1.6 利用三角函数测高 北师大版数学九年级下册习题课件

第一章直角三角形的边角关系6利用三角函数测高

1.

测量底部可以到达的物体的高度①如图，在测点C处安置测倾器，测得B的仰

角

＝α；②量出测点C到物体底部A的水平距离

＝b；∠BDE

CA

③量出测倾器的高度

＝a，然后求出物体AB的

高度为AE＋BE＝

⁠.CD

a＋btan

α

2.

测量底部不可以到达的物体的高度①如图，在测点M处安置测倾器，测得此时B的仰

角

＝α；②在测点M与物体之间的C处安置测倾器（M，C与A

在一条直线上，且M，C之间的距离可以直接测得），

测得此时B的仰角

＝β；∠BNE

∠BDE

③量出测倾器的高度MN＝CD＝a，以及测点M，C之

间的距离MC＝b，然后求出物体AB的高度为AE＋BE

＝a＋

⁠.题型一

测量底部可以到达的物体的高度问题

无人机在实际生活中应用广泛.如图所示，小明利

用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼

CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角

为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100

m，楼

AB的高度为10

m，从楼AB的A处测得楼CD的D处的

仰角为30°（点A，B，C，D，P在同一平面内）.（1）填空：∠APD的度数为

，∠ADC的度数

为

⁠；75°

60°

（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；

（答案图）

（3）求此时无人机距离地面BC的高度.解：（3）如答案图，过点P作PG⊥BC于

点G，交AE于点F，则∠PFA＝∠AED＝90°，FG＝AB＝10

m.∵MN∥AE，∴∠PAF＝∠MPA＝60°.∵∠ADE＝60°，∴∠PAF＝∠ADE.

∵∠DAE＝30°，∴∠PAD＝30°.（答案图）∵∠APD＝75°，∴∠ADP＝75°.∴∠ADP＝∠APD.

∴AP＝DA.

∴△APF≌△DAE.

∴PF＝AE＝100

m.∴PG＝PF＋FG＝100＋10＝110（m）.答：此时无人机距离地面BC的高度为110

m.（答案图）跟踪训练1.

如图，在离铁塔200

m的A处，用测倾仪测得塔顶B

的仰角为α，测倾仪高AD为1.5

m，则铁塔的高BC为

（C

）A.

（1.5＋200sin

α）mB.

（1.5＋200cos

α）mC.

（1.5＋200tan

α）m（第1题）C

（第2题）解：如答案图，作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G.

（答案图）易知四边形BGEF为矩形，∴BG＝EF，BF＝GE.

在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，

∴EF＝BG＝5米，BF＝AG＋AE

（答案图）题型二

测量底部不可以到达的物体的高度问题

（2024·成都七中）天府新区秦皇湖，有天府新区小

“泸沽湖”之称，在湖畔对面是天府国际会议中心，该

中心以“天府之檐”为主题，沿秦皇湖东侧展开以中国

古建筑“佛光寺大殿”抬梁式木结构为原型，建构了亚

洲最大单体木结构建筑.天府新区某学校开展综合实践

活动，测量该建筑物顶端到地面的高度.如图，AB为建筑物，在地面观测点C处测得该建筑物

顶端A的仰角为45°，然后沿BC方向走6.5米到点D处，

即CD＝6.5米，在位于点D正上方的观光台点E处测得

建筑物顶端A的仰角为37°，已知DE＝3米，AB⊥BC，

DE⊥BC，根据以上测量数据，请求出该建筑物顶端到

地面的高度.（结果精确到1米；参考数据：sin

37°≈0.60，cos

37°≈0.80，tan

37°≈0.75）解：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F.

由题意，得ED＝BF＝3米，EF＝BD，设BC＝x米，则EF＝BD＝CD＋BC＝（x＋6.5）米.在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC·tan

45°＝x米.在Rt△AFE中，∠AEF＝37°，∴AF＝EF·tan

37°≈0.75（x＋6.5）米，∴0.75（x＋6.5）＋3＝x，解得x＝31.5，∴AB＝31.5≈32（米），答：该建筑物顶端到地面的高度约为32米.跟踪训练3.

如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸