福建省厦门市2024-2025学年高一数学上学期期中试题

福建省厦门市2024-2025学年高一数学上学期期中试题（试卷满分：150分；考试时间：120分钟）留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，，所以,所以.故选：D.2.设，且，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取特别值推断ABC，由幂函数的单调性推断D.【详解】当时，，，因为幂函数在当单调递增，，所以故选：D3.下面各组函数中是同一函数是（）A.与B.与C.与D.与【答案】C【解析】【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.【详解】A．函数的定义域为，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C．4.已知,,则的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】,选B5.“”是“函数为奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】依据函数奇偶性的定义及性质，分别验证充分性与必要性，即可得到结果.【详解】因为函数定义域为关于对称，当时，，则故函数为奇函数；当函数为奇函数时，，即，解得.所以“”是“函数为奇函数”的充要条件.故选:C.6.函数图象大致形态是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据函数的解析式，得出函数为奇函数，再结合对数函数的图象与性质，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，解除B、D；又由当时，函数是单调递减函数，解除A.故选：C.【点睛】本题主要考查了依据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记函数的基本性质，娴熟应用对数函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与判定实力.7.设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为（）A.2 B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可推断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果【详解】由题意知，（），设，则，因为，所以为奇函数，在区间上的最大值与最小值的和为0，故，所以.故选:C.8.为了广阔人民群众的食品健康，国家提倡农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位依据特定的技术标准进行生产，并要经过特地机构认定，获得许可运用绿色蔬菜商标标记资格．农药的平安残留量是其很重要的一项指标，平安残留量是指某蔬菜运用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发觉该农药的平安残留量为0.001mg/kg，且该农药喷洒后会渐渐自动降解，其残留依据y＝ae﹣x的函数关系降解，其中x的单位为小时，y的单位为mg/kg．该农药的喷洒浓度为2mg/kg，则该农药喷洒后的残留量要达到平安残留量标准，至少须要（）小时．（参考数据ln10≈2.3）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】先由可得a的值，再依据指数和对数的运算法则，解不等式2≤0.001，即可．【详解】解：由题意知，当x＝0时，y＝2，所以2＝a•e﹣0，解得a＝2，所以y＝2e﹣x，要使该农药喷洒后的残留量要达到平安残留量标准，则2e﹣x≤0.001，解得x≥﹣ln＝3ln10+ln2≈3×2.3+ln2＝6.9+ln2，因为ln＜ln2＜lne，即0.5＜ln2＜1，所以6.9+ln2∈（7.4，7.9），所以要使该农药喷洒后的残留量要达到平安残留量标准，至少须要8小时．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.设集合，若，则实数a的值可以是（）A.0 B.1 C.2 D.5【答案】ACD【解析】【分析】化简集合，由可得，分和两种状况进行探讨即可求解【详解】，因为，所以，若，则，满意；若，则，因为，所以或，解得或，故选：ACD10.已知正数满意，则下列选项正确的是（）A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】依据题设条件和基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】因为正数满意，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；由，可得，即，当且仅当时成立，所以B正确；由，当且仅当时成立，所以C错误；由正数满意，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值是，所以D正确.故选：ABD11.已知实数a满意，下列选项中正确的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】依据即可推断A；依据即可推断B，留意符号；依据即可推断C；利用立方和公式即可推断D.【详解】解：因为，所以，，故A正确；，所以，故B错误；，又，所以，则，故C正确；，故D正确.故选：ACD.12.函数的定义域为I，若使得均有，且函数是偶函数，则可以是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】求出各函数的最大值，推断各函数的奇偶性，即可得出答案.【详解】解：对于A，，定义域为，当时，，则，所以函数没有最大值，则不存在，使得，故A不符题意；对于B，，当时，，当时，，当且仅当，即或时取等号，所以又，所以，所以，即，使得，又，而，所以函数是偶函数，故B符合题意；对于C，，则，因为，所以，所以函数是奇函数，故C不符合题意；对于D，由，得，故使得，因为与要么都是有理数，要么都是无理数，所以，所以函数是偶函数，故D符合题意.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域为_________.【答案】【解析】【分析】依据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域.【详解】由函数解析式知：，解得，故答案为：.14.若幂函数在区间上单调递增，则_____________．【答案】256【解析】【分析】依据幂函数的定义及性质求出，即可得出答案.【详解】解：因为幂函数在区间上单调递增，所以，解得，所以，则.故答案为：256.15.已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，当时，能成立，分类探讨的范围，利用二次函数的性质，求得实数的取值范围．【详解】关于的不等式在区间上有解，即当时，不等式能成立，即能成立．当时，不等式不成立，故．当时，则时，函数的最小值为，求得．当时，二次函数的图象开口向下，满意条件．综上可得，实数的范围为或，故答案为：【点睛】易错点睛：解答本题时要留意审题，本题不是恒成立问题，而是能成立问题，所以等价于当时，不等式能成立．即函数的最小值大于零，而不是最大值大于零.16.若是奇函数，则_____________，_____________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】依据奇函数的定义域关于原点对称，得到，即可求出的值，求出函数的定义域，再由奇函数的性质，求出的值，再代入检验即可.【详解】解：因为是奇函数，定义域关于原点对称，由，可得，所以且，所以，所以，所以函数的定义域为，所以，即，所以，此时，则，符合题意；故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，记关于的不等式的解集为，不等式的解集为.（1）若，求集合；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）干脆解不等式得解；（2）先化简集合,再依据，得到关于的不等式得解.【详解】（1）由，得；（2）.由，得，又，所以，即的取值范围是.18.计算求值：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据指数幂的运算性质计算即可；（2）依据对数的运算性质计算即可.【小问1详解】解：；【小问2详解】解：.19.某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满意函数：.（1）将利润P（单位：元）表示为月产量x的函数；（2）当月产量何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）【答案】（1）；（2）当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.【解析】【分析】（1）分与两种状况，求解出利润P（单位：元）表示为月产量x的函数；（2）分分与两种状况，求解出利润的最大值，比较后得到结论.【小问1详解】当时，，故，当时，，故，故；【小问2详解】当时，，故当时，取得最大值，最大值为25000；当时，单调递减，故，综上：当月产量300台时，总利润最大，最大利润为25000元.20.已知定义在上的奇函数.（1）求；（2）用定义证明：在区间上单调递减；（3）若实数满意，求的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）由是定义在上的奇函数，得到，即可求解；（2）依据函数的单调性的定义，即可证得函数在单调递减.（3）结合在单调递减，转化为，即可求解实数的取值范围.【详解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，可得，解得.（2）任取且，则因，故，从而，即，所以函数在单调递减.（3）由，又由，因为，结合在单调递减，可得，即，解得或，即实数的取值范围.【点睛】含有“”的不等式的解法：1、首先依据函数的性质把不等式转化为的形式；2、依据函数的单调性去掉“”，转化为详细的不等式（组），此时要留意和的取值应再外层函数的定义域内；3、结合不等式（组）的解法，求得不等式（组）的解集，即可得到结论.21.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发觉可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．（1）推断函数为奇偶性，并求函数的图像的对称中心；（2）类比上述推广结论，写出“函数的图像关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论．【答案】（1）为奇函数，的对称中心是；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先依据定义证明为奇函数，然后找出之间的关系，利用题目条件写出的对称中心；（2）仿照题干的写法写出相关命题即可【小问1详解】为奇函数，证明如下，首先定义域为，关于原点对称，又，故为奇函数，，故，于是是奇函数，由题意知，对称中心是；【小问2详解】函数的图像关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.22.若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得随意都有，且，则称为上的-增长函数.(1)已知函数，函数，推断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；(2)已知函数，且是区间上的-增长函数，求正整数的最小值；(3)假如是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.【答案】(1)是，不是，理由见解析；(2)；(3).【解析】【分析】(1)利用给定定义推理推断或者反例推断而得；(2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)依据题设条件，写出函数f(x)的解析式，再分段探讨求得，最终证明即为所求.【详解】(1)g(x)定义域R，，g(x)是，取x=-1，，h(x)不是，函数是区间上的增长函数，函数不是；(2)依题意，，而n>0，关于x的一次函数是增函数，x=-4时，所以n2-8n>0得n>8，从而正整数n的最小值为9；(3)依题意，，而，f(x)在区间[-a2,a2]上是递减的，则x，x+4不能同在区间[-a2,a2]上，4>a2-(-a2)=2a2，又x∈[-2a2，0]时，f(x)≥0，x∈[0，2a2]时，f(x)≤0，若2a2<4≤4a2，当x=-2a2时，x+4∈[0，2a2]，f(x+4)≤f(x)不符合要求，所以4a2<4，即-1<a<1.因为：