适用于新教材2025版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练44双曲线北师大版

课时规范练44基础巩固组1.(2024·山东青岛一模)若双曲线ky2-8x2=8的焦距为6,则该双曲线的离心率为()A.324 B.3答案:A解析:因为ky2-8x2=8为双曲线,所以k≠0,化为标准方程为y28k由焦距为6可得c=8k+1=3,解得k=所以双曲线为y28-所以双曲线的离心率为e=ca2.(2024·湖南常德一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,A.5 B.2 C.72 D.答案:A解析:不妨设F(c,0),一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,所以|bc|b2+a2=2a,即b=2a,b2=4a23.(2024·湖南娄底高三期末)已知双曲线C:x24-y25=1的左焦点为F1,M为双曲线C右支上随意一点,D的坐标为(3,1),则A.3 B.1 C.-1 D.-3答案:D解析:双曲线的实半轴长为a=2,右焦点为F2(3,0),所以|MD|-|MF1|=|MD|-(|MF2|+2a)=(|MD|-|MF2|)-2a≤|F2D|-2a=(3-3)2+(1-0)2-44.(2024·山东潍坊一模)如图,某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂移,建筑师通过双曲线的设计元素给予了这座建筑以轻快、极简和雕塑般的气质,该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)上支的一部分A.53 B.54 C.4答案:B解析:点F(0,c)到渐近线y=abx,即ax-by=0的距离d=|-bc|又由题意可知a+c=36,a25.(2024·广东佛山二模)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)以正方形ABCD的两个顶点为焦点,且经过该正方形的另两个顶点A.22-2 B.22+2 C.2-1 D.2+1答案:A解析:由图知,c=1,易知D(1,2),代入双曲线方程得1a2-4b2=1,又a2+b2=1,联立求解得a2=3-226.定义实轴长与焦距之比为黄金数5-12的双曲线叫黄金双曲线,若双曲线x2a2-y2bA.5-12 B.3-答案:A解析:由题可知2a2c=5-12,所以2a2=(3-5)c2=(3-5)(a7.(2024·山东济南历城二中模拟)设F1,F2分别是双曲线x24-y245=1的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PFA.143 B.715 C.153 D.515答案:C解析:设|PF1|=5x(x>0),则|PF2|=3x,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=5x-3x=2x=2a=4,所以x=2,故|PF1|=10,|PF2|=6.又|F1F2|=14,故cos∠F1PF2=100+36-1962×10×6=-12,故sin所以△PF1F2的面积为12×10×6×32=158.(多选)(2024·河北唐山三模)已知F1,F2为双曲线C:y23-x2=1的两个焦点,P为双曲线C上随意一点,则(A.|PF1|-|PF2|=23B.双曲线C的渐近线方程为y=±33C.双曲线C的离心率为2D.|PF1+答案:CD解析:双曲线C:y23-x2=1的焦点在y轴上,a=3,b=1,c=a2对于A,||PF1|-|PF2||=2a=23,而点P在哪支上并不确定,故A错误;对于B,焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y=±abx=±3x对于C,e=ca对于D,设P(x,y),则|PO|=x2+y2=x2+(3x2+3)=3+4x2≥3(当x=0时,等号成立),因为O为F9.(2024·广东鹤山高三检测)若双曲线C:x2a2-y24=1的一条渐近线与直线l:3x+2y-答案:213解析:易知与直线l垂直的双曲线C:x2a2-y24=1的渐近线方程为2x-ay=0,由两直线垂直得,2×3-2a=0⇒a=3,∴c∴双曲线的焦点坐标为F1(13,0),F2(-13,0).∵虚轴的一个端点坐标为B(0,2),∴S△F1BF2=12·|F1F2|·10.(2024·全国甲,文15)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满意条件“直线y=2答案:2(答案不唯一,只要1<e≤5即可)解析:由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±bax,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需ba由ba≤2,得c2-a2a2≤4,所以11.(2024·江苏华罗庚中学高三检测)已知双曲线x23-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为答案:5+23解析:由双曲线方程知a=3,b=1,c=2,则F1(-2,0),F2(2,0).由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a=23,∴|PQ|+|PF1|=|PQ|+|PF2|+23≥|QF2|+23(当且仅当P在线段QF2上时,等号成立).又|QF2|=(-2-∴(|PQ|+|PF1|)min=5+23.综合提升组12.已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PFA.(1,2) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(2,3)答案:A解析:在△PF1F2中,因为sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,所以|PF1|=3|PF2|.又点P是双曲线C上在第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a.在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|得3a+a>2c,即2a>c,所以e=ca<2又e>1,所以1<e<2.故选A.13.(多选)(2024·山东聊城一模)已知双曲线C:x29-k+yA.双曲线C的焦点在x轴上B.双曲线C的焦距等于42C.双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于1D.双曲线C的离心率的取值范围为1,103答案:ACD解析:对于A,因为0<k<1,所以9-k>0,k-1<0,所以双曲线C:x29-k-y对于B,由A知a2=9-k,b2=1-k,所以c2=a2+b2=10-2k,所以c=10-2k,所以双曲线C的焦距2c=210对于C,设焦点在x轴上的双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),焦点坐标为(±c,0),则渐近线方程为y=±bax,即bx±ay=0,所以焦点到渐近线的距离d=|bc|对于D,双曲线C的离心率e=1+b2a2=1+1-k9-k=2-89-k14.(2024·山东济宁模拟)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线,设切点为A,直线FA交直线bx-ay=0于点B,若BA答案:y=±2x解析:因为直线FA交直线bx-ay=0于点B,直线FA与圆x2+y2=a2切于点A,所以OA⊥FA,|OA|=a,|OF|=c.因为a2+b2=c2,所以|FA|=b.在Rt△FAO中,sin∠OFA=ac,tan∠OFA=ab,所以直线FA的方程为y=ab(由y=ab(x+c),设A(xA,yA),B(xB,yB),在Rt△FAO中,依据等面积可得yA=abc因为BA=2AF,所以yB=3yA=3ab因为yB=baxB=b所以abcb2-a2=3abc,所以c2所以a2+b2=3b2-3a2,所以4a2=2b2,所以2a=2b,所以ba所以双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±215.(2024·湖南长郡中学模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的左顶点为A,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,其中点Q在答案:1,213解析:由题意,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨设双曲线的渐近线为y=baxy=bax,x2+y2=c2,解得x又A为双曲线的左顶点,∴A(-a,0),∴|AQ|=(a+a)∵|AQ|≥2|AP|,∴(a+a)2+b2≥2b,即4∴e2≤73又e>1,∴e∈1,213.创新应用组16.(2024·山东日照二模)如图1所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且cos∠BAC=-45图1图2答案:10解析:如图,连接F1B,F1A,则F1,A,C和F1,B,D都三点共线,设|F2B|=x,则|F1B|=x+2a.因为cos∠