西藏昌都市2025届高三数学一模理试题含解析

西藏昌都市2024届高三数学一模（理）试题一、单选题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先解出集合A，再求出.【详解】集合.因为，所以.故选：B2.，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．【详解】，∴，．故选：C．3.年某省高考体育百米测试中，成果全部介于秒与秒之间，抽取其中个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，其次组，，第六组，得到如下频率分布直方图．则该名考生的成果的平均数和中位数保留一位小数分别是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用中间值作代表求解平均数，先求出中位数在第四组，在依据频率列出方程，求出中位数．【详解】名考生成果的平均数，因为前三组频率直方图面积和为，前四组频率直方图面积和为，所以中位数位于第四组内，设中位数为，则，解得:，故选：C．4.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由，得，再利用，结合正弦的和角公式可求得答案.【详解】解：由，得，则，又，，所以，所以，则，又.故选：D.5.为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学实行“唱红歌”竞赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必需在第一或其次个出场，且丁不能最终一个出场方法有（）A.6种 B.8种 C.20种 D.24种【答案】B【解析】【分析】依据分类计数法将甲分为第一个出场和其次个出场两种状况，然后依据分步计数原理求出这两种状况下的排列方式，即可求解.【详解】解：由题意知：当甲第一个出场时，不同演讲的方法有（种）；当甲其次个出场时，不同演讲方法有（种）.所以所求的不同演讲方法有（种）故选：B6.已知实数，，，则这三个数的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的单调性及中间值比较大小．【详解】∵在定义域上单调递增，∴，，∵在定义域上单调递增，∴，，又，，故选：．7.双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C离心率的倍，则双曲线E的标准方程为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出双曲线焦点坐标和离心率，求出双曲线的a、b、c即可求其标准方程．【详解】双曲线与椭圆焦点相同，则焦点坐标为，椭圆的离心率为，∴双曲线的离心率为，设双曲线实半轴长为，虚半轴长为，焦距为2c，则c=2，，∴，∴所求双曲线方程为：．故选：C．8.记为等差数列的前项和，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式与求和公式可推断各选项的正误.【详解】设等差数列的公差为，由题知，解得，所以，，，则，.故选：D.9.已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于y轴对称，则的最小值为（）A.1 B.2 C. D.5【答案】D【解析】【分析】依据协助角公式，结合正弦型函数的奇偶性进行求解即可.【详解】，因为该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，所以，因为的图象关于y轴对称，所以是偶函数，因此有，因为，所以当时，有最小值，最小值为5，故选：D10.已知函数的图象上一点，，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】函数转化为，，作出图像，利用抛物线的定义可得，由此能求出的最小值．【详解】函数转化为，，又，，如图所示，为抛物线的焦点坐标，过作准线，交准线于点，交抛物线于点，此时由抛物线的定义可得，当点不在此位置时，由三角形两边之和大于第三边可得，即，所以的最小值为．故选：C．11.已知数列的首项，，前n项和满意，则数列的前n项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可得，进而可得，然后可得，利用等差数列的定义及求和公式即得.【详解】由得，即，所以，所以，两式作差，得，即，所以，所以或，又，故，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以数列的前n项和.故选：A.12.已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，由题意可得为定义域上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；分与两类探讨，将不等式等价转化为与，分别解之即可．【详解】令，当时，，当时，，在上单调递减；又为的奇函数，，即为偶函数，在上单调递增；又由不等式得，当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递减得，解得，故；当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递增得，解得，故；综上所述，不等式的解集为：．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，且，则______．【答案】【解析】【分析】依据向量垂直，向量数量积的坐标表示及向量数量积的运算律即得.【详解】向量，，且，，则，故答案为：．14.函数在点处的切线方程为______．【答案】【解析】【分析】利用函数解析式求出切点坐标，利用导数求得切线斜率，利用点斜式求得切线方程.【详解】∵，,,,∴切线的方程为：，即,故答案为：.15.二项式的绽开式中的常数项为______．【答案】15【解析】【分析】利用二项绽开式的通项公式求出绽开式的通项，令的指数为，求出绽开式的常数项．【详解】绽开式的通项为,令得，所以绽开式的常数项为，故答案为：16.已知为双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率是_____________.【答案】【解析】【分析】求得双曲线渐近线方程，结合直角三角形的性质和渐近线的对称性，可得关系，进而可得离心率.【详解】解：双曲线的渐近线方程为，若，可得在直角三角形中，由，可得，，，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算实力，属于中档题.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，的面积为，求边长a的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，进而可得结果.（2）由（1）可知，，由面积即可得出结果.【详解】（1）在中，由正弦定理，设，则，，，代入，可得，所以，，化简得，因为，，，所以；（2）由（1）可知，，，又，所以，解得．18.已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上是否存在一点使得？若存在求的面积，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）椭圆上不存在点，使得，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆标准方程；（2）假设椭圆上存在点，使得，由向量垂直与数量积关系得到点坐标的一个方程，与椭圆方程联立，由方程组无解说明椭圆上不存在一点，使得．【小问1详解】椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为，，，，椭圆的标准方程为：；【小问2详解】假设椭圆上存在点，使得，则，即，联立，得：，此方程无解．椭圆上不存在点，使得．19.致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参与“学党史颂党恩，党史网络学问竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成果进行统计，得到如下人数分布表．规定：成果在内，为成果优秀．成果人数510152520205（1）依据以上数据完成列联表，并推断是否有90%的把握认为此次竞赛成果与性别有关；优秀非优秀合计男10女35合计（2）某班级实行学分制，为激励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成果达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成果分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成果在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望．参考公式：，．附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成果与性别有关（2）分布列见解析，期望值为2.5分【解析】【分析】（1）依据成果分段表得到优秀人数，结合列联表中的男生优秀人数求得女生优秀人数，然后可以完成列联表；依据列联表数据，利用公式计算K2的观测值k0，与相应临界值比较即可得到结论；（2）先依据成果分段表求得p的值，然后利用二项分布列计算X的各个取值的概率，列出分布列，依据分布列计算期望即可.【小问1详解】优秀非优秀合计男104050女153550合计2575100假设:此次竞赛成果与性别无关.,所以没有90%的把握认为此次竞赛成果与性别有关；【小问2详解】p,P(X=0)=P(X=5)=,P(X=10)=,X的分布列为：X0510P期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PD的中点，，，，，.（1）证明：平面ABCD；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由勾股定理得到，，再利用直线与平面的垂直判定定理即可得证；（2）易证平面，又，可知平面，依据，利用等体积法即可求解.【小问1详解】证明：在矩形中，，，可得，所以，即，连接，又点是的中点，，可得，所以，即.又，所以平面.小问2详解】因为，所以平面.又，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，又是的中点，所以到平面的距离为因为，所以，解得，即点到平面的距离为.21.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若对，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）微小值为，无极大值；（2）.【解析】【分析】（1）对函数进行求导、列表、推断函数的单调性，最终依据函数极值的定义进行求解即可；（2）对进行常变量分别，然后构造新函数，对新函数进行求导，推断其单调性，进而求出新函数的最值，最终依据题意求出的取值范围即可.【详解】（1）函数的定义域为，当时，.由，得.当改变时，，的改变状况如下表-0+单调递减微小值单调递增所以在上单调递减，上单调递增，所以函数的微小值为，无极大值.（2）对，恒成立，即对，恒成立.令，则.由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，因此.所以的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数探讨函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分别法，考查了数学运算实力和分类探讨思想.22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．（Ⅰ）

写出直线l一般方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）

过点M（-1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求|AB|．【答案】（Ⅰ）x-y-6=0．x2+y2-6x=0（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数方程中的参数可得直线的一般方程，将曲线的极坐标方程变形后结合转化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）由直线l1与直线l平行可得直线l1的参数方程，代入曲线C的方程后依据参数的几何意义可求得弦长．【详解】（Ⅰ）

由消去参数t，得直线l的一般方程为．又由得，将代入上式得曲线C的直角坐标方程为．（Ⅱ）

由题意得过点且与直线l平行的直线l1的参数方程为，将其代入整理得，设点对应的参数分别为，则，所以．