统考版2025届高考数学全程一轮复习第四章三角函数解三角形第七节解三角形应用举例学生用书

第七节解三角形应用举例·最新考纲·驾驭正弦定理和余弦定理，并能解决一些简洁的三角形度量问题．·考向预料·考情分析：利用正、余弦定理解三角形，推断三角形的形态，尤其是正、余弦定理的综合问题仍将是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．学科素养：通过利用正、余弦定理解决实际问题考查数学应用、数学建模的核心素养．积累必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记3个学问点1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线______时叫仰角，目标视线在水平视线______时叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指________________，即东北方向．3．方向角相对于某一正方向的角(如图)(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．二、必明2个常用结论1．坡角坡面与水平面的夹角．(如图所示)2．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝hl＝tanα(i为坡比，α三、必练4类基础题(一)推断正误1．推断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π(2)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°.()(3)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是0，π(二)教材改编2．[必修5·P15练习T1改编]从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°3．[必修5·P11例1改编]如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD．252(三)易错易混4．一船向正北航行，望见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，接着航行半小时后，望见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．(四)走进高考6．[2024·全国乙卷]魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”．则海岛的高AB＝()A．表高×表距表目距的差B．表高×表距表目距的差C．表高×表距表目距的差D．表高×表距提升关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一解三角形应用举例[应用性]角度1距离问题[例1][2024·山东测试]自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生层云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，宏大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍旧潜心探讨如何缩短空间距离便利出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A，B，C，D在同一水平面内)，则A，D间的距离为________．听课笔记：反思感悟求解距离问题应留意(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则干脆解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，假如都可用，就选择更便于计算的定理.角度2高度问题[例2][2024·辽宁高三月考]岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局．因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度CD约为(2≈1.414，3≈1.732)()A．18米B．19米C．20米D．21米听课笔记：反思感悟求解高度问题应留意(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)精确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，留意方程思想的运用.角度3角度问题[例3][2024·河南豫西名校联考]当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为()A．30°B．60°C．45°D．90°听课笔记：反思感悟测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最终将解得的结果转化为实际问题的解．[提示]方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必需先弄清晰哪一个点的方向角．【对点训练】1．甲船在A处视察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝()A．15°B．30°C．45°D．60°2．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，须要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1km，CD＝3km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A，C之间的距离为()A．22kmB．10kmC．13kmD．33km3．[2024·福建漳州市月考]为了增加数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究．当地有一座山，高度为OT，同学们先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北21.7°方向，且山顶T处的仰角为30°；然后从A处向正西方向走140米后到达地面B处，测得该山在西偏北81.7°方向，山顶T处的仰角为60°.同学们建立了如图模型，则山高OT为()A．207米B．257米C．2021米D．2521米考点二正、余弦定理在平面几何中的应用[综合性][例4][2024·广东广州市高三模拟]如图，在四边形ABCD中，△BCD是等腰直角三角形，∠BCD＝90°，∠ADB＝90°，sin∠ABD＝55，BD＝2，AC与BD交于点E(1)求sin∠ACD；(2)求△ABE的面积．听课笔记：

反思感悟平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所供应的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．(2)找寻各个三角形之间的联系，交叉运用公共条件，求出结果.【对点训练】[2024·广东湛江市高三模拟]如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝5π6，∠ADC＝π4，AB＝2AC＝22，(1)求cos∠ACD的值；(2)求BC的值．微专题20渗透智育教化激活思维潜能五育并举[例][2024·河南高三模拟]“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传闻常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽视不计)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为()A．65米B．74米C．83米D．92米解析：设AC的高度为x，则由已知可得AB＝3x，BC＝BE＝2x，BD＝ABtan∠ADB＝33所以DE＝BD－BE＝33x－2x＝79，解得x＝793所以楼高AB≈3×24.7＝74.1≈74(米)．答案：B名师点评本题以“鹳雀楼”为背景设计试题，考查解三角形等学问，体现了智育的素养导向．破解此类题的关键是精确获得有效信息，合理运用获得到的信息画出草图，把所求的问题转化到几何图形中，通过合理运用平面几何相关学问进行求解．[变式训练][2024·东北三省四市教研联考]如图，小明同学为了估算某建筑物的高度，在该建筑物的正东方向找到一座建筑物AB，高为(153－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A、该建筑物顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得该建筑物C的仰角为30°，则小明估算该建筑物的高度为()A．20mB．30mC．203mD．303m第七节解三角形应用举例积累必备学问一、1．上方下方2．北偏东45°三、1．答案：(1)×(2)×(3)×2．解析：由已知及仰角、俯角的概念画出草图，如图，则α＝β.答案：B3．解析：由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，又由题意得∠CBA＝30°，所以AB＝ACsin答案：A4.解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.5答案：C5.解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.答案：北偏西15°6．解析：因为FG∥AB，所以FGAB＝GCCA，所以GC＝FGAB·CA.因为DE∥AB，所以DEAB＝EHAH，所以EH＝DEAB·AH.又DE＝FG，所以GC－EH＝DEAB(CA－AH)＝DEAB×HC＝DEAB×(HG＋GC)＝DEAB×(EG－EH＋GC)．由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为答案：A提升关键实力考点一例1解析：如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝9＋25－2×3×5×-1所以BD＝7，由正弦定理得，CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，即解得sin∠DBC＝33因为∠ABD＝∠ABC－∠DBC，所以cos∠ABD＝cos(90°－∠DBC)＝sin∠DBC＝33在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD＝16＋49－2×4×7×3314＝65－12所以AD＝65-123，即A，D间的距离为65-12答案：65-123例2解析：Rt△ADC中，∠DAC＝30°，则AC＝3CD，Rt△BDC中，∠DBC＝45°，则BC＝CD，由AC－BC＝AB得3CD－CD＝14⇒CD＝143-1＝7(3＋1)≈19.124，答案：B例3解析：设竹竿与地面所成的角为α，影子长为xm．由正弦定理得2sin60°＝xsin120°-α，所以x＝433sin(120°－α)，因为30°<120°－α答案：A对点训练1．解析：如图，设两船在C处相遇，则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且ACBC＝3，由正弦定理得ACBC＝sin120所以sin∠BAC＝12又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.所以甲船应沿北偏东30°方向前进．答案：B2．解析：由题意知，AB＝1km，CD＝3km，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠BED＝120°.所以BE＝ABtan30°＝1DE＝CDtan60°＝3在△BED中，由余弦定理得，BD2＝BE2＋DE2－2×BE×DE×cos∠BED＝3＋3－2×3×所以AC＝BD2+CD-AB2＝即两山顶A，C之间的距离为13km.故选C.答案：C3．解析：设山OT的高度为h，在Rt△AOT中，∠TAO＝30°，AO＝htan30°＝在Rt△BOT中，∠TBO＝60°，BO＝htan60°＝在△AOB中，∠AOB＝81.7°－21.7°＝60°，由余弦定理得，AB2＝AO2＋BO2－2·AO·BO·cos60°；即1402＝3h2＋13h2－2×3h×33h×12，化简得h2＝3又h>0，所以解得h＝140×37＝2021即山OT的高度为2021(米)．答案：C考点二例4解析：(1)因为△BCD是等腰直角三角形，∠BCD＝90°，BD＝2，所以∠CBD＝∠CDB＝45°，BC＝CD＝BDsin45°＝2；在△ABD中，∠ADB＝90°，sin∠ABD＝55，所以cos∠ABD＝1-55因此AB＝BDcos∠ABD＝5，则AD＝记∠ACD＝θ，则∠CAD＝180°－∠ADC－θ＝45°－θ，0°<θ