人教版九年级上册数学期中考试试卷带答案解析

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．将一元二次方程x2＋1＝3x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为A．1，－3． B．1，3． C．1，0． D．x2，－3x．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m的值为（）A．±1 B．0 C．1 D．-14．已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是()A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．35．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是A．B．C．D．6．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60° B．90° C．120° D．150°7．如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是（）A． B． C． D．8．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长.”则A．寸 B．寸 C．寸 D．寸9．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是()A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③10．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12二、填空题11．方程的解是．12．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0没有实数根，则m的取值范围是_____．13．抛物线y＝（x﹣2）2的对称轴是_____．14．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝_____．15．若点，关于轴对称，则____________..16．已知二次函数y＝﹣3x2+（m﹣1）x+1，当x＞时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．三、解答题17．解方程：（1）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2（2）x2﹣2x﹣1＝018．先化简，再求值：，其中m是方程的根．19．已知抛物线y＝﹣x2+4x+5（1）用配方法将y＝﹣x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．20．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．22．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．（1）如图①，若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径；（2）如图②，点G是上一点，AG的延长线与DC的延长线交于点F，求证：∠AGD＝∠FGC．23．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？24．问题：（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．25．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当CM+AM的值最小时，求M的坐标；（4）在线段BC下方的抛物线上有一动点P，求△PBC面积的最大值．参考答案1．A【解析】首先移项进而利用二次项系数和一次项系数的定义得出答案．【详解】解：x2＋1＝3x整理得：，故二次项系数为：1，一次项系数为：．故选：．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键．2．B【分析】按照轴对称图形和中心对称图形的特征进行判断即可．【详解】解：A选项，是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；B选项，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；C选项，不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；D选项，不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题关键是抓住轴对称图形和中心对称图形的特征．3．D【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到-m2+1=0，解得m1=1，m2=-1，然后根据二次函数的定义确定m的值．【详解】把（0，0）代入y=（m-1）x2-mx-m2+1得-m2+1=0，解得m1=1，m2=-1，

而m-1≠0，

所以m=-1．

故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的定义．4．A【解析】【分析】根据一元二次方程定义可得a-3≠0，|a-1|=2，再解即可．【详解】由题意得：a-3≠0，|a-1|=2，解得：a=-1，故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．5．D【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、c的正负，从而可以得到一次函数y＝ax﹣bc的图象经过哪几个象限，本题得以解决．【详解】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，∴bc＞0，∴一次函数y＝ax﹣bc的图象经过第二、三、四象限，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象和性质，根据二次函数的图象得到a、b、c的正负是解题的关键.6．D【详解】试题分析：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选D．考点：旋转的性质．7．A【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．【详解】连接AC，如图，∵BC是的直径，∴，∵，∴．故答案为．故选A．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．8．C【分析】连接AO，根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长.【详解】如图，连接AO，设AO=OD=r，故OE=r-1，∵AB=10，∴AE=5，由AO2=AE2+OE2，即r2=52+(r-1)2，解得r=13，故CD=2r=26故选C【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是根据勾股定理进行求解.9．C【解析】试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故本选项错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故本选项正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为1＞x=﹣＞0，∴2a+b＜0，故本选项正确；④对称轴为x=﹣＞0，∴a、b异号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；∴正确结论的序号为②③．故选B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣b2a判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．10．A【分析】如图所示，过点B作直线y=2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．【详解】如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，△＝49+4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣；故选A．【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．11．，．【详解】试题分析：，∴或，所以，．故答案为，．考点：解一元二次方程-因式分解法．12．m＜0【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＜0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＜0，解得：m＜0，故答案为m＜0．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和判别式的意义，一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．13．直线x＝2【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出抛物线的对称轴．【详解】解：抛物线y＝（x﹣2）2的对称轴是直线x＝2，故答案为：直线x＝2．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握抛物线的三种形式是解题关键.14．60°【分析】连接OB，求出∠BDC，利用三角形的外角的性质解决问题即可．【详解】解：连接OB．∵，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠BDC，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题关键.15．4【详解】根据关于x轴对称的点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，可知b=3，a-2=-a，解得a=1，因此可求得a+b=4.

故答案为4.16．m≥﹣2【分析】根据函数解析式可知，开口方向向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．【详解】解：∵函数的对称轴为x＝﹣＝，又∵二次函数开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵当x＞时，y随x的增大而减小，∴≤．解得m≥﹣2，故答案为m≥﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，能根据解析式推知函数图象是解题的关键，另外要能准确判断出函数的对称轴．17．（1）x1＝，x2＝﹣2；（2）x1＝﹣，x2＝+.【分析】（1）先变形得到（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）先计算判别式的值，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：（1）（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，（2x﹣1+x﹣3）（2x﹣1﹣x+3）＝0，2x﹣1+x﹣3＝0或2x﹣1﹣x+3＝0，所以x1＝，x2＝﹣2；（2）△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝12，x＝＝±，所以x1＝﹣，x2＝．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把一元二次方程化为一般式，然后把方程左边分解为两个一次式的积，从而可把一元二次方程化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，得到一元二次方程的解．也考查了配方法和求根公式法解一元二次方程．18．．【详解】原式===．∵m是方程的根，∴．∴．考点：1．分式的化简；2．一元二次方程的解.19．（1）（2）向下；；（2，9）【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式化成y＝﹣（x﹣2）2+9即可；（2）根据抛物线的顶点式可直接得出答案；【详解】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣x2+4x﹣4+4+5＝﹣（x﹣2）2+9，（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，其中a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，抛物线的顶点坐标为（2，9）.【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握配方法以及抛物线的性质是解题关键.20．（1）到2020年底，全省5G基站的数量是6万座；（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为.【分析】（1）2020年全省5G基站的数量=目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G基站的数量是（万座）.答：到2020年底，全省5G基站的数量是6万座.（2）设年平均增长率为，由题意可得：，解得：，（不符合，舍去）答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（1）a＝1，2；（2）a＝﹣1．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，得到△=[-2（a-1）]2-4（a2-a-2）＞0，于是得到结论；

（2）根据x1+x2=2（a-1），x1x2=a2-a-2，代入x12+x22-x1x2=16，解方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键．22．（1）5（2）见解析【分析】（1）连接OD，设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理列式计算；（2）连接AD，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AGD，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＝∠FGC，等量代换即可证明．【详解】（1）解：如图①，连接OD，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DE＝CD＝4，在Rt△OED中，OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，即⊙O的半径为5；（2）证明：如图②，连接AD，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，∴∠ADC＝∠AGD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD．【点睛】本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质定理、圆周角定理以及勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧是解题关键.23．（1）y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元；（3）当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．【分析】（1）当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．从而用60减去x，再除以10，就是降价几个10元，再乘以20，再把80加上就是平均月销售量；（2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于1800，解方程即可；（3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求得取最大利润时的x值及最大利润．【详解】解：（1）由题意得：y＝80+20×∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200（30≤x≤60）（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）2+2000∵﹣2＜0∴当x≤65时，w随x的增大而增大∵30≤x≤60∴当x＝60时，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性．24．（1）BC＝DC＋EC；（2）BD2＋CD2＝2AD2；（3）AD＝6.【分析】（1）易证△BAD≌△CAE，即可得到BC＝DC＋EC（2）连接CE，易证△BAD≌△CAE，再得到ED＝AD，然后在Rt△ECD中利用勾股定理即可求得其关系；（3）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，先证△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，故2AD2＝BD2－CD2，再解出AD的长即可.【详解】解：(1)BC＝DC＋EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD．(2)BD2＋CD2＝2AD2.证明如下：连接CE，如解图1所示．∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.∵∠EAD＝90°，AE＝AD，∴ED＝AD．在Rt△ECD中，由勾股定理，得ED2＝CE2＋CD2，∴BD2＋CD2＝2AD2.(3)将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，如解图2所示，则AE＝AD，∠EAD＝90°，∴△EAD是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∠AED＝45°.∵∠ABC＝∠ACB＝ADC＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC．同(2)的方法，可证得△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，∴2AD2＝BD2－CD2.∵BD＝9，CD＝3，∴2AD2＝92－32＝72，∴AD＝6(负值已舍去)．【点睛】此题主要考查全等三角形的性质及判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及勾股定理的应用.25．（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2，顶点D的坐标是（，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）点M的坐标为(，−)；（4）△PBC面积的最大值是4.【解析】试题分析：（1）把点A的坐标代入函数解析式来求b的值；然后把函数解析式转化为顶点式，即可得到点D的坐标；（2）由两点间的距离公式分别求出AC，BC，AB的长，再根据勾股定理即可判断出△ABC的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x