《高等数学下册 第3版》 习题及答案 刘金林 第8-12章 空间解几-微分方程

习题解答

习题8.1

1.设向量/n=。+2)-3c,n=-2a-^3b-Ac,用。，dc表示

2m-3«.

解；2m—3n=2(a-\-2b-3c)-3(-2a+3%-4。)=3a-5bI6c

2.把A43C的边3C四等分，分点依次是。，。2，。3,再把各分点与

点A连接.如果AB=c,BC=a,试用a,c表示向量〃A、D2A.D3A.

解：因为3C=Q,所以8D1=(,BD2

3a

=—,于是gA=-A〃=一(9+8〃)

/a、

=-(c+-),

4

同理D2A=-AD2=-(AB+BD2)=-(C+j)，

D3A=-AD,=_(43+股—节.

3.用向量方法证明：二角形两边中点的连线平行与第二边，且长度为

第三边的一半.

证明：设A8=c,AC=b,贝

2

A£=-,于是

2

BC=AC—AB=b-c,

-bc11-----

DE=AE-AD=-----=-(b-c)=-BC,

2222

所以三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半.

4.指出下列各点在直角坐标系中的哪个卦限

A(—1,2,3)；5(3,4,—2)；C(2,-4-3)；0(2-6,7).

解：4(—1,2,3)£II；3(3,4,—2)EV；

C(2,Y,-3)£VDI；D(2,-6,7)GIV.

5.指出下列各点在直角坐标系中的位置

4-3,4,0)；8(0,1,-2)；C(0-3,0)；D(-2,0,0).

解：A(—3,4,0)£x。y面；3(0,1,—2)£yOz面；

C(0,-3,0)ey轴；£>(-2,0,0)ex轴.

6.求点(a/,c)关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的

对称点的坐标.

解：(1)各坐标面：xOy面，(。,〃,一。)；y。z面，(-a,Z?,c)；zOx

面，(a,—b,c).

(2)各坐标轴：x轴，(。,一匕,—c)；)，轴,(-a,b,-c)；z轴，(一心一b,c).

(3)坐标原点：(—tz,—b,—c).

7.已知立方体的一个顶点在原点，三条棱在正的半坐标轴上，若棱长为

。，求它的其它各顶点的坐标.

解：如图立方体在xOy面内的四个点的坐标分别为z

(0,0,0),m,o,o),(。,凡0),(0,«,0)；A]——

।

与xOy面平行的平面内的四个点的坐标分别为

Z

(0,0,67),(。,0,。)，(。,4,。)，(0,4,。)；J-------

X/

8.求平行于向量。=(5,-7,J7)的单位向量.

解：向量〃的单位向量为六，故平行于向量〃的单位向量为

同

其中同=j52+(—7)2+(S)2=9.

9.已知两点=(2。1)、加2=(3,-45)，试用坐标表达式表示句

量必加2及-3MM2.

解：M.M2=(3,-4,5)-(2,0,1)=(1,-4,4),

=-3(1,7,4)=(-3,12,-12)

10.求点(2,4,-5)到各坐标轴的距离.

解：点到x轴的距离为为5)2=向;

点到)，轴的距离为隹+(-5)2=V29；

点到z轴的距离为A/22+42=275.

11.在yoz面上，求与三点4(2,1,2)、一(1,3,1)、。(0,-1,2)等距离的

点.

解：设该点为(0,y,z),根据题意

222222

^2+(l-y)+(2-z)=Jl+(3-y)+(l-z),

yjl2+(1-^)2+(2-z)2=Q。?+(一1一y)~+(2一z)2,

解上述方程组，有)，=l,z=l,故所求点为：(0,1,1).

12.试证明以三点A(4,1,9)、8(10,7,6)、C(2,4,3)为顶点的三角形

为等腰直角三角形.

证明：利用两点间的距离公式计算，可得

M寸=(10_4)2+(_]_1)2+(6_9)2=49,

|BC|2=(10-2)2+(-1-4)2+(6-3)2=98,

|C4|2=(4-2)2+(1-4)2+(9-3)2=49,

由于|A却=|C4|,|BC|2=|A@+|C4『，故AA3C是等腰直角三如形.

13.设尸(4,0,2)、Q(3,—JS,3),计算向置尸。的模、方向余弦及方向

角.

解：向量PQ=(3—4,-V2-0,3—2)=(-1,-V2,1),

|PQ|二J(T)2+(_0)2+12=2,

1々夜1

所以COS6Z=——,COSp-----------,COS/=—；

222

24八3九71

a=—,8=—,/=—.

343

14.设三个力分别是耳=(2,1,6)、耳=(—5,2,0)、E=(l,—2,石)，

它们都作用于点尸(1,1,、6),合力为F=PQ,求：(1)点。的坐标；(2)

尸。的大小；(3)尸。的方向余弦.

解：合力F为:

尸=BG=(2,1,石)+(-5,2,0)+(1,-2,75)=(-2,1,275)

(1)设点。的坐标为(％,y,z),则

(%,Mz)-(1,1,V5)=#=(-2,1,275),

因此。的坐标为(—1,2,36).

⑵闸T户卜J(—2)2+12+(26尸=5,

212

(3)cosa=——,cosff=—,cosy=—f=,

55V5

15.设向量的方向余弦分别满足(1)cos尸=0；(2)cosy=l；(3)

cos/?=cosy=0,那么这些向量与坐标轴或坐标面有什么关系？

解：(1)因为cos〃=0,所以力=工，于是向量垂直于y轴，也就是

向量平行于zOx面.

(2)因为cosy=1,所以/=0.于是向量平行于z轴正向，垂直于xOy面.

7T

(3)因cos〃=cosy=0,所以£=7=,.于是向量既垂直于)，轴，又垂

直于z轴，亦即垂直于)，Oz面，从而向量平行于x轴.

16.设向量。与轴〃的夹角为30°,且其模是6,求〃在轴〃上的投影.

解：Prj“a-|a|cos^>=6cos=3^3

17.一向量的起点在点4(2,—3,7),它在工轴，y轴和z轴上的投影依

次为-2.4和6,求该向量的终点7?的坐标.

解：设终点8的坐标为",y,z),根据题意有

x-2=-2

<y-(-3)=4,解得％=0,y=l,z=13,故3点为:(0,1,13).

z-7=6

18.设机=i—2/+5A,〃=22—3/—7上和0=7，+3)—44，求向

量〃=4机+3〃一。在工轴上的投影及在y轴上的分向量.

解：因为

a=47n+3n-p

=4(i-2j+5A:)+3(2i-3/—7A;)-(7i+3j—4A)

=3i-20j+3*

所以〃在x轴上的投影为3,在y轴上的分向量为-20j.

习题8.2

1.设a=2i+5j+Jfc,b=i—2j+5k,求

(1)。•方和。x6；(2)〃•(一3b)和3。x(—2b)；(3)a>〃夹角的

余弦.

解：(1)ah=2x1+5x(-2)4-1x5=-3,

ijk

axb=251=27i-9j-9k.

1-25

(2)a•(—3b)=—3a1=9,

3。x(-2ft)=-6(27i-9j-91)=-162i+54j+54*.

,，、、八ab-31

(3)*/cos0-~~~7=~/二—[—9

V22+52+l2712+(-2)2+52]()

2.设单位向量Q、b、。满足a+b+c=(),求a-b+乃・c+c・a.

解：因为。、》、c为单位向量，所以/=从=/=1,由〃+〃+c=0

有

0=(。+8+。)2=/+〃2+T+2(ab+bc+ca),

所以

…3

ab+bc+ca-——.

2

3.设向量a=i+j-4A,b=i-2j+2k,求

(1)。在》上的投影；(2)。在。上的投影.

解：(1)Prj8。二*lxl+lx(-2)-h(-4)x2_3

712+(-2)2+22

ab1X14-1X(-2)+(-4)X23nz

(2)Prj,b=-r-y=------/=—=--V2

同71+1+(-4)2

4.把质量为100kg重的物体从(3,1,8)沿直线移动到A/2(1，4,2),求

重力所作的功(长度单位为n】，重力方向为z轴负方向).

解：物体移动的位移为=(1—3,4—1,2—8)=(—2,3,-6),

重力尸=(0,0,-100g),于是重力所作的功w二/•陷弧=600g.

5.设向量a=(3,5,-2),b=(2,l,4),若加+/而与z轴垂直，求4和

4的关系.

解：因为

Aa+他=4(3,5,-2)+4(2,1,4)=(34+2〃,54+〃,一2>1+4〃)，

z轴单位向量为（0,0,1）.若九1+/力与z轴垂直，则有

（-22+4//）-1=0,

因此2=2//.

6.己知”］（1,一3,4）、〃2（一2,1,-1）和知3（-3,-1,1）,求与MM；、

同时垂直的单位向量.

解：=（一3,4,-5）,M2M3=（-1,-2⑵,

ijk

M,M2XM2M.=-34-5=（-2,11,10）,

-1-22

于是与用1加2、同时垂直的单位向量

,（-2,11,10）（2112）

e=±-----n~:----=±I---==±--,•—,-.

MM2H必弧J（一2）2+112+1（）2I15153J

7.已知向量OA=8i+4j+A,OB=2i-2j+4,求的面积.

解：根据向量积的定义，可知三角形的面积

1------1——

S^AR=-OAOBsinZO=-OAxOB.又

△0A822

OAxOB=841=6i-6j-24k,

2-21

于是

SA府-6j—24*|=|府+(—6)2+(—24)2=.

8.设向量。=(2,3,-1)、b=(l,-2,3)和c=(2,l,2),向量d与。,b均

垂直，且在向量c上的投影为14,求向量d.

ijk

解：・・・axb=23-1=li-7j-lk,由题意可知

1-23

d=4(〃xb)=/l(7»—7)—7A:),(其中％为待定常数)，又

.c,d2x72+1x(-7%)+2x(―72).42

Pr।d=-r-p=-----------/---------=14,由此得20=——

HVF7F7F7

所以d=一丝(7,—7,—7)=(-42,42,42).

7

9.*向量。=(9,14,16),b=(3,4,5),c=(1,2,2)是否共面?

91416

解：因为［abc\=345=0,

122

所以。，九c三向量共面.

10.利用向量证明不等式

\cify+a2b2+1-\la\+•亚：+6+b；

其中％、%、生、，、①、久为任意实数，并说明在何种条件下等号成

立.

证明：设a=（%,生，/）、b=（4,4,4）.由于a.b=M.8S。,

因此=|同例cos。］K同网

即,占+a2b2+a^\-J。；+a2+a；♦J〃：+b；+〃；.

习题8.3

1.求过点(3,2,-5)且与平面3X一2)，+72-4=0平行于的平面

方程.

解：所求平面的法向量与平面3x—2y+7z—4=0一致为

〃二(3,-2,7).根据平面的点法式方程，得

3(x-3)-2(y-2)+7(z+5)=0,

即3x—2)，+7z+30=0.

2.求过点M(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M的线段OM

垂直的平面方程.

解：因为。例二(2,9,-6),于是〃可取0M,根据平面的点法式

方程，得

2(%-2)+9(y-9)-6(z+6)=0,

即2x+9y—6z—121=0.

3.求过(2,-1,4)、(0,2,3)、(一1,3,-2)三个点的平面方程.

解：不妨假设M，加2，加3分别为(2,-L4)、(0,2,3)、(-1,3,-2),

因此所求平面的法向量可取〃=〃1知2XM}M.,而

M%=(—2,，一1)，MM=(—3,4,-6),

所以

ijk

n=-23-1=-14i-9j+A

-34-6

根据平面的点法式方程，所求平面的方程为

-14(x-2)-9(y+l)+l(z-4)=0,

即14x+9y-z-15=0.

4.指出下列各平面的特殊位置，并画出图形：

(1)y=0；(2)2x-5=()；

(3)3x-4^-12=0；(4)3x-y=0；

⑸y+2z=2；(6)x-2z=0；

(7)5x+6y-z=0

解：(1)表示xOz面；

(2)平行于yOz面的平面；

(3)平行丁z轴的平面;

(4)通过z轴的平面；

(5)平行于x轴的平面；

(6)通过y轴的平面；

(7)通过原点的平面.图形(略).

5.求平面3x—4y+5z-12=0与三个坐标面夹角的余弦.

解：平面3x—4y+5z—12=0的法向量”=(3,-4,5),rfffxOy.

yOz.xOz面的法向量分别为％=(0,0,1)、%=(1,0,0)、

%=(0,L0).因此与三个坐标面夹角的余弦分别为

|3x0+(-4)x0+5xl|_V2

coscr22222

^3+(-4)+5->/0+0^+l-2

[3x]+Dx0+5xO|3yli

C°S-"2+(_4)2+5建#+0；+02

|3x0+(-4)xl+5x02V2

cos/=

732+(-4)2+52-V02+l2+02—

6.一平面平行于向量a=(2,3,-4)和力=(1-2,0)且经过点

(1,0,-i)，求这平面方程.

解：所求平面的法向量可取“二〃义》，步以

ijk

n=23-4=-Si-4j-lk

1-20

根据平面的点法式方程，所求平面的方程为

-8(x-l)-4(y-0)-7(z+l)=0,

即8x+4y+7z—l=0.

7.求三个平面3x-z—6=0,x+y-l=0,x-3y-2z-6=0

的交点.

解：三个平面的交点也就是下面方程组的解

3

x=一

3x-z-6=02

x+y-1=0.解得vy=——，

2

x-3y-2z-6=0

3

z=—

、2

3I3

故交点为

222

8.求下列特殊位置的平面方程：

(1)平行于yoz面且经过点(2-5,3)；

解：(1)平行于yoz面的平面可设为/U+O=0,由于平面通过点

(2,-5,3),故

2A+D-0,

即O=—2A,

把上式代人所设方程，得

x-2=0.

(2)通过z轴和点(2,-4,1)；

解：(2)因为所求平面通过z轴，必然平行于z轴，故。=0；又因为

平面通过原点，所以0=0.于是可设平面方程为

Ar+By=0,

由于平面通过点(2,-4,1),故

2/1-425=0,

即A=2B,

把上式代人所设方程，得

2x+y=0.

(3)平行于y轴且经过两点(1-2,3)和(-6-2,7)；

解：(3)因为所求平面平行于)，轴，于是可设平面方程为

Ar+Cz+O=(),

由于平面经过两点(1,一2,3)和(-6-2,7),故

A+3C+O=0,

-6A+7C+O=0

47

即A=——D、C=——D,

2525

把上式代人所设方程，得

4x+7z-25=0.

9.求两平面工+>-2+1=0与2%+2)，-22-3=0之间的距离.

解：在平面x+y-z+l=0上取一点(0,0,1),利用点到平面的距离

公式，得

d_|2xQ+2xQ-2xl-3|_5_573

百+2?+(-2)22A/36.

习题8.4

1.求过点(-1,2,5)且平行于直线上r—二1=V—27—3的直线方程.

1-3-1

解：所求直线的方向向量可取为(1,-3,-1),故由对称式方程得到所求

直线为

x+1_j-2_z-5

~~T~-3

2.求过点6(2,3,1)和P2(3,-2,5)的直线方程.

解：因为向量《6=(1,-5,4)平行于所求直线，所以可取直线的方向

向量为［K,

故由对称式方程得到所求直线为

x-2y—32-1

3.求直线1'的对称式方程和参数方程.

2%+)，-2z+2=0

解：先求出直线上的一点(Xo，)'o，Zo).不妨取z0=l,代入直线方程

得

x-2y=Q

<2x+y=Q

解得/=0、%=0,即(0,0,1)是所给直线上的一点.

下面再求直线的方向向量.由于两平面的交线与这两平面的法向量

/1,=(1,-2,1).々=(2，1，-2)都垂育，所以可取育线的方向向量为

s="x%=1-21=3i+4J+5A.

21-2

因此，所给直线的对称式方程为

x-0_y-0_z-1

令口=2_，=二」二人得所给直线的参数方程为

345

x=3f,

<y=4t,

z=5t+l.

4.求过点(-1,3,-2)且与两平面x—2y+3z—4=0和

3x+2y—5z+l=0平行的直线方程.

解：因为所求直线与两平面平行，所以所求直线与两平面的法向量

n,=(1,-2,3).n2=(3,2,—5)都垂直，故直线的方向向量为

s=n}xn2=1—23=2(2i+7j4-44)

32-5

因此，所给直线的对称式方程为

x+1y—3z+2

274

L—>A-1y-5z+6.,x+2y-z+l=0

5.求直线L,：---=-----=-----与L、：的夹角.

1-321-x-y+z+2=0

解：直线乙的方向向量为4=(—3,2,1)?直线&的方向向量为

s="x%=l2-1=i-2j-3k

1-11

由两直线的夹角公式，得

「冰❷_|(-3)x1+2x(-2)+1x(-3)|_5

C0S—J(一3)2+22+/.J2+(_2y+(_3)2―1'

八5

6/=arccos—.

7

,3K+6y—32-8=0,,[^+2y-z-7=0,

6.证明直线1>与直线>平行.

2x—y—z=0[—2x+y+z—7=0

证明：直线右的方向向量为

36=-3(31+j+5k)；

Si="xn2=

2-1

直线G的方向向量为

Jk

$2=〃3X%=12-1=3i+j+5k

-211

直线G的方向向量对应成比例，故两直线平行.

3x4-y—z—13=0

7.求直线《‘与平面x—2y—z+3=0的夹角.

y+2z—8=0“

解：直线的方向向量为

ijk

s=n1xn2=31一l=3(i-2j+A)

012

平面的法向量为鹿=(1,—2,-1).由直线与平面的夹角公式，得

|lxl+(-2)x(-2)4-(-l)xl|2

sin(p=]~,'^==—,

/+(_2)2+(_1)2.2+(_2)2+『3

田.2

故69=arcsin—.

3

8.求过点(0,2,-1)且与直线\2x-y+3z-5=°垂直的平面方程.

x+2y-z+3=()

解：直线的方向向量为s可以看成平面的法向量〃，而

ijk

s=n]xn2=2-13=-5(i-j-k)

12-1

因此所求平面的方程为

l(x-0)-l(y-2)-l(z+l)=0,

即x-y-z+\=0.

9.求过点(3,1,-2)且通过直线一==£的平面方程.

解：显然点(4,-3,0)为直线上的点，也为平面内的点，因此向量

a=(4,-3,0)-(3,1,-2)=(1,-4,2)

与向量》=(5,2,1)均垂直于所求平面的法向量〃，而

n=axb=1-42=-8i+9j+22A,

521

因此所求平面的方程为

-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0,

即8x-9y-22z-59=0.

10.确定下列每一组直线与平面的关系：

(1)上^二^^=口和x—3y-3z+4=0；

3-23

解：(1)直线方向向量为s=(3,-2,3),平面法向量〃二(1,-3,-3),

且

$力=(3,—2,3)-(1,-3,-3)=0,

又直线上的点(2,-3,1)不在平面内，所以直线与平面平行.

_r—4v4-3z

⑵〒3和2…+3Z-7二。;

解：(2)直线方向向量为$=(2,-1,3),平面法向量〃=(2,—1,3),

且

sX〃=0

所以直线与平面垂直.

x-2y—2z+3

和8x—y+2z—8—0；

-125

解：(3)直线方向向量为s=(-l,2,5),平面法向量〃=(8,-1,2),

且

s・〃=(-1,2,5)-(8,-1,2)=0,

又直线上的点(2,2,-3)在平面内，所以直线在平面内.

11.求过点(1,2,1)且与两直线

x-y+z-l=O-x-y+z=0

和《7平行的平面方程.

x+2y-z+l=02尤一y+z=0

解：第一条直线的方向向量为

S1=，qx〃2=l-11=-i+2j+3A,

12-1

第二条直线的方向向量为

ijk

§2=%x%=1-1I=j+k.

2-11

而平面法向量〃既垂直与M又垂直与S2，故

ijk

n=s1xs2=-123=-i+j-k

011

因此所求平面的方程为

-l(x-l)+l(y-2)-l(z-l)=0,

即x-y+z=0.

12.设M。是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向

向量为s,证明：点M。到直线力的距离是

2_____I

MMx5=一|斗],

2[y

M()Mxs

故

同

x—2y+z—1—0

13.求点（2,-1,1）到直线的距离.

x+2y-z+3=0

解1设点（2,-1,1）与直线的垂直相交点为（%,%,z0）,则

%-2%+z。-1=°X0=-1

解得《

XO+2)，O_ZO+3=O.4=2%+2

又直线的方向向量为

S=/X吗=1-21=2(J+2*),

12-1

向量。=(2,—1,1)—(%,%为)=(3,-1一%,—1-2)，0)垂直于s,即

a-s=(3,—1—y0,—1—2yo)(O,1,2)=—3—5y0—0,

34

解得为二—二.于是z0=-,故点（2,—1,1）到直线的距离为

d=J(2+l)2+(—1+|)2+(1—[)2

解2用上题的结论.

X+y—2—]=0

14.求直线《--，在平面工+），+2-1=0上的投影直线

x-y+z+l=0

的方程.

解：过直线’的平面束方程为

/-y+z+l=0

(x+y—z—1)+4(太-y+z+1)=0,

即(1+A)x+(1-2)y+(-1+/l)z+(—l+A)=0,

其中4为待定常数.又此平面与平面x+y+z-1=0垂直的条件是

(14-2)l+(l-A)l+(-l+/l)l=0,

得至ijA=-l.

代入(1+4)x+(1—4)y+(―1++(―1+/I)=0得投影平面：

y-z-1=0

所以投影直线的方程为\y—z—l=0

x+y+z—l=0

习题8.5

1.一动点M到点B(—4,2,4)的距离是到点A(5,4,0)距离的两倍，求动

点M的轨迹方程.

解：设动点”的坐标为(x,y,z),由题意有，|M8|二2|M4|,即

7(X+4)2+(3；-2)2+(Z-4)2=27(x-5)24-(y-4)2+(z-0)2,

化简得3/+3y2+3z2-48x-28y+8z+128=0.

2.建立以点(一1,一3,2)为球心，且过点的球面方程.

解:球心(-1-3,2)到球面上点(1-1,1)的距离为

R=^(-1-1)2+(-3+1)2+(2-1)2=3

所以所求球面方程(x+l)2+(y+3)2+(z-2)2=9.

3.方程+y2+z2-2x+4y-4z-7=0表示什么曲面？

解：通过配方，原方程可化为

(x-l)24-(y+2)24-(z-2)2=42,

与球面方程比较可知，此方程表示球心在点2)、半径为4的球面.

4.将xoz坐标面上的椭圆4/+z?=9绕z轴旋转一周，求所形成的旋

转曲面的方程.

解：在方程41+z?=9中保持z不变而将x改写为±b+/，故

所求旋转曲面的方程为4x2+4产+z2=9.

5.将yoz坐标面上的抛物线z2=4y绕y地旋转一周，求所形成的旋转

曲面的方程.

解：在方程z?=4)，中保持)，不变而将z改写为土Jd+z2,故所求旋

转曲面的方程为

x2+z2=4y

6.将xoy坐标面上的双曲线9--4)3=16分别绕x轴和y轴旋转一

周，求所形成的旋转曲面的方程.

解：绕R轴旋转所形成的旋转曲面方程为9x2-4y2-4z2=16,

绕y轴旋转所形成的旋转曲面方程为9^2-4y2+9z2=16.

7.说明下列旋转曲面是如何形成的？

222222

⑴二+上+^=1；(2)二-二+二=1；

44916916

(3)x2-3y2-3z2=1；(4)(z-a)2=x2+y2.

x2z2

解：(1)xoz坐标面上的椭圆二十一=1绕Z轴旋转一周；或者

49

22

yoz坐标面上的椭圆+=1绕Z轴旋转一周.

x2

(2)xoy坐标面上的双曲线正=1绕y轴旋转一周；或者

9

)，oz坐标面上的双曲线-与+£=1绕y轴旋转一周.

(3)xoy坐标面上的双曲线-—3)°=1绕十轴旋转一周；或者

xoz坐标面上的双曲线f-3z2=1绕兀轴旋转一周.

(4)yoz坐标面上的直线z=y+a绕z轴旋转一周；或者

XOZ坐标面上的直线Z=X+4绕Z轴旋转一周.

8.下列方程在平面解析几何中与空间解析几何中分别表示什么图形?

(1)>,=1；(2)y=2x+\；

(3)~~y2=1;(4)x2+y2=9.

解：(1)平面：平行于x轴的一条直线；空间：平行于xoz坐标面的一

个平面.

(2)平面：斜率为2,通过点(0,1)的一条直线；空间：平行于z轴的一个

平面.

(3)平面：实轴在大轴上，虚轴在y轴上的双曲线；空间：母线平行于z轴

的一双曲柱面.

(4)平面：圆心在原点，半径为3的圆周；空间：母线平行于z轴的一回

柱面.

9.画出下列方程所表示的曲面

丫2v2

(1)/+(),一。尸=(2)：———=1；

94

(3)----1-z2=1；(4)y2-4z=0；

9

(5)z=-(2+x2).

解：略.

习题8.6

1.画出下列曲线的图形:

x=2z=yja2-x2-y2x2+z2=/?2

(1)；(2)2

y=ix=y/_|_y=R2

解:略.

2.下列方程组在平面解析几何中与空间解析几何中各表示什么图形:

22

>,=2x4-1Jj

(1)449

y=3x-2x=3

解：(1)平面：两条相交直线的交点；空间：平行于z轴的两相交平面

的交线.

(2)平面：实轴在x轴上，虚轴在y轴上的双曲线的右支与一平行于y轴

直线的两相交点；

空间：母线平行于z轴的双曲柱面与平行于yoz面平面的两相交直线.

3.将下列曲线的一般方程化为参数方程：

(1):+32=9

I

解：(1)将y=x代入V+3)，2+Z2=9,得4)，+Z2=9,取

y=13cosr,贝Uz=3sinf,从而得到该曲线的参数方程为

3

x=—cost,

2

3

-y=—cosr,(0<r<2^-).

z=3sinZ.

(x-l)2+y2+(z+l)2=4

z=0

解：(2)将z=(H弋入(x-l)2+y2+(z+l)2=4,得(x-l)2+y2=3,

取X=l+Gcos/,贝Ijy=百sin，，从而得到该曲线的参数方程为

x=1+6cost,

<y=6sin(0<Z<2不).

z=0.

r2+2v2+z2=9

4.分别求母线平行于x轴及），轴且通过曲线1：，一的柱

x-+厂-3z-=0

面方程.

解：消去方程组中的变量x,得V+4Z2=9,这就是母线平行于x轴

且通过曲线的柱面方程.同样消去方程组中的变量），，得7Z2-V=9,这

就是母线平行于y轴且通过曲线的柱面方程.

5.求旋转抛物面y2+z2-3x=0与平面y+z=l的交线在此少面上

的投影曲线的方程.

解：旋转抛物面和平面的交线为

[y2+z2-3x=0

C：5.

y+z=1

由上述方程组消去变量z,得至IJ2），2—2），—3R+1=0.因此交线C在xQy

面上的投影曲线为

x=8cosr,

6.已知曲线｛y=4&sin/,（0<Z<2^）,求它在三个坐标面上的

z=-472sint,

投影曲线的直角坐标方程.

解：由x=8cosf,y=4&sin/得到《尸+（志了,即

丫2v2

—+2_=i.

6432

----十------1

因此曲线在xOy上的投影曲线直角坐标方程为《6432

z=0

22

rz

由％=8cos/,z=-472sint得到(土尸+(—=尸=1，即一+—=1.因

84V26432

此曲线在M9z面上的投影曲线直角坐标方程为

x2z2,

—十—=1

6432

y=0

由y=40sinr,z=-4及sint得到曲线在yOz面上投影柱面方程包含

于平面)，+z=0内，并且-4夜后，因此曲线在yOz面上投影曲

线直角坐标方程为

X—U,

7.求上半球0VzW一/一/与圆柱体1+),2的

公共部分在X。)，面和XOZ面上的投影.

解：由图可见，所求立体为圆柱体的一部分，其在xoy面

上的投影为

x2+y2<ax,

z=0.

在xoz面上的投影为

z2+x2<a2,0<x<a,z>0

y=0.

8.求抛物面z=2x2+y2(0<z<4)在三个坐标面上的投影.

222

z=2x+y

解:联立《得到万+5i,

z=4.

故抛物面在xoy面上的投影为

联立二”;得到7

z>y\\y\<2

故抛物面在面上的投影为

x=0.

e"I2=2x2+y2/0…

联乂《，得到z=2r，

［），=0.

z>2X2,|X|<41

故抛物面在xoz面上的投影为

y=0.

习题8.7

1.指出下列各方程所表示的曲面：

v2_2

(1)x2+4y2+9z2=1；(2)x2+------=0；

49

(3)x2+y2-4z2=1；(4)x2-y2-4z2=1；

2

(5)x~4-----z=0.

4

解：(1)椭球面；(2)椭圆锥面；(3)单叶双曲面；

(4)双叶双曲面；(4)椭圆抛物面;

2.画出下列方程所表示的二次曲面图形

(1)4x2+9y2+16z2=16；(2)x2+4y2-z2=4；

(3)4x2-4y2-z2=4；(4)z=­+—；

34

(5)z2=犬+—.

4

解：略

总习题8

i.选择题

(1)设向量。，瓦c满足〃+6+c=0,则ax〃+》xc+cx。=().

A.0B.axbxcC.3(axb)D.》xc

解：由a+〃+c=O,得c=—(a+〃)，代人ax》+》xc+cxa有

«xft+ftx[-(a+6)]+[-(a+6)]xa

=axb-bxa-bxa=3(<axb).

故选(C).

x+3y+2z+1=0

(2)设直线L：4及平面7i：4x-2y+z-2=0,

2x-y-10z+3=0

则直线L().

A.平行于"B.在江上C.垂直于乃D.与万斜交.

解：直线£的方向向量