华师大版数学八年级下册全册教案（2021年春修订）

华师大版数学八年级下册

全册教案设计

2021-1-24

第16章分式

16.1分式及其基本性质

1.分式

请教与目标

【知识与技能】

1.了解分式的概念，明确分式和整式的区别

2.使学生能够求出分式有意义的条件

【过程与方法】

让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世

界中的一类量的数学模型

【情感态度】

培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流

【教学重点】

理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件

【教学难点】

能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件

德教与15睚

一、情境导入，初步认识

下列有理式中哪些是整式？

a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,一-一,—,

m-ny

amc

9a-l于％

【教学说明】因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别

从而获得分式的概念，所以必须熟练掌握整式的概念.

二、思考探究，获取新知

探究：分式的概念

做一做

（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为一米；

（2）面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为一米，

（3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价

是___元；

问题：观察你所列的3个式子，它们有什么共同点？你能归纳吗？

【归纳结论】形如A/B（A、B是整式，且B中含有字母，BWO）的式子，叫做

分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.整式和分式统称有理式，即有

整式

有理式

分式.

【教学说明】让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，从而得出

分式的概念.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P2例：1、P3例2.

2.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

（l）g,（2）2a+6,（3）-汜,（4）；0+/

2a4-X2

解：（2）、（4）是整式，（1）、（3）是分式.

3.x取什么值时，下列分式无意义？

解：（1）因为当分母的值为零时，分式没有意义.

由2x・3=0,得x=3/2

所以当x=3/2时，分式无意义.

（2）因为当分母的值为零时，分式没有意义.

由5x+10=0,得x=-2

所以当x=-2时，分式无意义.

4.若分式三有意义，贝Jx的取值范围是（）

x-3

A.xw3B.xw-3

C.x>3D.x>-3

2

解：当分母X-3X0,即XH3时，分式三有意义.故选A

x-3

5.若分式目二1的值为零，则x的值为

X+]

分析：分式的值为。的条件是：（1）分子=0;（2）分母工0.两个条件需同时

具备，缺一不可.据此可以解答本题

解：――-=0,则|x|-l=0,即x=±l,且X+1H0,即XA-1.故x=l.故若分式

X+1

唱的值为零’则X的值为L

【教学说明】让学生体会分式的意义，理解如果a的取值使得分母的值为零,

则分式没有意义，反之有意义.

四、师生互动，课堂小结

这节课你有哪些收获？

L学习了分式的概念，理解了整式与分式的异同.

2.知道当分式的分母不等于零时分式才有意义.

3.在学习新知识时，可把它与所学的旧知识比较，通过观察、类比、归纳它

们异同的方法来学习新知识.

4.若使分式的值为零，需满足两个条件：①分子等于零；②分母不等于零

季课后作观

1.布置作业:教材“习题16.1〃中第1、2、3题.

2.完成本课时对应练习.

受教与反思

在学习分式的概念时，借助整式的概念，用类比的思想进行教学，学生掌握

的较好，能够紧抓概念，很容易的区分整式与分式.而在分式的值等于0的教学

中，一部分学生都只考虑分式的分子等于0,而没有考虑分式的分母.因此，在后

面的教学中对这方面的教学有待加强.

2.分式的基本性质

“旗教学目标

【知识与技能】

使学生理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质进行分式约分、通分

【过程与方法】

通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力

【情感态度】

让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的

能力和数学表达能力

【教学重点】

掌握分式的基本性质

【教学难点】

运用分式的基本性质来化简分式

徐教与亘睚

一、情境导入，初步认识

1.分数的基本性质是什么？

2最=:的依据是什么？

3上与七相等吗？

35

【教学说明】通过分数的约分、通分，复习分数的基本性质，通过类比来学

习分式的基本性质.

二、思考探究，获取新知

探究1：分式的基本性质

你认为分式与:相等吗？尤与巴呢？

6a2mnm

【教学说明】通过对分数的基本性质的理解，可类比得出分式的基本性质，

但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数，不容易想到整式，另外这

个整式不能为零，老师要引导学生想到这一点.

【归纳结论】分式的分子和分母都同时乘以（或除以）同一个不等于零的整

式，分式的值不变.

探究2：约分化简下列分式:

⑴警⑵鼻

【教学说明】有的学生在应用分式的基本性质时往往分式的分子与分母没有

同时乘以或除以同一个公因式.有些学生不能正确找到分子、分母的公因式，导

致约分的错误和不彻底.所以教师应适当引导.

【归纳结论】把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的

约分，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式.

探究3：通分把下列各小题中的两个分式化成同分母的两个分式.

（1）———

a2b9ab29

⑵于

x-yx+xy

【归纳结论】分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来分式

相等的同分母分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因

式的最高次察的积作为公分母（即最简公分母）.

三、运用新知，深化理解

1.填空

jxyWaxy

解：6a2a-2

2.分式:①—，②手《，③④」中，最简分式有（B）

a--b£12（a-Z?）x-2

A.l个B.2个

C.3个D.4个

3.若把分式券中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（C）

2xy

A.扩大3倍B.不变

C.缩小3倍D.缩小6倍

4.约分：(1)当(2)结(3)土耳(4)空卫

6abe2mn~16xyzy-x

解：(1)—(2)—(3)(4)-2(x-y)2

2bcn4

5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“，号.

-66-x-Im-3x

一5Q‘3y✓'6n'4✓y

分析：每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同

时改变，分式的值不变.

6b6bxxImIm3x3x

解:=—,----=------,--=,——

-5a----5a3y----3y-----6n-----6n---4y--4y

6.通分:

12

⑴仁和一^

2ab35a2b2c

⑵，-和3

2xy3x2

⑶备和一

Sbe2

(4)」-和」-

y-\j+1

5ac

解：(1)10a263c

24b

5a2b2c10a263c

3c12c3

(J)~-o_~，

2ab~Sab~c"

_a__a?b

86c2-Sab2c2

(4)-J-=----21±1----

'S-l(y-l)(y+ir

1二)T

y+1-(7-1)()+1)

【教学说明】在教学中让学生将约分的步骤分为这样几步，首先将找出分子

和分母公因式并提取，再将分式的分子和分母同时除以公因式.最后看看结果是

否为最简分式或整式.

四、师生互动，课堂小结

这节课你有哪些收获？

受训后作业

1.布置作业:教材"习题16.1〃中第4、5题.

2.完成本课时对应练习.

承教与反思

学生对分式的基本性质，能说能背.从表面上来看，掌握的比较好.但从练习

中可以发现很多问题.如：不会找分式的分子、分母的公因式；分子、分母不同

时乘或除；约分不彻底等•所以在这些方面要多练习.

16.2分式的运算

1.分式的乘除

格教与目标

【知识与技能】

1.理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算

2.掌握分式乘方的有关运算

【过程与方法】

经历探索分式的乘除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性

【情感态度】

通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力

【教学重点】

掌握分式的乘除法法则

【教学难点】

熟练地运用法则进行计算，提高运算能力

徐教学15睚

一、情境导入，初步认识

计算，并说出分数的乘除法的法则：

424

X281

7-5-9-

【教学说明】复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则

做准备.

二、思考探究，获取新知

探究1：分式的乘除法法则

242x452V2

353x5797x9

2.4252x55.259

3.5-34-3x4，yl'9-72

5x9

772

bd

猜一猜：-x—•----二—

ac,，a•c

你能总结分式乘除法的法则吗？与同伴交流.

【归纳结论】分式的乘除法的法则：

两个分式相乘，把分子相奏的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母;

如果得到的不是最简分式，应通过约分进行化简.

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

【教学说明】让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法

则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的法则.

探究2：分式的乘方

怎样进行分式的乘方呢？试计算：

(1)(-)3(2)(-)4(k是正整数)

mm

解：(1)(K)3=ZLK上=二；

mmmm

/o\/nxAnnn

(z)(—)二—•—・•••・—二

mmmm

(〃・〃......刀)

(m•m.........TH)

仔细观察所得的结果，试总结出分式乘方的法则.

【教学说明】通过类比分数的乘方运算方法，总结出分式的乘方运算法则.

【归纳结论】把分式的分子、分母分别乘方，所得的幕作结果的分子、分母.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P7例1、例2.

2.计算：

⑴(上尸；

-2,x

⑵(/A

C~

解：(1)原式二三

4广

(2)原式二

3.计算：-——也+（a—b）2

ab

解：原式二

ab（a-b）

4.计算：（目产（型）3.（!）

3y4x4

解：原一式二二3

4x

5.先化简,再求值：品*淇中广&吟.

解：当a=-8,b="!-时，原式=―--=------——-=—

2

3"b3x（_8）_l49

6.上海到北京的航线全程s千米，飞行时间需a小时；铁路全长为航线长

的m倍，乘车时间需b小时.飞机的速度是火车速度的多少倍？（用含a、b、s、

m的分式表示）

皿smssbb

JOT：一+—=-x—=——

abamsam

7.甲队在n天内挖水渠a米，乙队在m天内挖水渠b米，如果两队同时挖

水渠，要挖x米，需要多少天才能完成？（用代数式表示）

解：甲、乙两队每天分别挖色米，2米，若两队合挖，每天挖（）米，所

nm

以要挖x米，需要一厂=一^上-天才能完成.

-a-1,--bam-^-bn

nm

【教学说明】通过例题讲解，使学生会根据法则，理解每一步的算理，从而

进行简单的分式的乘除法运算，并能解决一些与分式有关的简单的实际问题，增

强学生代数推理的能力与应用意识.需要给学生强调的是分式运算的结果通常要

化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注

意到结果要化简.

四、师生互动，课堂小结

分式乘除法的运算步骤：

当分式的分子与分母都是单项式时:

(1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②

把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形

式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分

(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，

其它与乘法运算步骤相同.当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②

如果分子与分母有公因式，先约分再计算；③如果分式的分子(或分母)的符号是

负号时，应把负号提到分式的前面.最后的计算结果必须是最简分式.

,〉课后作业

1.布置作业:教材P8的"练习〃.

2.完成本课时对应练习.

受教与反思

在练习中暴露出一些问题，例如在传授过程中急于求成，法则的引入没有给

学生过多的时间，如果时间足够，学生自己得出法则并不是一件难事.在解决习

题时，对学生容易出现的错误没有重点强调.所以学生在后面的练习中仍然出现

这样那样的错误.学生答题的规范性还差了些，在黑板上的板书不到位，在以后

的教学中加强学生的答题规范性练习.

2.分式的加减

第1课时分式的加减法

电教与目标

【知识与技能】

1.理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减法运算

2.理解并掌握异分母分式加减法的法则

【过程与方法】

类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则

【情感态度】

通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与

思想

【教学重点】

熟练地进行异分母的分式加减法的运算

【教学难点】

熟练地进行异分母的分式加减法的运算

敦与亘程

一、情境导入，初步认识

做一做：

-1+2--1-2~

3377

-1-+3二--7-—5二

881212

猜一猜

J-+2-

aaxx

3574

2b2b~3y3y"

【教学说明】通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思

想猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性.从而抛出同分母

分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容.

二、思考探究，获取新知

探究：分式的加减法

计算：

(1)-+-；(2)4---

aaa~ab

小b2b+2

解.aaa

•e232b3a2b-3a

⑵/一瓦商

【教学说明】类比时注意引导学生正确猜想，使法则的提出顺理成章，也为

后面的学习做好铺垫.

【归纳结论】同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.

三、运用新知，深化理解

L见教材Pg例4

2.计算：

，八"1一1n-m

(1)——+----；

xx

解：原式二3

X

Ea22ab+b?

2---+-------;

a+ba+b

解：原式=a+b

⑶守乎；

2x-y2x-y

解:原式'

2x-y

3.计算:

解：原式二a-1

〃m-5n6nm

4.+-----

n-9m9m-n9m-n

解：原式

9tn-n

5.计算：

小122

(1)—：——+----

w*2*4—93—m

解：原式=，^+一_^

加2-9-(m-3)

______12_________2

(6+3)(阳一3)(/n-3)

______12________2(〃z+3)

(m+3)(/n-3)(m+3)(/w-3)

______12________2加+6

(w+3)(/n-3)(77?-3)(W+3)

12-2加一6

(w+3)(w—3)

_6-2tn

(w+3)(/n-3)

2(3-zn)

(jw+3)(m-3)

-2(〃z-3)

(/n+3)(/n-3)

__2

"2+3

4

(2)a+2---------

2-a

解:原式=2+a--^―

2-a

_(2+a)(2-a)4

2-a2-a

_4-a2_4

2-a2-a

4-a2-4

2-a

-a"

=2^a

CT

=r^2

【教学说明】让学生体会法则的运用要因题而变，而万变不离其宗一一异分

母分式加减法法则.

四、师生互动，课堂小结

通过木节课的学习，你有哪些收获？哪些疑惑？

徐源后作观

1.布置作业:教材P9“练习”.

2.完成本课时对应练习.

攀教与反思

在授课结束后发现学生充于同分母的分式的加减运算掌握得比较好，但是对

于异分母的分式加减就掌握得不是很理想，很多学生对于分式的通分还很不熟练,

也有学生对于计算结果应该为最简分式理解不够总是无法化到最简的形式.所以

对异分母的加减法还要加强练习.

第2课时分式的混合运算

教与目标

【知识与技能】

知道分式的加、减、乘、除、乘方的法则是什么；会进行分式的混合运算

【过程与方法】

经历探索分式的混合运算法则的过程,理解分式加减法运算的原理

【情感态度】

培养大胆猜想、积极探究的学习态度，发展观察、类比、交流的能力

【教学重点】

能够进行分式的混合运算

【教学难点】

能够进行分式的混合运算

守瓠与亘睚

一、情境导入，初步认识

我们在小学里学过四则混合运算，它的运算顺序是什么？分式的混合运算顺

序又是什么样的呢?

【教学说明】通过回顾小学里学过四则混合运算的运算顺序，从而引出分式

的混合顺序.

二、思考探究，获取新知

计算:1%+3—2x+1

x+\x2-\X2+4X+3

解：原式=-1-7---:——•

x+1（X+1）（X-1）

（1/

（x+3）（x+l）

1x-1

-7+T-（x+i）2

X+1_____X-1

=（x+l）2"（x+l）2

X+1-X+1

（A+1）2

2

=（x+n2

【教学说明】引导学生观察上面的计算过程，并总结分式的混合运算法则.

【归纳结论】分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算

顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后

的结果要是最简分式或整式.

三、运用新知，深化理解

1.计算（手|--24>—

x-2xx-4x+4x

解•原式=[>+2-----^—1—1二

野•原队[心-2)(X-2)2J-x

(.r+2)(x-2)-x(x-l)^x-4

x(x-2)2

_『一4一『+x«

x(x-2)2x-4

久一4.41

~x(x-2)2T^4-(X-2)2

2.先化简，再求值：尸（二+1）,其中x:收+1

x-2x+l\x2-l

解：原式工厂‘7。・J）

（X-1）-X（x+1）

x-1

当冤=区+1时

原式二」一=与

J2+1-12

3.从三个代数式：①a2-2ab+b?,②3a-3b,③中任意选两个代数式构造

分式，然后进行化简，并求出当a=6,b=3时该分式的值.

3a-3b

解：选②与③构造出分式,

a2-b2

a+b

当a=6,b=3时

原fS式T二--3--=一1

6+33

4.先化简，再求值：（---）-1,其中x是不等式3X+7>I

xx-2x-4x+4

的负整数解.

(4+2)(、-2)E-1)

解:原式=[

%(*-2)*：(%-2)

(x-2)2

x-4

x(%-2),v-4

3x+7>l

Vx是不等式3x+7>l的负整数解

・・“=-1把*=-1代入土心中

x

得：原式==^=3

【教学说明】注意：1.分式通分时分母能分解应先分解；2.确定最简公分母;

3.分子、分母同乘以不等于零的整式.

四、师生互动，课堂小结

本节课你学到了什么？同桌两人相互交流意见.

攀评后作观

L布置作业:教材"习题16.2〃中第3、4、5题.

2,完成本课时对应练习.

徐教学反思

教学时，要随时注意学生出现的错误，及时给予纠正.对计算错误的原因,

要仔细分析.帮助学生从根本上弄清概念和法则，使学生明白所犯错误的原因,

才能避免再犯同样的错误.

16.3可化为一元一次方程的分式方程

第1课时分式方程

通教与目标

【知识与技能】

1.理解分式方程的概念

2.会通过设适当的未知数，根据等量关系列出分式方程

3.使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并

掌握验根的方法

【过程与方法】

通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的

概念，明确分式和整式的区别

【情感态度】

在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获

得成就感，提高解决问题的能力

【教学重点】

使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方

程

【教学难点】

使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌

握验根的方法

?教学耳睚

一、情境导入，初步认识

1.什么是方程？

2.什么是一元一次方程？它的解怎样检验？

【教学说明】回顾方程的相关知识，为本节课的教学做准备.

二、思考探究，获取新知

探究1：分式方程的概念

轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.

已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.

分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得

8060’.、

------=-------（19

x+3x-3

观察这个方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？

【教学说明】通过让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异

同，从而得出分式方程的概念

【归纳结论】方程（1）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方

程叫做分式方程.

思考：怎样解分式方程呢？有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化

为整式方程呢？试动手解一解方程（1）.

方程（1）可以解答如下：方程两边同乘以（x+3）仅-3）,约去分母，得80

（x-3）=60（x+3）.解这个整式方程,得x=21.

所以轮船在静水中的速度为21千米/时.

【归纳结论】上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整

式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现

的各分式的最简公分母.

探究2：分式方程的增根

解方程两边同乘以02-1），约去分母，得x+l=2.

解这个整式方程，得x=l.

思考：x=l是不是原分式方程的解（或根）呢？

当x=l时，原分式方程左边和右边的分母（x-1）与（/—I）都是0,方程

中出现的两个分式都没有意义，因此，x=l不是原分式方程的解，应当舍去.所以

原分式方程无解.

【归纳结论】在解分式方程时，产生不适合原分式方程的解（或根），这种

根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.

如何判定一个值是否为这个分式方程的根呢？分式方程如何检验呢？

【归纳结论】解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使

原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式

(即最简公分母)，看它的值是否为零.如果为零，即为增根.

三，运用新知，深化理解

1.见教材Pi5例2.

2.在方程一5=0,&=6,—3=0,---=1,—=2中分式方程有(B)

A.2个B.3个

C.4个D.5个

3.A、*+3=5；------3=0；C、2=21中，B是分式方程,A、C是整

22x+l乃

式方程.

4.解下列方程：

(1)J

yTy

解：方程两边都乘以y(y-1),得

2y2+y(y-1)=(y-1)(3y-l),

2y2+y2-y=3y2-4y+l,

3y=l,

解得yg

ii17

检验：当时，y(y-1)=-x(1-1)=--*0,

・・・y二:是原方程的解，

・,・原方程的解为y=".

x3

(2)---1=-————

x+1(x+l)(x-2)

解:两边同时乘以(x+1)(x-2),

得x(x-2)-(x+1)(x-2)=3.

解这个方程，得x=-l.(7分)

检验：x=-l时(x+1)(x-2)=0,x=-l不是原分式方程的解,

・・・原分式方程无解.

3x+3

(3)=0.

x-\x2-l

解：方程的两边同乘(x-l)(X+1),得

3x+3-x-3=0,解得x=0.

检验：把x=0代入(x・l)(x+1)=-1*0.

・••原方程的解为：x=0

2

(4)=0.

厂-4元+2

解:方程的两边同乘(x+2)(x-2),得2-(x-2)=0,解得x=4.

检验：把x=4代入(x+2)(x-2)=12*0.

・••原方程的解为：x=4

4

(5)3---

3x-l6x-2

解：方程两边同乘以2(3x-l),

得3(6x-2)-2=4

18x62=4,

18x=12,

2

x=­.

3

2

检验：把x=£代入2(3x-l)中，

3

2(3x-l)#0,

2

・・・x:：是原方程的根.

3

2

・,・原方程的解为x=；.

“、113

(6)--------1—=----------.

\-3x26x-2

解：方程两边同乘以2(3x-l),

得：-2+3x-l=3,

解得：x=2,

检验：x=2时，2(3x-l)工0.

所以x=2是原方程的解.

【教学说明】通过学生的反馈练习，考察学生对分式方程的概念、增根的理

解；通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对解分式方程是否清楚，以便

教师能及时地进行查漏补缺.

四、师生互动，课堂小结

(1)什么是分式方程？举例说明；

(2)解分式方程的一般步躲：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，

化为整式方程.解这个整式方程；验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看

结果是不是零，若结果不是0,说明此根是原方程的根；若结果是0,说明此根

是原方程的增根，必须舍去.

(3)解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？

,〉课后作业

1.布置作业:教材〃习题16.3〃中第1题.

2.完成本课时对应练习.

受教与反思

本节课的关键是如何过渡，究竟是给学生一个完全自由的空间还是让学生在

老师的引导下去完成，〃完全开放〃符合设计思路，符合课改要求，但是经过教学

发现，学生在有限的时间内难以完成教学任务，因此，先讲解，做示范，再练习

更好些.

第2课时分式方程的应用

“旗教学目标

【知识与技能】

1.经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程；

2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤；

3•会列分式方程解决简单的应用题，提高学生分析问题、解决问题的能力和

应用意识.

【过程与方法】

经历〃实际问题情境一一建立分式方程模型一一求解一一解释解的合理性〃的

过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的

意识.

【情感态度】

通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应月意识，加深学生对

生活的热爱.

【教学重点】

列分式方程解应用题

【教学难点】

对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视

教学耳睚

一、情境导入，初步认识

1.解分式方程的一般步骤；

2.解方程四-3=1;

x-lx-1

3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？

【教学说明】回顾上节课知识，检查学生掌握情况，复习列一元一次方程解

应用题的一般步骤，引出新问题.

二、思考探究，获取新知

某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由

两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.

已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每

分钟各能输入多少名学生的成绩？

解：设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩,

根据题意得

解得：x=ll.

经检验，x=ll是原方程的解.

并且x=ll,2x=2xll=22,符合题意.

答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.

【教学说明】引导学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程

解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试，形成解决问题的一些基本

策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.

【归纳结论】列分式方程解应用题的一般步骤：审一设一列一解一验一答.

三、运用新知，深化理解

1.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的

人数估计共需费用300元,后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，

一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定

的人数是多少？

解：设原定是x人，由题意可知：

300/480

-------4=-----

x2x

解得:x=15

经检验：x=15是原分式方程的根.

答：原定的人数是15人.

2.在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨.先由甲工程队单独做2天后,

再由乙工程队单独做3天刚好完成这项任务.已知乙工程队单独完成这项任务比

甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要

多少天？

解：设甲工程队单独完成任务需x天，则乙工程队单独完成任务需(x+2)天,

依题意得上2+—3

xx+2

化为整式方程得x?-3x-4=0

解得x=-l或x=4.

检验：当x=4和x=-l时，x（x+2）#0,x=4和x=-l都是原分式方程的解.

但x=・l不符合实际意义，故x=・l舍去；

，乙单独完成任务需要x+2=6（天）.

答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天.

3.去年5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地宸，兰州某中学师生

自愿捐款，己知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第

一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是

多少？人均捐款多少元？

解法1：设第一天捐款x人，则第二天捐款（x+50）人,

由题意列方程幽二迹.

xx+50

解得x=200.

检验：当x=200时,x(x+50)#0,

・・・x=200是原方程的解.

两天捐款人数x+（x+50）=450,人均捐款幽=24（元）.

x

解法2：设人均捐款x元，

百日通力工口60004800

由题意列方程----------=50.

xx

答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元.

4.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算：甲

队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做

24天可完成.

（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万

元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙

队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

解：（1）设乙队单独完成需x天

根据题意，得

11

—x20+(—4------)x24=1

601x60

解这个方程，得x=90

经检验，x=90是原方程的解.

，乙队单独完成需90天.

（2）设甲、乙合作完成需y天，则有

（—+—）y=l

'60907

解得y=36（天）

甲单独完成需付工程款为60x3.5=210（万元）.

乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）.

甲、乙合作完成需付工程款为

36x(3.5+2)=198(万元)

答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱.

5.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划

的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟

到达目的地.求前一小时的行驶速度.

解：设前一小时的速度为xkm/小时，则一小时后的速度为1.5xkm/小时，由

题意得：

解这个方程为x=60,

经检验，x=60是所列方程的根，

答：前一小时的速度为60km/小时.

【教学说明】使学生体会丰富的实例，巩固用分式方程解决实际问题的技巧.

四、师生互动，课堂小结

列分式方程解应用题的一般步骤：

（1）审清题意；

（2）设未知数（要有单位）；

（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；

（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；

（5）写出答案（要有单位）.

学课后作业

1.布置作业:教材〃习题16.3〃中第2、3题.

2.完成本课时对应练习.

攀教与反思

应用题历来是个“老大难”，学生痛苦，老师无奈，怎么办？降低门槛，找准

认识的生长点是关键，引导学生喜欢应用题是关键.

16.4零指数累与负整数指数累

“旗教学目标

【知识与技能】

L使学生掌握不等于零的零次幕的意义.

2.使学生掌握了〃=》(a#0,n是正整数)并会运用它进行计算.

3.会用科学记数法表示较小的数.

【过程与方法】

通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法

【情感态度】

简洁的内容，在形式上尽可能做到活泼，从而培养学生之间的感情，有利于

形成和发展学生的数学观念和思维方式.

【教学重点】

不等于零的数的零次幕的意义以及理解和应用负整数指数基的性质

【教学难点】

不等于零的数的零次事的意义以及理解和应用负整数指数事的性质

差瓠与15睚

一、情境导入，初步认识

在前面，我们学习过同底数累的除法公式合01011二时，有一个附加条件:

m>n,即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即

m=n或m<n时，情况怎样呢？

【教学说明】回顾相关知识，为本节课的教学做准备.

二、思考探究，获取新知

探究1:零次基

计算：

5*24-52,1034*-103,a5-?a5(a#0)

仿照同底数累的除法公式来计算，得

52-52=52-2=5°,

1034-103=103-3=10°,

a5-i-a5=a55=a°(a^O).

另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的

商都等于1.

【归纳结论】任何不等于零的数的零次幕都等于1.即：a°=l(a#0)

探究2：负整数指数寻

计算：52V55,103-?107,

一方面，如果仿照同底数幕的除法公式来计算，得

52V55=52'5=5'3,103V107=1037=104.

另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为

.Y52£!

「5-尹一-齐

107IO3X104104

【归纳结论】5-3=/,10-4=/.一般地，我们规定：(a。。，n是正

整数)

这就是说，任何不等于零的数的一n(n为正整数)次暴，等于这个数的n

次幕的倒数.

【教学说明】引导学生观察、对比两种计算方法，总结出相关结论.

探究3：科学记数法

我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次暴，

把一个绝对值大于10的数表示成axion的形式，其中n是正整数，l<|a|<10.

例如，864000可以写成8.64x105.

类似地，我们可以利用10的负整数次累，用科学记数法表示一些绝对值较

小的数，即将它们表示成axlO”的形式，其中n是正整数，1引a|V10.

三、运用新知，深化理解

1.若式子(2x-l)°有意义，求x的取值范围.解：由2x—1工0,得XH；即，当X。

；时，(2x-l)°有意义

2.计算：

(l)103X(TT-5)C-(-3)3X0.3-1

+1-121；

(2)(-a)4,(-a2)3-ra10(a#0).

323

«：(l)10+f^X(7T-5)°-(-3)

x0.3-1+I-121

=1000+302xl+27x舄)'+12

=1000+900+27Xy+12

=2002

(2)(-a)4­(-a2)3va10

=a4•(/-a6\)T.a10=-a-10-.a10=一i1

3.用科学记数法表不卜列各数.

(1)30920000(2)0.00003092

(3)-309200(4)-0.000003092

解：(1)30920000=3.092xl07

(2)0.00003092=3.092xl0"5

(3)-309200=-3.092xl05

(4)-0.000003092=-3.092xl06.

4.用小数表示下列各数.

(1)-6.23x105(2)(-2)3X10-8

解：(1)623x10-5=-0.0000623：

(2)(-2)3X108=-8X108=-0.00000008.

5.已知x+x^a,求x2+x2的值.

分析：本例考查的是负整数指数累及完全平方公式的灵活运用，显然，由

x+x"我们很难求出x,但可根据负整数指数幕的意义，把x+P及x2+x〃化为分数

形式，观察、比较两式的特点，运用完全平方公式即可求解.

解：JV+『二a,

1

x+——=a,

x

(x+—1V=a~2日E口px2+—1+r2=a~2

X

/.x2+占=a?-2即x2+x"2=a2-2

x"

【教学说明】巩固提高通过观察、灵活运用.

四、师生互动，课堂小结

.公式mnmn时，mn当时，mn

1ava=a(a#Ozm>n)Sm=na4-a=m<na4-a=

2.任何数的零次事都等于1吗？规定，"二》其中a、n有没有限制？如何限

制？

侧课后作观

1布置作业:教材"习题16.4〃中第1、2、3题.

2.完成本课时对应练习.

季敦与反思

教学中，复习嘉的有关运算性质后提出问题“事的这些运算性质中指数都要

求是正整数，如果是负数又表示什么意义呢？〃通过提问让学生寻找规律，猜想出

零指数累和负整数累的意义，不但调动了学生学习的积极性，而且使其印象更深,

当然也达到了课堂的预期效果.

章末复习

“旗教学