辽宁省大连市王府高级中学2024-2025学年高二上学期第二学段考试数学试题（解析版）-A4

第页大连王府高级中学2024-2025学年度上学期第二学段考试高二数学试题考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角.【详解】直线的斜率为，直线的倾斜角为.故选：C2.已知向量，则与共线的一个单位向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用共线向量及单位向量的意义直接求解.【详解】与同向共线的一个单位向量，与反向共线的一个单位向量.故选：B3.用这五个数字能组成无重复数字且与不相邻的五位数的个数有（）A.36 B.48 C.60 D.72【答案】C【解析】【分析】根据题意分当在万位，当在万位，当在万位和当在万位四种情况分别求解即可.【详解】根据题意：当在万位时，千位不能排，所以千位有：种，再排列剩下的数字有：，所以当在万位时，共有：种；当在万位时，先排和，有：种，会出现三个空，再将数字和插入三个空，有种，所以当在万位时，共有：种；当在万位时，千位不能排，所以千位有：种，再排列剩下的数字有：，所以当在万位时，共有：种；当在万位时，先排和，有：种，会出现三个空，再将数字和插入三个空，有种，所以当在万位时，共有：种；综上所述：满足条件的方法共有：.故选：C.4.如图，正方体的棱长为1，点M在棱上，且，点P是平面上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线【答案】B【解析】【分析】作，，即为点到直线的距离，由勾股定理得，由已知，故，即到点的距离等于到的距离【详解】解：如图所示，在正方体中，作，垂足为，则平面，过作，则平面，则为点到直线的距离，由题意得，由已知得，所以，即到点的距离等于到的距离，所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B【点睛】此题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结的数学思想，属于中档题5.已知：，：，则满足的的值是（）A. B.0 C.或0 D.或0【答案】C【解析】【分析】由两直线平行列出方程求解，再验证即得.【详解】直线：，：，由，得，解得或，当时，直线与平行，当时，直线与，即平行，所以或.故选：C6.已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段上时，最短，此时有最小值，列方程即可求解.【详解】圆的圆心，半径，抛物线的焦点为，准线方程为，则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则，由图知，当共线，且在线段上时，最短，此时，而，则，所以.故选：B7.设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点.且，若的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得，进一步得为等边三角形，且轴，从而可得解.【详解】由椭圆的定义，得，由余弦定理，得，整理得：，又，，因此，，又，则为等边三角形，由椭圆对称性得轴，所以.故选：B.8.过双曲线：的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（）A. B. C.或4 D.或2【答案】D【解析】【分析】按A，B在y轴同侧或A，B在y轴异侧分类画出对应图形，同侧时，结合，由几何关系表示出，再结合离心率公式即可求解；异侧时，结合内切圆半径公式得，化简可得，联立勾股定理求出，|OB|，求出，再由离心率公式即可求解.【详解】若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限，如图，设内切圆的圆心为M，则M在∠AOB的平分线Ox上，过点M分别作于N，于T，由得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得，又，则，又，则，，因此；若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限，如图，易知，则的内切圆半径为，即，又，解得，于是，则，因此.所以双曲线C的离心率为或2.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.过点且在、轴截距相等的直线方程为B.过点且垂直于直线的直线方程为C.过两圆及的交点的直线的方程是D.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】求出直线的方程，可判断A选项；利用两直线垂直求出直线的方程，可判断B选项；求出相交弦所在直线的方程，可判断C选项；利用直线与圆的位置关系以及数形结合思想求出的取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选项，当直线过原点时，设直线的方程为，则有，此时所求直线方程为，若直线不过原点，设所求直线方程为，则，此时所求直线方程为，所以，过点且在、轴截距相等的直线方程为或，A错；对于B选项，直线的斜率为，所以，过点且垂直于直线的直线方程为，即，B对；对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，，，故两圆相交，将两圆方程作差得，所以，过两圆及的交点的直线的方程是，C对；对于D选项，由可得，得，所以曲线表示圆的上半圆，直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：当直线与半圆相切且切点位于第二象限时，则，解得；当直线过点时，则，解得.由图可知，直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是，D错.故选：BC.10.某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有（）A.分给甲､乙､丙三地每地各2辆，有120种分配方式B.分给甲､乙两地每地各2辆，分给丙､丁两地每地各1辆，有180种分配方式C.分给甲､乙､丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式D.分给甲､乙､丙､丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式【答案】BD【解析】【分析】对A，工地不同，工程车不同，可分步，甲先选2辆，然后乙选2辆，剩下2辆给丙；对B，同A相同方法可得；对C，由于不知哪个工地是4辆车，因此可把6辆车按分组，再全排列可得；对D，与C相同方法，先分组再分配．计算后判断各选项．【详解】对A，先从6辆工程车中分给甲地2辆，有种方法，再从剩余的4辆工程车中分给乙地2辆，有种方法，最后的2辆分给丙地，有种方法，所以不同的分配方式有（种），故A错误；对B，6辆工程车先分给甲､乙两地每地各2辆，有种方法，剩余2辆分给丙､丁两地每地各1辆，有种方法，所以不同的分配方式有（种），故B正确；对C，先把6辆工程车分成3组：4辆､1辆､1辆，有种方法，再分给甲､乙､丙三地，所以不同的分配方式有（种），故C错误；对D，先把6辆工程车分成4组：2辆､2辆､1辆､1辆，有种方法，再分给甲､乙､丙､丁四地，所以不同的分配方式有（种），故D正确.故选：BD.11.已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（）A.B.C.存在某条直线，使得D.若点，则周长的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】由则、两点坐标且在抛物线上，代入方程进而判断选项；直线方程为与抛物线联立，再根据韦达定理代入可求其值则可判断选项B；利用选项B中代入利用不等式求最小值后进行判断选项C；画出大致图像，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，过作垂直于准线，垂足为，结合的周长为，进而判断选项D即可．【详解】由对称性得点在抛物线上，所以，解得，故A选项正确；设直线和双曲线交于两点，设直线方程为，代入抛物线方程可得：，，所以，所以：故B选项正确；则，当且仅当时等号成立，故C错误；如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，过作垂直于准线，垂足为，所以的周长为，当且仅当点的坐标为时取等号，故D选项正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：我们在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法；（1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合；（2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法；（3）抛物线定义结合焦点弦公式.三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则______.【答案】1【解析】【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解.【详解】在四面体OABC中，，而，所以，.故答案为：113.已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.若，其中为坐标原点，则原点到直线的距离是______.【答案】【解析】【分析】求出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示，列式求出，进而求出点到直线距离.【详解】依题意，直线：，设，由消去得，则，，，于是，解得，当时，方程中，符合题意，所以的方程为，原点到直线的距离是.故答案为：14.如图所示，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD满足，，，若点，分别为焦点在轴上的椭圆：的上、下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，设椭圆的离心率为，则______.【答案】##0.5【解析】【分析】由，可得，，，四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将代入椭圆及圆的方程，可求出，即可求得离心率.【详解】依题意，，，设，，连接，由，，知，，，在以为直径的圆上，且，又原点为圆的弦的中点，则圆心在的垂直平分线上，即在轴上，有，由，得，而，于是，当时，则0，若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾，于是，则，圆的圆心坐标为，圆的方程为，将代入得，又，因此，所以椭圆的离心率.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为，，．（1）求BC边上的中线AD的所在直线方程；（2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解；（2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解.【小问1详解】∵，∴BC边的中点D的坐标为，∴中线AD的斜率为，∴中线AD的直线方程为：，即【小问2详解】设△ABC的外接圆O的方程为，∵A、B、C三点圆上，∴解得：∴外接圆O的方程为，即，其中圆心O为，半径,又圆心O到直线l的距离为,∴被截得的弦长的一半为,∴被截得的弦长为.16.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)．（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．【答案】（1），（2）或或【解析】【分析】（1）根据题意，代点计算，即可求解；（2）根据题意，易知点不在抛物线上，分别讨论过点的直线斜率不存在、斜率为0、斜率存在且不为0三种情况，即可求解.【小问1详解】由抛物线C：过点，可得，解得.所以抛物线C的方程为，其准线方程为.【小问2详解】根据题意，易知点不在抛物线上.①当直线l的斜率不存在时，符合题意；②当直线l的斜率为0时，符合题意；③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为，由，得，由，得，故直线l的方程为.综上直线l的方程为或或.17.已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.（1）求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可.（2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证.【小问1详解】由双曲线：虚轴长为4，得，双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则，所以双曲线C标准方程为.【小问2详解】由（1）知，，，显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设，由消去得，，，，直线的斜率，直线的斜率，所以，为定值．18.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，在母线PC上，且，，.（1）求证：平面平面ABD；（2）求二面角的余弦值.（3）设线段PO上动点为，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）1【解析】【分析】（1）设AC与BD交于点F，证明平面ABD，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，根据空间角的向量求法，即可求得答案；（3）利用向量法求出直线DM与平面ABE所成角的正弦值的表达式，结合基本不等式即可求得最大值.【小问1详解】如图所示，设AC与BD交于点F，连接EF，由于底面底面，故，又，即，平面，故平面，又平面，故，，为底面圆的内接正三角形，且边长为，则，；又，即,而∽，则，即，结合，平面ABD，，∴平面ABD，又平面，∴平面平面.【小问2详解】以点F为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，结合（1）可知，则，则，设平面ABE的法向量为n=x,y,z，则令，则，平面的