山东省青岛莱西第一中学2024-2025学年高三上学期期末模拟数学试题（1）-A4

答案第=page1212页，共=sectionpages1212页高三数学上学期期末复习模拟试题（1）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，请在答题卷的相应位置填写姓名、准考证号、试场号、座位号。3．所有答案都必须做在答题卷指定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。4．考试结束后，只需上交答题卷。一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1．如果集合中只有一个元素，则实数m的值为（

）A．1 B．2 C．0或2 D．1或22．已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知，若正实数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．6．已知曲线，则下列结论中错误的是（

）A．曲线与直线无公共点B．曲线关于直线对称C．曲线与圆有三个公共点D．曲线上的点到直线的最大距离是7．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（

）A．12 B．11 C．10 D．98．如图是边长为的正三角形，取各边的中点构成一个新三角形，依次做下去得到一系列三角形.则前个三角形的外接圆面积之和为（

）

A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（

）参考数据：若，则，，A．B．总体是35万人C．样本均值为73.5D．估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人10．设是一次随机试验中的两个事件，且，则（

）A．相互独立 B．C． D．11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，在上单调递增B．若，且，则函数的最小正周期为C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的最小值为3D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图，在正方形中，，是的中点，点是上一个动点，当的度数最大时，的长为.13．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为千米．14．如图，在中，是正三角形，点是的中心，若，则.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，角A，B，C所对的边分别为，且.(1)求B；(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围.16．已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．17．如图，在等腰梯形中，，，，为AD中点，点，分别为，DE的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．18．如图，已知，点P在圆上运动，线段PQ的垂直平分线交线段PM于点N，设动点N的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程；(2)过点0,4且斜率为k的直线l与曲线C交于D，E两点，求面积的最大值（O为原点）．19．已知关于x的函数，与x轴相切．(1)求的表达式；(2)证明：；(3)设数列，的前n项和为，证明：．【期末模拟答案】1．C【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素.当时，方程是一元二次方程.因为集合有且只有一个元素，所以.解得.综上，实数的值为或.2．D【详解】易知曲线：可化为，表示圆心为，半径的上半圆；易知直线可化为，当时，圆心到直线的距离为，此时与下半圆相切，如下图所示，不合题意，即必要性不成立；若与相切，可知，解得或；检验可知只有当时，直线与相切，即可得，所以充分性不成立；所以“与相切”是“”的既不充分也不必要条件.3．D【分析】应用复数除法化简复数再结合共轭复数，最后应用复数对于复平面的点判断即可.【详解】因为,所以,所以对应的点为，,在复平面内对应的点位于第四象限.4．A【详解】因为函数幂函数，所以，解得或，因为函数在上是增函数，所以，解得，所以（舍去），因为函数是奇函数，当时，幂指数，不合题意；当时，幂指数，为奇函数，符合题意；所以满足条件的为.5．B【分析】易得在R上递增，且是奇函数，再由，得到，然后利用“1”的代换，用基本不等式求解.【详解】因为，所以在R上递增，又，所以是奇函数，因为，所以，则，即，则，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值是，6．D【详解】当时，曲线方程为，表示圆的一部分，当时，曲线方程为，表示焦点在x轴上的等轴双曲线的一部分，当时，曲线方程为，表示焦点在x轴上的等轴双曲线的一部分，其图象如图所示：

A.因为是等轴双曲线的渐近线，曲线与直线无公共点，故正确；B.将方程中的互换后方程不变，所以曲线关于直线对称，故正确；C.圆的圆心为，又，即当时，曲线与圆相切，所以有三个公共点，故正确；D.作与直线平行的直线与曲线切于点上的点到直线的最大距离是，故错误；7．C【分析】根据百分位数概念，求出分位数，也求出平均值，构造方程计算即可.【详解】这组数据一共有个，，，则.这组数据的分位数是第个数，即.这组数据的平均数为.因为这组数据的分位数等于它们的平均数，所以.解得.8．B【详解】设边长为的正三角形的外接圆半径为，由正弦定理得，解得R=设第个三角形的外接圆半径为，是以为首项，以为公比的等比数列，所以，设第个三角形的外接圆面积为，而，而所求即为的前项和，易得，故，而，故是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故B正确.9．AD【分析】根据分层随机抽样的特征可判断A；根据总体的定义可判断B；根据分层随机抽样的均值可计算并判断C；根据正态分布的定义可判断D.【详解】由分层随机抽样的特征可知：，故A正确；总体是35万考生的数学成绩，故B错误；根据分层随机抽样的均值知样本均值，故C错误；∵，，，∴小于66分的人数约为人，故D正确．10．ABD【详解】对于A，由题意可知，则，因此，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，，所以，因此，故C错误；对于D，，因此，即，故D正确．故选：ABD．11．ABD【详解】对于A，当时，若，则，所以由复合函数单调性可知在上单调递增；对于B，若，且，则当且仅当，故B正确；对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象所对应的函数表达式为：，若的图象关于y轴对称，则，注意到，所以当且仅当时，的最小值为4，故C错误；对于D，，若在上恰有4个零点，则当且仅当，即的取值范围为.故选：ABD.12．【详解】设，则，依题意，，则，当且仅当时取等号，又，正切函数在上单调递增，因此当时，取得最大值，此时的度数最大，所以.13．【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求长度.【详解】由题意，半径为，山高为，则母线,底面圆周长，所以展开图的圆心角，如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，,由点S向引垂线，垂足为点，此时为点S和线段上的点连线的最小值，即点为公路的最高点，段即为下坡路段，则，即，得上坡路段长度为.故答案为：14．/【详解】因为，所以，设，则，因为AB是的角平分线，所以，设是与的交点，则，因为三点共线，所以，即，又，所以，即.15．(1)(2)【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，则，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，，在锐角中，，则，由正弦定理得，于是，而，则，即，，所以周长的取值范围为.16．(1)(2)【详解】（1）令，得，当时，因为，所以，两式相减得，即，所以，所以，即，所以，又，符合上式，所以；（2），则，，两式作差得，即，所以．17．(1)证明见解析(2)(3)存在，【详解】（1）证明：因，且，则四边形是平行四边形.，则，又四边形为等腰梯形，则，结合可得是等边三角形.又为中点，则；如图连接CE，注意到，，则四边形是平行四边形.结合是等边三角形，可得四边形是菱形，则是等边三角形，又为中点，则.因为平面，，所以；（2）因平面平面，平面平面，平面，，则平面.又由（1）可得，则如图建立以为原点的空间直角坐标系.则.则.设平面的法向量为n=x则，取，则，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则；（3）假设存在满足条件的点，设，则.又，得，则.又由题可得，结合，为DE的中点，可得.则，设平面的法向量为，则，取，则，，所以为平面的一个法向量.要使平面，则，又，则.故在侧棱上存在点，使得平面，且.

18．(1)(2)【分析】（1）利用中垂线的性质，转化，再结合椭圆的定义，即可求椭圆方程；（2）首先直线方程与椭圆方程联立，利用韦达表示三角形的面积，再结合斜率的范围，以及基本不等式求最值.【详解】（1）AI

如图，易知圆的圆心为，半径为4，由题得，，所以动点N的轨迹是以M、Q为焦点的椭圆，不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距为，其中，所以的方程为（2）由题意得直线，由，，