n|=218.解：(1)因为圆心C在直线l：y=3x上，

所以设圆心C的坐标为(a,3a)，

所以圆C的方程为(x−a)2+(x−3a)2=r2(r>0)，

因为圆经过O(0,0)，A(0,23)两点，

所以(0−a)2+(0−3a)2=r2(0−a)2+(23−3a)2=r19.(1)证明：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，DE/​/BC，且BC⊥CD，

所以DE⊥CD，DE⊥AD，则折叠后，DE⊥A1D，

又A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1CD，

所以DE⊥平面A1CD，A1C⊂平面A1CD，

所以DE⊥A1C，

又已知A1C⊥CD，CD∩DE=D，且都在面BCDE内，

所以A1C⊥平面BCDE；

(2)解：由(1)，分别以CD，CB，CA1所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系C−xyz，

因为AD=2CD，故DE=23BC=2，

由几何关系可知，CD=2，A1D=4，A1C=23，

故C(0,0,0)，D(2,0,0)，E(2,2,0)，B(0,3,0)，A1(0,0,23)，M(1,