2.3 确定二次函数的表达式 北师大版数学九年级下册课件

确定二次函数的表达式九年级下册数学北师大版生活中有很多类似抛物线形状的建筑物,如果你是设计师,你能设计出这些建筑物吗?新知讲解初步探究确定二次函数表达式所需要的条件如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象,你能求出其表达式吗?解:∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次函数表达式为y=a(x-4)2+3,把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a=

,因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=-(x-4)2+3.总结:(1)形如y=ax2的二次函数,因为只有一个系数a是未知的,所以只需要知道图象上一个点的坐标即可.(2)形如y=a(x-h)2和y=ax2+k的二次函数,有两个系数是未知的,所以需要知道图象上两个点的坐标即可.(3)形如y=a(x-h)2+k的二次函数,如果已知二次函数的顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.关于y轴对称

【例1】已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．

已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．

图象经过原点特殊条件的二次函数的表达式1对于特殊条件的二次函数，

y=ax2+bx，

y=ax2+c:1.特点：①表达式中含有2个未知系数；

②题目中有两个坐标点；2.解法：①代：将两个坐标点带入表达式中，得一个方程组；②解：解方程组；③写：写出表达式

对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个

【例2】已知一个二次函数的图象经过（-1，10）,（1，4）,（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．

一般情况的二次函数21.方法：待定系数法2.步骤：①设：设表达式为y=ax2+bx+c；②代：将三个点的坐标带入所设的二次函数表达式中；③解：解三元一次方程组,得到a,b,c的值；④还原：把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.

已知二次函数的图象经过点（－3，0），（－1，0）和（0，－3），试求出这个二次函数的表达式.

在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？二次函数y

＝ax2

＋bx

＋c

用配方法可化成：y

＝a（x-h）2

＋k，顶点是（h，k）．如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式．二次函数的各项系数中有两个是未知的，知道图象上两点的坐标，可以确定这个二次函数的表达式． 【例3】选取顶点（－2，1）和点（1,－8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x－h)2＋k,

把顶点（－2，1）代入y=a(x－h)2＋k得

y=a(x＋2)2＋1，再把点（1，－8）代入上式得

a(1＋2)2＋1=－8，

解得a=－1.∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋2)2＋1或y=－x2－4x－3.顶点法求二次函数的方法31.知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.2.步骤：①设：设函数表达式是y=a(x－h)2＋k；②代：先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；④写：a用数值换掉，写出函数表达式.解：∵（－3，0）（－1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.

∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x－x1)(x－x2).(其中x1、x2为交点的横坐标).

∴得y=a(x＋3)(x＋1).

再把点（0，－3）代入上式得

a(0＋3)(0＋1)=－3，解得a=－1，

∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋3)(x＋1),

即y=－x2－4x－3.【例4】选取（－3，0），（－1，0），（0，－3），试求出这个二次函数的表达式.

xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512顶点法求二次函数的方法41.知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.2.步骤是：①设：设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)；②代：将两交点横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；④写：a用数值换掉，写出函数表达式.解析:∵抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-2,把(2,1)代入得1=a(2-1)2-2,解得a=3,∴y=3(x-1)2-2=3x2-6x+1.故选B.1.某抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),则抛物线的解析式为 (

)A.y=3x2-6x-5 B.y=3x2-6x+1C.y=3x2+6x+1 D.y=3x2+6x+5B2.

二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是(

)A.y=2x2-4x

B.y=-x(x-2)C.y=-(x-1)2+2

D.y=-2x2+4x解析:根据图象得:抛物线的顶点坐标为(1,2),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2,将(2,0)代入解析式,得0=a+2,解得a=-2,则抛物线解析式为y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.故选D.D巩固练习解析:设二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-4),而a=1,所以二次函数的解析式y=(x-3)(x-4)=x2-7x+12.故填y=x2-7x+12.3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的表达式是

.

y=x2-7x+124.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为

.

解析:∵抛物线过(0,-3),∴c=-3,设二次函数的表达式为y=ax2+bx-3,把(-1,0),(3,0)分别代入二次函数表达式y=ax2+bx-3中,得解这个方程组,得∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.故填y=x2-2x-3.y=x2-2x-35.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是A(2,1),且经过点B(1,0),求此抛物线的解析式.解析:设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,将点B(1,0)代入解析式即可求出a的值,从而得到二次函数解析式.解:设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,将B(1,0)代入y=a(x-2)2+1,得a=-1,所以二次函数解析式为y=-(x-2)2+1,展开得y=-x2+4x-3.通过本节课你学到了什么？课堂总结①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x－h)2+k用交点法：y=a(x－x1)(x－x2)