不定积分(高等数学)

原函数选择u有效方法基本积分表直接分部不定积分几种特殊类型函数的积分章不定积分2021/6/271

1．原函数的定义（1）若，则对于任意常数，关于原函数的说明：（2）若和都是的原函数，（为任意常数）则(3)连续函数一定有原函数.2021/6/272任意常数积分号被积函数2.不定积分的定义：被积表达式积分变量C

称为积分常数,不可丢!即：若则2021/6/273

说明:原函数和不定积分的联系1.不定积分是由无限多个原函数组成的集合；2.不定积分＝原函数＋C（任意常数）

（1）的导函数；

（2）的一个原函数；（3）的不定积分2021/6/274(1)微分运算与求不定积分的运算是互逆的.3.不定积分的性质（2）性质先积后微形式不变;先微后积差一常数2021/6/2751.已知求2.已知求3.已知求4.已知求2021/6/2764、基本积分表是常数)2021/6/2772021/6/278利用恒等变形、及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质5、直接积分法:2021/6/2796、第一类换元法（凑微分法）第一类换元公式（凑微分法）2021/6/2710常见的凑微分形式2021/6/27112021/6/27127、第二类换元法(变量替换法)第二类换元公式2021/6/2713令一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令2021/6/27148、分部积分法分部积分公式反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数选择u的有效方法:反对幂指三,哪个在前哪个选作u.2021/6/2715（1）幂函数与三角函数的乘积必须用分部积分法积分的被积函数的类型：（2）幂函数与指数函数的乘积（3）幂函数与对数函数的乘积（4）幂函数与反三角函数的乘积（5）三角函数与指数函数的乘积2021/6/2716(3)简单无理式的积分.

(“谁妨碍我就把谁换掉”：做根式代换)(1)有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）(2)三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）9、几种特殊类型函数的积分2021/6/2717（1）有理函数的积分定义两个多项式的商表示的函数称之.假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；

利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.2021/6/2718

有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面三种形式:真分式化为部分分式之和的待定系数法2021/6/2719令（2）三角函数有理式的积分定义

由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为（万能置换公式）2021/6/2720（3）简单无理函数的积分讨论类型：解决方法：作代换去掉根号．2021/6/27212021/6/2722例3.

求解2021/6/2723解:

原式=例5.

求解:

原式=例4.

求2021/6/2724例6.

求解:

原式=2021/6/2725例7

求解2021/6/2726例

8求解2021/6/2727解一：2021/6/2728例10.求解:2021/6/2729例11.

求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.2021/6/2730例12.

求解积化和差公式:2021/6/2731例13：求解：2021/6/2732例14

求解令2021/6/2733例

15.求积分解2021/6/2734例16

求积分解注意循环形式2021/6/2735解两边同时对求导,得依题意可知：2021/6/273620