统考版2025届高考数学全程一轮复习课时作业48两直线的位置关系理

课时作业48两直线的位置关系[基础落实练]一、选择题1．[2024·无锡市市北高级中学模拟]“m＝1”是“直线mx＋y＝1与直线x－my＝1相互垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．[2024·安徽高三月考]“a＝－1”是“直线2x＋ay＋4＝0与直线(a－1)x＋y＋2＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件3．[2024·浙江高三专题练习]已知A(3，1)，B(1，－2)，C(1，1)，则过点C且与线段AB垂直的直线方程为()A．3x＋2y－5＝0B．3x－2y－1＝0C．2x－3y＋1＝0D．2x＋3y－5＝04．已知集合A＝{(x，y)|3x－y＝0}，B＝{(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝()A．－3B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3)D．35．[2024·山西检测]一入射光线经过点M(2，6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3，4)，则反射光线所在直线方程为()A．2x－y＋13＝0B．6x－y＋22＝0C．x－3y＋15＝0D．x－6y＋27＝06．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A．eq\r(5)B．eq\r(6)C．2eq\r(3)D．2eq\r(5)7．已知a>0，b>0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则eq\f(a＋2,a＋1)＋eq\f(1,2b)的最小值为()A．2B．4C．eq\f(4,5)D．eq\f(9,5)二、填空题8．平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为____________________．9．[2024·山东夏津一中月考]过直线2x＋y－1＝0和直线x－2y＋2＝0的交点，且与直线3x＋y＋1＝0垂直的直线方程为________．10．[2024·广东广州模拟]若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点________．[素养提升练]11．[2024·南京市大厂高级中学检测]已知直线l1：2x－y＋1＝0，直线l2与l1关于直线l：y＝－x对称，则直线l2的方程为()A．x－2y＋1＝0B．x＋2y＋1＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－1＝012．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝eq\f(ax0＋by0＋c,\r(a2＋b2)).已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，则以下命题正确的是()A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直C．若d1＝d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交13．设直线l经过点A(－1，1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为____________．14．已知点P(2，－1).(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程以及最大距离；(3)求过点P且斜率为2的直线与直线4x－2y＋1＝0之间的距离；(4)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．15．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4).(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．课时作业48两直线的位置关系1．解析：若m＝1，则直线x＋y＝1和直线x－y＝1相互垂直，是充分条件；若直线mx＋y＝1与直线x－my＝1相互垂直，则m×1＋1×（－m）＝0，因为m取随意实数都成立，故不是必要条件．答案：A2．解析：当两直线平行，∴1×2－（a－1）a＝0，解得a＝2或a＝－1，当a＝2，两直线重合，舍去；当a＝－1时，两直线平行．所以“a＝－1”是“直线2x＋ay＋4＝0与直线（a－1）x＋y＋2＝0平行”的充要条件．答案：C3．解析：因为kAB＝eq\f(－2－1,1－3)＝eq\f(3,2)，所以与AB垂直的直线的斜率为－eq\f(2,3)，所以过点C且与线段AB垂直的直线方程为y－1＝－eq\f(2,3)（x－1），即2x＋3y－5＝0.答案：D4．解析：因为A∩B＝∅，所以直线3x－y＝0与直线x＋my＋1＝0平行，所以3×m－（－1）×1＝0所以m＝－eq\f(1,3).经检验，当m＝－eq\f(1,3)时，两直线平行．答案：B5．解析：因为点M（2，6）关于l：x－y＋3＝0的对称点为M′（3，5），所以反射光线M′N的方程为x－6y＋27＝0.答案：D6．解析：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))把（1，2）代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴点（m，n）到原点的距离d＝eq\r(m2＋n2)＝eq\r(（5＋2n）2＋n2)＝eq\r(5（n＋2）2＋5)≥eq\r(5)，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点（m，n）到原点的距离的最小值为eq\r(5).答案：A7．解析：因为l1⊥l2，所以2b＋a－4＝0，即a＋1＋2b＝5，因为a>0，b>0，所以a＋1>0，2b>0，所以eq\f(a＋2,a＋1)＋eq\f(1,2b)＝eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,2b)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(1,2b)))×eq\f(1,5)（a＋1＋2b）＋1＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(2b,a＋1)＋\f(a＋1,2b)))＋1≥eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(2b,a＋1)·\f(a＋1,2b))))＋1＝eq\f(4,5)＋1＝eq\f(9,5)，当且仅当a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(5,4)时，等号成立．答案：D8．解析：设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0（c≠－2），则d＝eq\f(|－2－c|,\r(32＋42))＝1，∴c＝3或c＝－7，即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.答案：3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝09．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－1＝0，,x－2y＋2＝0))得交点坐标为（0，1）.因为直线3x＋y＋1＝0的斜率为－3，所求直线与直线3x＋y＋1＝0垂直，所以所求直线的斜率为eq\f(1,3)，则所求直线的方程为y－1＝eq\f(1,3)x，即x－3y＋3＝0.答案：x－3y＋3＝010．解析：由题意知直线l1过定点（4，0），则由条件可知，直线l2所过定点关于点（2，1）对称的点为（4，0），故可知直线l2所过定点为（0，2）.答案：（0，2）11．解析：在l1：2x－y＋1＝0上任取一点P（x0，y0），设关于直线l：y＝－x的对称点为Q（x，y），所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0)＝1,\f(y＋y0,2)＝－\f(x＋x0,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－y,y0＝－x))，代入l1：2x－y＋1＝0，得：x－2y＋1＝0，所以直线l2的方程为x－2y＋1＝0.答案：A12．解析：对于A项，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝eq\r(a2＋b2)，直线P1P2与直线l平行，正确；对于B项，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P未必与l垂直，错误；对于C项，若d1＝d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D项，若d1·d2≤0，即（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c）≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．答案：A13．解析：设点B（2，－1）到直线l的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l垂直于直线AB，kl＝－eq\f(1,kAB)＝eq\f(3,2)，∴直线l的方程为y－1＝eq\f(3,2)（x＋1），即3x－2y＋5＝0.答案：3x－2y＋5＝014．解析：（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为（2，－1），明显，过点P（2，1）且垂直于x轴的直线满意条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k（x－2），即kx－y－2k－1＝0.由已知得eq\f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4).此时l的方程为3x－4y－10＝0.（2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得k1kOP＝－1，所以k1＝－eq\f(1,kOP)＝2.由直线方程的点斜式，得y＋1＝2（x－2），即2x－y－5＝0.所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).（3）两直线分别为2x－y－5＝0和4x－2y＋1＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－y＋\f(1,2)＝0))，所以距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－（－5）)),\r(22＋12))＝eq\f(11\r(5),10).（4）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过eq\r(5)的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．15．解析：（1）设A关于直线l的对称点为A′（m，n），则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝8，))故A′（－2，8）.P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，则点P就是直线A′B与直线l的交点，解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,x－2y＋8＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(