统考版2025届高考数学全程一轮复习课时作业39空间几何体的结构特征及三视图和直观图理

课时作业39空间几何体的结构特征及三视图和直观图[基础落实练]一、选择题1．[2024·内蒙古赤峰二中一模]下列说法中，正确的个数是()①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②过球面上随意两点只能作球的一个大圆；③三棱锥的四个面都可以是直角三角形；④梯形的直观图可以是平行四边形．A．1B．2C．3D．42．[2024·山东淄博模拟]碳70(C70)是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为()A．12B．25C．30D．363．[2024·河北衡水高三联考]已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(\r(10),4)D．eq\f(1,2)4．[2024·广东东莞模拟]古希腊哲学家泰勒斯测出了金字塔的高度．如图，将金字塔看作是正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底面边长约为230米；然后，他站立在沙地上，请人不断测量他的影子的长度，当他的影子的长度和身高相等时，他立即测量出该金字塔影子的顶点A与相应底面边长的中点B的距离约为22.2米．此时，影子的顶点A和底面中心O的连线恰好与相应的底边垂直，则该金字塔的高度约为()A．115米B．137.2米C．230米D．252.2米5．如图，在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点M，N分别在A1B1，D1C1上，且A1M＝D1N＝1.过点M，N的平面α与此四棱台的下底面会相交，则平面α与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为()A．18eq\r(7)B．30eq\r(2)C．6eq\r(61)D．36eq\r(3)6．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相像，但侧棱长肯定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．37．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱二、填空题8．如下图所示，梯形A1B1C1D1是水平放置的平面图形ABCD的直观图(斜二测画法)，若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝1，则四边形ABCD的面积是________．9．已知△ABC在斜二测画法下的平面直观图△A′B′C′，△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．10．如图所示的纸篓，视察其几何结构，可以看出是由很多条直线围成的旋转体．该几何体的正视图为________(填序号).[素养提升练]11．将正方体(如图a所示)截去两个三棱锥，得到图b所示的几何体，则该几何体的侧视图为()12．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A．eq\f(\r(2),4)a2B．2eq\r(2)a2C．eq\f(\r(2),2)a2D．eq\f(2\r(2),3)a213．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的全部面中最大面的面积是()A．3B．6C．8D．1014．已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．15．如图，点O为正方体ABCD­A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出全部可能的序号).课时作业39空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．解析：对于①，如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误；对于②，球面上随意两点与球心共线时，可以作球的多数个大圆，故错误；对于③，一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥满意题意，故正确；对于④，作直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故错误．答案：A2．解析：依据题意，顶点数就是碳原子数，即为70，每个碳原子被3条棱共用，面数为37，设有正五边形x个，正六边形y个，则x＋y＝37，5x＋6y＝70×3，解得x＝12，y＝25，故正六边形个数为25，即六元环的个数为25.答案：B3.解析：设该四棱锥为P­ABCD，由题意可知四棱锥P­ABCD满意底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，且PC＝PD＝3，AB＝4，AD＝2.如图，过点P作PE⊥CD，垂足为E，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD所成的角，且PE＝eq\r(PD2－DE2)＝eq\r(5)，AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝2eq\r(2)，所以tan∠PAE＝eq\f(PE,AE)＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4).答案：C4．解析：当泰勒斯的身高与影子长度相等时，身高与影子长度构成等腰直角三角形A1O1C1，依据金字塔高与影子所构成的直角三角形与△A1O1C1相像，可知金字塔底面中心O到影子的顶点A的距离即为塔高．所以金字塔塔高为OA＝OB＋BA＝eq\f(230,2)＋22.2＝137.2（米）.答案：B5．解析：当斜面α经过点BCNM时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上底为MN＝4，下底为BC＝8，此时作正四棱台ABCD­A1B1C1D1俯视图如下：则MN中点在底面的投影到BC的距离为8－2－1＝5.因为正四棱台ABCD­A1B1C1D1的高为5，所以截面等腰梯形的高为eq\r(52＋52)＝5eq\r(2)，所以截面面积的最大值为S＝eq\f(1,2)×（4＋8）×5eq\r(2)＝30eq\r(2).答案：B6．解析：①错误，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②错误，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相像且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不肯定相等．答案：A7.解析：由三视图可知该几何体应为横向放置的三棱柱（如图所示）.答案：B8．解析：由直观图知，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，因为A1D1∥O′y′，所以AD⊥CD，且AD＝2，依据梯形面积公式S＝eq\f(1,2)×（2＋3）×2＝5.答案：59．解析：设原图形的面积为S1，斜二测画法所得图形的面积为S2，由斜二测画法可知：eq\f(S2,S1)＝eq\f(\r(2),4)，题中S2＝eq\f(1,2)×a×a×sin60°＝eq\f(\r(3),4)a2.则原△ABC的面积为S1＝eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(4,\r(2))＝eq\f(\r(6),2)a2.答案：eq\f(\r(6),2)a210．解析：①②④中的几何体是由圆台、圆锥、圆柱组成的．而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线．即①，②，④不行能为该几何体的正视图．答案：③11．解析：还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．答案：B12．解析：依据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝eq\f(\r(2),4)S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于eq\f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq\r(2)a2.答案：B13．解析：由三视图知该几何体为如图所示的四棱锥S­ABCD，其中平面SAD⊥平面ABCD，底面是矩形（矩形的两邻边长分别是2，4）.由题意得四棱锥的高为eq\r(32－22)＝eq\r(5)，△SAB，△SCD是直角三角形，△SBC是等腰三角形，通过计算知在△SBC中，边BC上的高为eq\r(（\r(5)）2＋22)＝3，S矩形ABCD＝2×4＝8，S△SAD＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5)，S△SAB＝S△SCD＝eq\f(1,2)×2×3＝3，S△SBC＝eq\f(1,2)×4×3＝6.答案：C14．解析：如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图：因为OE＝eq\r(（\r(2)）2－1)＝1，所以O′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝