统考版2025届高考数学全程一轮复习课时作业64二项分布正态分布及其应用理VIP

课时作业64二项分布、正态分布及其应用[基础落实练]一、选择题1．[2024·广东模拟]2024年12月4日是第七个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法学问，弘扬宪法精神”的学问竞赛活动．甲同学答对第一道题的概率为eq\f(2,3)，连续答对两道题的概率为eq\f(1,2).用事务A表示“甲同学答对第一道题”，事务B表示“甲同学答对其次道题”，则P(B|A)＝()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)2．[2024·山东济南十一学校联考]山东烟台苹果因“果形端正、色泽明丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)听从正态分布N(80，52)，则直径在(75，90]内的概率为(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544)()A．0.6826B．0.8413C．0.8185D．0.95443．[2024·湖南长郡十五校其次次联考]十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，许多人把生肖作为春节的祥瑞物，以此来表达对新年的祝愿．某课外爱好小组制作了一个正十二面体模型(如图)，并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的祥瑞物.2024年春节前，爱好小组的2个成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上(即牛的图案在最上面)，2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为()A．eq\f(1,12)B．eq\f(143,144)C．eq\f(11,72)D．eq\f(23,144)4．[2024·辽宁丹东质检]10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参与抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为()A．eq\f(3,5)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,15)5．[2024·广东户肇庆模拟]已知两种不同型号的电子元件(分别记为X，Y)的运用寿命均听从正态分布，X～N(μ1，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))，Y～N(μ2，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中不正确的是(参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545)()A．P(μ1－σ1＜X＜μ1＋2σ1)≈0.8186B．P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)C．P(X≤σ2)＜P(X≤σ1)D．对于随意的正数t，有P(X≤t)＞P(Y≤t)二、填空题6．[2024·湖北恩施中学、龙泉中学、宜昌一中联考]已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，全部小球大小、形态完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去．其次次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．依次类推，第n＋1次从与第n次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，则第4次取出的球是红球的概率为________．7．[2024·江苏七市其次次调研]已知随机变量X～N(2，σ2)，P(X＞0)＝0.9，则P(2＜X≤4)＝________．8．[2024·江苏南京秦淮中学开学考]设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，则P(η≥2)的值为________．三、解答题9．在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参与了其中3个项目的竞赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是eq\f(2,3)，那么在本次运动会上：(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．10．绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视.2024年广州市某公司为了动员职工主动参与植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球(这些球除颜色外全相同)，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球(a，b∈N*)，乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．(1)经统计，每人的植树棵数X听从正态分布N(20，25)，现有100位植树者，请估计植树的棵数X在区间(15，25)内的人数(结果四舍五入取整数)；(2)某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？附参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545.[素养提升练]11．[2024·福建厦门外国语学校月考]甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事务；再从乙罐中随机取出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事务，下列结论不正确的为()A．P(M)＝eq\f(1,2)B．P(M|A1)＝eq\f(6,11)C．事务M与事务A1不相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事务12．[2024·湖北重点中学调研]四张外观相同的奖券让甲，乙，丙，丁四人各随机抽取一张，其中只有一张奖券可以中奖，则不正确的是()A．四人中奖概率与抽取依次无关B．在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为eq\f(2,3)C．事务甲或乙中奖与事务丙或丁中奖互斥D．事务甲中奖与事务乙中奖相互独立13．[2024·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟]一个袋中有大小、形态相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则()A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)14．羽毛球是一项隔着球网，运用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球竞赛的计分规则：采纳21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则接着竞赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球竞赛中，甲选手在每回合中得分的概率为eq\f(3,4)，乙选手在每回合中得分的概率为eq\f(1,4).(1)在一局竞赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合竞赛甲获胜的概率；(2)在一局竞赛中，记前4回合竞赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望E(X).15.中国人民解放军装甲兵学院(前身蚌埠坦克学院)，建校至今为我国培育了一大批优秀的军事人才．在今年新入学的学生中，为了加强爱校教化，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45～95之间，分为[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.(1)请依据频率分布直方图估计样本的平均数eq\x\to(X)和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)依据样本数据，可认为新入学的学生校史问卷测试分数X近似听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\x\to(X)，σ2近似为样本方差s2.①求P(47.2＜X＜79.9)；②在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，eq\r(119)≈10.9，0.95446≈0.76，0.97725≈0.89，0.97726≈0.87.课时作业64二项分布、正态分布及其应用1．解析：∵P（AB）＝eq\f(1,2)，P（A）＝eq\f(2,3)，∴P（B|A）＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,2),\f(2,3))＝eq\f(3,4).答案：D2．解析：烟台苹果的直径（单位：mm）听从正态分布N（80，52），可得μ＝80，σ＝5，则直径在（75，90]内的概率为P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）－eq\f(1,2)[P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）－P（μ－σ＜X≤μ＋σ）]＝eq\f(1,2)[P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＋P（μ－σ＜X≤μ＋σ）]＝eq\f(1,2)×（0.9544＋0.6826）＝0.8185.答案：C3．解析：因为1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是eq\f(1,12)，所以2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率P＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(1,12)×（1－eq\f(1,12)）＝eq\f(11,72).答案：C4．解析：依据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：B5．解析：对于A，P（μ1－σ1＜X＜μ1＋2σ1）≈（0.6827＋0.9545）×eq\f(1,2)＝0.8186，A选项正确；对于B，由正态分布密度曲线，可知μ1＜μ2，所以P（Y≥μ2）＜P（Y≥μ1），B选项正确；对于C，由正态分布密度曲线可知σ1＜σ2，所以P（X≤σ2）＞P（X≤σ1），C选项错误；对于D，由题图可知，对于随意的正数t，有P（X≤t）＞P（Y≤t），D选项正确，所以选C.答案：C6．解析：设第n（n∈N*）次取出红球的概率为Pn，则取出白球的概率为1－Pn，考虑第n＋1次取出红球的概率Pn＋1.①若第n次取出的球为红球，则第n＋1次在红箱内取出红球的概率为eq\f(3,5)Pn；②若第n次取出的球为白球，则第n＋1次在白箱内取出红球的概率为eq\f(2,5)（1－Pn）.所以，Pn＋1＝eq\f(3,5)Pn＋eq\f(2,5)（1－Pn）＝eq\f(1,5)Pn＋eq\f(2,5)，又P1＝eq\f(3,5)，所以，P2＝eq\f(1,5)P1＋eq\f(2,5)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)＝eq\f(13,25)，P3＝eq\f(1,5)P2＋eq\f(2,5)＝eq\f(1,5)×eq\f(13,25)＋eq\f(2,5)＝eq\f(63,125)，P4＝eq\f(1,5)P3＋eq\f(2,5)＝eq\f(1,5)×eq\f(63,125)＋eq\f(2,5)＝eq\f(313,625).答案：eq\f(313,625)7．解析：因为P（X＞2）＝0.5，且μ＝2，所以P（X＜0）＝P（X＞4）＝1－P（X＞0）＝0.1，又P（X＞2）＝0.5，所以P（2＜X≤4）＝P（X＞2）－P（X＞4）＝0.4.答案：0.48．解析：因为随机变量ξ～B（2，p），P（ξ≥1）＝eq\f(5,9)，所以1－Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2))（1－p）2＝eq\f(5,9)，所以p＝eq\f(1,3)，所以η～B（4，eq\f(1,3)），所以P（η≥2）＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))（eq\f(1,3)）2（eq\f(2,3)）2＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))×eq\f(2,3)（eq\f(1,3)）3＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))（eq\f(1,3)）4＝eq\f(11,27).答案：eq\f(11,27)9．解析：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事务，并且每个事务发生的概率相同．设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事务A，则有P（A）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))（eq\f(2,3)）2eq\f(1,3)＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))（eq\f(2,3)）3＝eq\f(20,27).（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，X～B（3，eq\f(2,3)），则P（X＝0）＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))（1－eq\f(2,3)）3＝eq\f(1,27)，P（X＝1）＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·eq\f(2,3)（1－eq\f(2,3)）2＝eq\f(2,9)，P（X＝2）＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·（eq\f(2,3)）1·（1－eq\f(2,3)）＝eq\f(4,9)，P（X＝3）＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))·（eq\f(2,3)）3＝eq\f(8,27).所以X的分布列为X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)所以期望E（X）＝0×eq\f(1,27)＋1×eq\f(2,9)＋2×eq\f(4,9)＋3×eq\f(8,27)＝2.10．解析：（1）由题设，μ＝20，σ＝5，而P（15＜X＜25）＝P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈0.6827，∴100位植树者中植树的棵数在（15，25）内的人数为100×0.6827≈68人．（2）摸甲箱：由题设知a＋b＝5，故中100元、50元、没中奖的概率分别为eq\f(a,10)、eq\f(b,10)、eq\f(1,2)；摸乙箱：中100元、50元的概率分别为eq\f(2,5)、eq\f(3,5)，∴甲箱内一次摸奖，奖金可能值为X＝{0，50，100}，且P（X＝0）＝eq\f(1,2)，P（X＝50）＝eq\f(b,10)，P（X＝100）＝eq\f(a,10)，则E（X）＝0×eq\f(1,2)＋50×eq\f(b,10)＋100×eq\f(a,10)＝5b＋10a＝25＋5a，∴三次摸奖的期望为3E（X）＝75＋15a，而a可能取值为{1，2，3，4}，即3E（X）≤135.两次乙箱内摸奖，所得奖金可能值为X＝{100，150，200}，P（X＝100）＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))（eq\f(3,5)）2＝eq\f(9,25)，P（X＝150）＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))·eq\f(2,5)·eq\f(3,5)＝eq\f(12,25)，P（X＝200）＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))（eq\f(2,5)）2＝eq\f(4,25)，此时，期望奖金为E1（X）＝100×eq\f(9,25)＋150×eq\f(12,25)＋200×eq\f(4,25)＝140元．综上，3E（X）≤135＜E1（X）＝140，故其次种方案摸奖期望值大．11．解析：对于选项A，P（M）＝eq\f(4,10)×eq\f(6,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(5,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(5,11)＝eq\f(54,110)≠eq\f(1,2)，故A中结论错误；对于选项B，P（M|A1）＝eq\f(P（MA1）,P（A1）)＝eq\f(\f(4,10)×\f(6,11),\f(4,10))＝eq\f(6,11)，故B中结论正确；对于选项C，当事务A1发生时，P（M）＝eq\f(6,11)，当事务A1不发生时，P（M）＝eq\f(5,11)，∴事务M与事务A1不相互独立，故C中结论正确；对于选项D，A1，A2，A3不行能同时发生，故是两两互斥的事务，故D中结论正确．答案：A12．解析：对于A，依据题意，每个人中奖的概率都为eq\f(1,4)，与抽奖的依次无关，故A正确；对于B，记“甲未中奖”为事务A，“乙或丙中奖”为事务B，则P（A）＝eq\f(3,4)，P（AB）＝P（B）＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，∴在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为P（B|A）＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq\f(2,3)，故B正确；对于C，事务甲或乙中奖与事务丙或丁中奖不行能同时发生，故它们互斥，故C正确；对于D，设“甲中奖”为事务M，“乙中奖”为事务N，则P（M）＝P（N）＝eq\f(1,4)，由于只有一张奖券可以中奖，故事务M，N不行能同时发生，故P（MN）＝0，因为P（MN）≠P（M）·P（N），所以M，N不相互独立，故D不正确．答案：D13．解析：ξ1的可能取值为0，1，2，ξ1～B（2，eq\f(1,3)），E（ξ1）＝2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，D（ξ1）＝2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)；ξ2的可能取值为0，1，P（ξ2＝0）＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P（ξ2＝1）＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,2)＝eq\f(2,3)，∴E（ξ2）＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D（ξ2）＝（0－eq\f(2,3)）2×eq\f(1,3)＋（1－eq\f(2,3)）2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).∴E（ξ1）＝E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）.答案：B14．解析：（1）记在经过4回合竞赛，甲获胜为事务A，可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以P（A）＝eq\f(3,4)×Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))（eq\f(3,4)）2×eq\f(1,4)＝eq\f(81,256)；（2）易知X的取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，eq\f(3,4)），P（X＝0）＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))（eq\f(1,4)）4＝eq\f(1,256)，P（X＝1）＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))（eq\f(1,4)）3×eq\f(3,4)＝eq\f(