《高等微波网络》课件第3章

第3章微波网络分析

3.1网络分析的步骤3.2复杂网络系统分析3.3网络分析中的Weissfloch圆分析法3.4微波非线性网络的频域分析3.5复杂模型的建立以及场与路的协同仿真

3.1网络分析的步骤

随着微波电路集成化和复杂化的发展，在网络分析方面提出了许多新的课题，其中主要有：复杂多端口连接与分解的节省机时方法，线性与非线性混合参数电路的统一分析方法，多频激励下非线性电路的分析，以及放大器与混频器的噪声分析等。

在现代的微波集成电路中，同时包含线性与非线性两类元件的非线性电路占有最主要的地位。对这类电路的分析，按其两类元件是否在频域或时域进行，可分为全时域法、全频域法和时/频域混合法三类。

网络分析的一般步骤如图3.1-1所示。图3.1-1网络分析的一般步骤需要注意的是，在将实际器件等效成电路的过程中，各集总元件的等效、连接及大小是需要重点关注的。

这里介绍辗转相除法，用它可将实际器件等效成电路。由输入阻抗函数Zin(s)等效到梯型网络的过程，都采用辗转相除法。

辗转相除法的实质是把输入阻抗函数Zin(s)展成连分式，直到除尽为止。

假设双端口网络的输入阻抗函数为(3.1.1)把Zin(s)的分子多项式与分母多项式进行辗转相除:(3.1.2)于是，输入阻抗Zin(s)可写成连分数表示式：

由Zin(s)综合出的梯型网络如图3.1-2所示。(3.1.3)图3.1-2梯形网络一般地，输入阻抗可写为

其中，n为多项式最高次幂。n为偶数时，M为电阻；n为奇数时，M为电导。

注意，有时辗转相除最后的结果不是常数M，可能是含有s的因子，表明最后的元件不是电阻或电导，这部分内容将在第4章加以说明。(3.1.4)

3.2复杂网络系统分析

复杂网络系统分析是微波网络理论发展出来的一个分支。如果已知各元件的网络特性，则经过连接组合后，整个系统的特性研究即为复杂网络要解决的任务。以下给出矩阵的广义连接法。

S矩阵的广义连接法实际上是多端口网络理论的进一步推广。设有外接m端口网络，它是由若干子网络经过互连，端接负载而成。见图3.2-1所示。图3.2-1网络的广义连接切断互连和接负载的端口，便可写出n端口网络的广义联合矩阵：

以及广义连接条件

bⅡ=GaⅡ

(3.2.2)

其中，矩阵G可写成(3.2.1)(3.2.3)G1表示互连矩阵。因为广义来说，互相连接的端口不一定紧挨着，所以G1可能不等于ε；ε称为连接矩阵，ε=ε-1。

G2表示广义负载矩阵。式(3.2.1)结合连接条件，有

GaⅡ=SⅡⅠaⅠ+SⅡⅡaⅡ

或

aⅡ=(G-SⅡⅡ)-1SⅡⅠaⅠ

(3.2.4)

再代入式(3.2.1)中的第一方程，可知

bⅠ=SmaⅠ

(3.2.5)

其中

Sm=SⅠⅠ+SⅠⅡ(G-SⅡⅡ)-1SⅡⅠ

(3.2.6)

【例3.2.1】研究双级环行器传输系统。如图3.2-2所示，这是微波网络工程中为了增加隔离度所采用的一种系统。端口①和端口⑤作为输入和输出端。在端口③和⑥分别接有负载和。端口②和④相互连接。设两环行器的S为图3.2-2双级环行器传输系统解先写出广义联合矩阵SC。(3.2.7)广义连接矩阵G为(3.2.8)于是

最后可导出(3.2.9)(3.2.10)可见，在理想环行器条件下，由端口1到端口5的传输为s51=1；而端口5到端口1的传输系数是s15=，它与负载有关。只要负载反射比较小，s15将是数量级，因此有着良好的隔离度。当环行器不理想时，计算要借助CAD分析，这里不再详述。

广义连接矩阵法特别对所有端口(包括外接端口)都已构成互连，接负载或接电源的其中之一时，运用起来甚为方便。这时所不同的是广义联合矩阵中需再加上源的端口，即每个源也看成是一个独立端口，如图3.2-3所示。图3.2-3所有端口都已连接的系统这时，入射波和反射波相联系的方程可写为

b=Sa+E

(3.2.11)

其中，源端口条件

凡是没有源的端口，Ei=0。广义连接条件依然是式(3.2.2)，把它代入支配方程(3.2.11)，注意到这时bⅡ=b。因为全部端口均已广义连接，于是

Ga=Sa+E

(3.2.13)(3.2.12)或写成

(G-S)a=E

(3.2.14)

最后得到全部端口广义连接时的入射波矩阵是

a=(G-S)-1E

(3.2.15)

【例3.2.2】研究如图3.2-4所示的由三个网络所组成的复杂网络。

解根据复杂网络的一般理论，先写出不接电源时(即不包括7、8两个端口)6个端口的广义联合矩阵：(3.2.16)图3.2-4复杂网络注意到上面的写法中，互连端口并没有紧挨着。因此连接矩阵不等于ε，而可写出

应用比较系数法求逆矩阵(3.2.17)其中利用式(3.2-6)得到(3.2.19)另外有(3.2.20)下面，再进一步考虑把端口7和8分别接匹配源E1和E2，即

这时，全部端口均已广义连接。此时端口联合矩阵可以写为(3.2.21)(3.2.22)广义连接矩阵是(3.2.23)利用式(3.2.15)，可算得这时的入射波矩阵是(3.2.24)应该指出：在上例中可以把SC作为负载处理，这样可以少去一个端口而得到完全一样的结论。

3.3网络分析中的Weissfloch圆分析法

在网络分析理论中，矩阵法和图论法始终是十分蓬勃发展的两大分支。矩阵法全面且简洁，而图论法往往直观、简单，尤其在微波领域中Smith圆图应用得极为广泛。除此之外，Weissfloch圆几何法和信号流图理论对于分析某些元件或系统也是十分有用的。3.3.1Weissfloch圆几何法

微波工程中不少问题的数学模型是复数的双线性变换，因此其动态轨迹常常与圆和直线相联系。最简单的情况是如图3.3-1所示的任意负载yL，经过任意长无耗传输线l，所反映的输入导纳yin的轨迹是一个圆。圆心在实轴g上，坐标为

直径与实轴g的交点为ρ和两点，即直径2R=，或半径(3.3.1)(3.3.2)其中，ρ是对应的系统负载驻波比。图3.3-1任意负载yL的输入导纳轨迹证明：设负载的反射系数为，则有

其中2θ=φΓ-2βl。由上式很易导出

上式表明：g和b构成一圆方程，圆心坐标为，(3.3.3)(3.3.4)而半径R为。容易证明

值得指出：对于输入阻抗zin=r+jx也有类似的结论，即(3.3.5)(3.3.7)进一步观察表明：若在传输线上跨接电导g1或电纳b1，输入导纳所变化的仅仅是把圆在实轴上和虚轴上作平移，详见图3.3-2。

可见，总是有圆变换成圆或直线。这样，保角变换的一系列研究方法和结论在这里都将获得应用。这构成了Weissfloch圆几何法。它的特点是g、b(或r、x)轨迹直观明显，缺点是长度l或频率ω比较难求，这一点不如Smith圆图。图3.3-2跨接有g1和jb1系统的输入导纳yin轨迹

【例3.3.1】喇叭匹配问题。在参考面T测得的喇叭的反射系数Γ=0.3ejπ/4。现拟采用感性膜片匹配，试求匹配导纳jb0。问题结构如图3.3-3所示。解系统驻波比，于是，，R=。可以画出任何长度的输入导纳轨迹，如图3.3-4(a)所示。所谓匹配，即指使yin=1+j0这点落在yin圆轨迹上。当b0为负(即感性)时，加上膜片后的轨迹如图3.3-4(b)所示。图3.3-3喇叭匹配及等效网络图3.3-4喇叭匹配轨迹由几何关系易求出(3.3.8)3.3.2圆变换定理及应用

假定A、B、C、D、W均为复数，则双线变换

的轨迹是随φ变化的一个圆。其中圆心为

而动态半径为(3.3.9)(3.3.10)(3.3.11)实际上有

【例3.3.2】在上例中，若假定喇叭反射系数Γ不随频率变化，求这种匹配系统在任意频率工作时的最大反射系数|Γin|max。

解膜片匹配后yin的轨迹如图3.3-4(b)所示。考虑到输入反射Γin与yin的关系为

所以它是双线性变换，即Γin的轨迹也是一个圆：|Γin|max=2R。因为系统有匹配点，所以Γin圆必然通过坐标原点。设yin的轨迹为

yin=y0+0.6595ejφ=g0+jb0+0.6595ejφ

(3.3.14)(3.3.13)其中，g0=1.198，b0=-0.6290

对比式(3.3.14)和圆变换普遍式(3.3.9)，可得反射系数Γin圆的半径为

最后有

|Γin|max=2R=0.5510

(3.3.17)(3.3.15)(3.3.16)

3.4微波非线性网络的频域分析

本节介绍一种微波非线性网络的频域分析方法——沃尔特拉级数展开法。

沃尔特拉(Volterra)级数展开法是一种利用频域内的解析式来分析非线性电路的方法，与时域法和谐波平衡法等数值法相比，其计算效率要高得多，故更适用于分析多频响应。对于弱非线性的电路，采用一般的沃尔特拉级数展开法就可得到比较好的结果。但对于混频器这类具有较强非线性的电路，则需要利用它的改进型。

1.经典的沃尔特拉级数展开法

一个非线性系统的输入信号x(t)和输出信号y(t)的关系，可用一个非线性的泛函表示，而这一非线性泛函又可用一个泛函级数展开式表示，即这里:yn(t)被称为n阶沃尔特拉级数；Kn为n阶冲击响应函数，它表征了一个n阶齐次非线性函数。如果把函数Kn进行n维傅立叶变换，便可得到n阶沃尔特拉传输函数Hn(ω)。于是一个非线性系统的频域响应特性就可通过各阶沃尔特拉传输函数描述。由于Hn(ω)本身的特性不随系统输入信号的大小发生变化，因此求出的各阶传输函数可用来计算各种不同激励信号的响应，而不必重复计算；另外，又由于在频域内进行计算，只有乘法和加法运算，所以这种方法应用起来相当简便。然而在实际应用中，所考虑的是式(3.4.5)中的展开项，当系统输入信号x(t)的动态范围较大时，应考虑的项数就要增加很多，并且级数还有可能不收敛。所以，这种沃尔特拉级数展开法仅适用于弱非线性系统的分析，通常取级数的前三项。

2.改进的沃尔特拉级数展开法

泛函的理论表明，对于一个非线性泛函F(x(t))=y(t)，若已知x0(t)、y0(t)，使得F(x0(t))=y0(t)，则有

式中:Δx(t)=x(t)－x0(t)；Fn为泛函F在x0(t)点的n阶弗雷切特(Frechet)导数，这一级数被称为广义台劳级数。由于上面这一级数的收敛性只与x(t)和x0(t)之差有关，而与x(t)本身的动态范围无关，所以对较强的输入信号x(t)与输出y(t)，只要在它们较近的邻域内找到满足F的已知参考信号x0(t)、y0(t)，则x(t)与y(t)的关系就可以用上述级数的形式来表示。关键在于怎样才能确定适用的参考信号x0(t)、y0(t)。(3.4.3)一种可行的方法是：先找一个x(t)邻域内的函数x0(t)，用谐波平衡来求系统被x0(t)激励时的响应信号y0(t)，然后利用得到的参考信号x0(t)和y0(t)，求出表征系统的泛函在x0(t)的各阶弗雷切特导数表达式。在这种计算方法中，虽然应用了数值算法(谐波平衡法)，但由于只有单频信号分析，所以运算量不大。

3.5复杂模型的建立以及场与路的协同仿真

3.5.1复杂模型的建立

Ansoft公司的三维高频场仿真软件HFSS进入中国较早。该软件操作简单，计算结果准确，为大多微波设计人员所熟悉。设计人员为了验证设计的准确性，在设计初期常常建立比较精确的模型以进行结构的全波仿真。这时首要的问题就是模型的建立。对于重复性很高的模型，如果手工建立模型则需要耗费很长的时间，所以一般的软件都提供了脚本程序接口供高级用户来简化模型的建立。本节主要介绍Ansoft公司的HFSS软件的复杂模型的建立。早期的HFSS软件为了方便设计者建立复杂模型，提供了宏语言的接口。在其9.0以后的版本中，提供了更加通用的VBS脚本程序的接口。为了使程序有更好的通用性，建立模型时，不直接使用VBS而是通过MATLAB写出VBS程序的方式进行。所以模型的更改只需要在MATLAB中进行，重新生成VBS即可。模型建立的框架如图3.5-1所示。HFSS中主要对象变量的结构关系如图3.5-2所示。图3.5-1模型的建立流程图3.5-2HFSS中对象变量的结构关系各个对象的功能描述如下：

oAnsoftApp：提供应用HFSS脚本程序的句柄。

oDesktop：提供了桌面级的操作，包含项目的操作等。

oProject：提供具体的工程操作，包含变量的创建、材料的定义等。

oDesign：提供具体设计操作，包含当前设计中的模型建立操作等。

oEditor：提供了具体编辑器的对应。

oModule：提供了模块级的操作，如边界条件的操作等。当模型的VBS文件建立完成后，运行方式主要有两种：一个是直接双击VBS文件或者通过HFSS软件打开VBS文件运行;另外一种是在第三方软件如MATLAB中通过命令行的方式运行。在后一种运行方式中，有两个额外参数，用来进一步说明运行的方式。第一个参数:

runscriptandexit，即MATLAB启动HFSS，建立模型完成后退出HFSS，程序控制权返回给MATLAB;第二个参数：runscript，即MATLAB启动HFSS，建立模型完成后，不退出HFSS，程序控制权也不返回。这两种运行方式各有优缺点，要根据需求来合理选用。第一种方式比较适合MATLAB控制整个程序的应用，譬如要运用外部的优化函数来优化HFSS中的变量等情况；第二种可以在调试程序的时候运用。至于具体模型的建立过程中需要用到的函数，需要查询HFSS提供的函数手册。

下面举两个脚本文件应用的例子，来说明这种建立模型的方法对于建立重复性高的复杂模型是如何的方便和节省时间。

【例3.5.1】建立一个7阶的H面膜片的波导滤波器。

首先考虑程序的通用性，波导的尺寸、H面模片的厚度、谐振腔的个数和长度都是任意的。所以通过MATLAB程序生成的VBS文件建立的模型是一个参数模型，可方便后面尺寸的修改。用MATLAB生成VBS比用HFSS直接建立模型的好处是参数模型的变量名字可以随意更改。这在建立由两个滤波器拼接成一个双工器的模型时非常有用。图3.5-3是建立的一个7阶滤波器的模型。该模型的建立用到了坐标的移动、旋转、模型的复制和裁减等功能。图3.5-3H面膜片滤波器模型

【例3.5.2】建立一个窄边的波导缝隙天线。

某项目需要分析一个波导缝隙相控阵天线。该天线阵由十多根波导缝隙天线组成，每根波导缝隙天线的缝隙数目不等，从几十到一百多。粗略估算一下，如果建立一根波导缝隙天线的模型需要一天的时间，则建立一个完整的由十多根波导缝隙天线组成的相控阵天线则至少需要一周的时间。当然这还是在假设建立模型的过程中不出错情况下得出的时间。实际上在建立模型的过程中，由于疲劳等原因，建模的时间可能会大大延长。但是用程序来建立一根波导缝隙天线，仅仅需要一分钟时间，而且不会出错，大大地提高了建模效率。这个模型的建立，用到了坐标轴的移动、旋转、物体的复制和裁减等运算。建立的单根波导缝隙天线的局部模型如图3.5-4所示。图3.5-5所示的是一根完整的波导缝隙天线模型。图3.5-4单根波导缝隙天线的局部模型图3.5-5一根完整的波导缝隙天线模型3.5.2场与路的协同仿真

HFSS进行的全波仿真，虽然可以准确地预测出物体的频率响应，但是计算时间比较长。Ansoft公司的电路仿真软件Designer是进行电路级仿真的软件，它与HFSS有很好的链接性。对于一些复杂的物体，有时还可以把整体拆开成一个一个的子物体，分别对子物体进行全波仿真。然后把子物体全波仿真的结果看成是一个网络数据，导入到Designer中，再进行级联，以快速地得到整体的全波响应。这种方法运算起来速度很快，而且其结果与HFSS直接仿真整体结构的结果有很好的一致性。对于滤波器等无源器件的设计，不是根据经验公式就可以一次性地把尺寸确定下来。虽然可以根据一些经验公式等得到初始尺寸，但是这个尺寸对应的响应可能不满足设计目标。所以，要得到满足指标的尺寸，需要一个过程。如果器件结构简单、变量很少，则可以直接应用HFSS软件的优化功能。但是，如果器件结构复杂，或者变量较多(一般优化变量大于等于3个)，则用HFSS直接优化的方法常常得不到满足设计目标的尺寸。对于H模片波导滤波器﹑小孔耦合的定向耦合器等这种无源器件，可以很容易地把整体拆开成一个个相似的子物体，通过协同仿真的方法设计，会更加简单和快速。HFSS有参数扫描的功能，对子物体进行参数扫描后，把结果导入到Designer中，然后优化整体响应，速度要快很多。下面以几个实例来说明这种方法的步骤。

【例3.5.3】设计一个H面模片的波导滤波器，其中心频率f0为7.5GHz，带宽为500MHz。通带回波至少为17dB。选用的波导型号为WR112。模片的厚度t为2.54mm。首先对模片的缝隙宽度W进行参数扫描，扫描范围是3.5mm23mm，间隔为0.5mm。图3.5-6所示为膜片的参数扫描模型。

在Designer中添加HFSS的工程，作为电路中的一个元件。整体的电路图形如图3.5-7所示。图3.5-6模片的参数扫描模型图3.5-7Designer中滤波器的完整电路模型需要注意的是，波导中的特性阻抗的定义具有不唯一性。在Designer中波导的TE10模对应的特性阻抗定义为

将Chebyshev的响应作为优化目标，把H面模片的宽度W、模片间谐振腔的长度L作为优化变量，由于滤波器尺寸的对称性，所以只用在Designer中优化一半的尺寸即可，得到结果：

谐振腔的长度(毫米)：

L=［21.084524.148724.752324.8590］

模片的宽度(毫米)：

W=［17.048512.61