山东湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（4）理科数学试题

齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（4）理科数学试题命题：重庆一中(李红林)审题：山东临沂一中（冉祥宁）山东邹城一中（蒋雷）湖北天门中学（孙有林）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（原创，容易）设集合，，则（D）A．B．C．D．解析：，所以，选D【考点】集合运算及简单的一元二次不等式2．（原创，容易）若复数在复平面内对应的点关于直线对称，且，则复数=（C）A．B．1C．D．解析：，所以，选C【考点】复数运算及几何意义3．（改编，容易）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地．”，请问此人第5天走的路程为（D）A．36里B．24里C．18里D．12里解析：设第天走的路程里数为，可构成数列，依题意知为公比的等比数列，所以，选D【考点】等比数列的通项与求和4.（原创，容易）若满足约束条件，且，则的最大值为（C）A．1B．4C．7D．OyxCBA(1,2)解析：由题,画出可行域为如图区域，，当在处时，，选COyxCBA(1,2)【考点】线性规划5.（原创，中档）为了估计椭圆在平面内围成的面积，用随机模拟的方法由计算机设定在内随机产生10个随机数组如下表，得到10个随机点，，，则由此可估计该椭圆所围成的面积为（B）A．B．6.4C．D．编号12345678910010.21.20121.70.80.90.71.31.40.51.60.60.41.60.32解析：由图所示：正方形内包含了椭圆在一象限内的部分（包含与坐标轴的交点）022xy1验证知，，，共4个点在椭圆内，所以估算椭圆022xy1占正方形面积的，选B【考点】随机数、几何概型6．（原创，中档）一个几何体三视图如下，则其体积为（D）A．12B．8C2424234俯视图侧视图正视图432解析：在长方体中进行割补得如图几何体，为一个三棱锥（粗线画的图形），其体积，选D【考点】三视图还原及多面体体积7.（改编，中档）如图所示的程序框图，若输入，则输出的（B）把的右数第位数字赋给是否开始输入输出结束把的右数第位数字赋给是否开始输入输出结束解析：经计算得，选B【考点】算法及流程图8．（原创，中档）已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为（D）A．1B．C．D．2解析：由题，为最值点，所以最大值为2，选D【考点】三角运算及几何意义9.（原创，中档）已知直线被圆截得的弦长为，则的最大值为（A）A．B．C．D．5解析：圆心到直线的距离令所以所求最大值为，选A【考点】直线和圆，三角换元10.（原创，较难）已知中，，为线段上任意一点，则的范围是(D)A.B.C.D.解析：法1：易求得，取中点，则，当时，，当在处时，所以,选D法2：以为坐标原点，为轴、为轴建系，则，设所以选D【考点】余弦定理、平面向量的数量积及几何意义11.（原创，较难）已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，为边长为的正三角形，是以为斜边的直角三角形，且，二面角为，则球的表面积为（B）A．B．C．D．解析：作图如下：为经过外接圆圆心，为经过外接圆圆心，则为中点，取中点，则为二面角的平面角，易得，，，由余弦定理得，由正弦定理得，MCBAOO1OMCBAOO1O2D【考点】线面垂直、二面角、正余弦定理、球表面积公式12.（原创，难）已知抛物线，过焦点的弦（点在一象限），，为坐标原点，则四边形面积的最小值为（B）A.B.C.3D.4解析：设,易知，设直线由所以易知，所以当时，,选B【考点】直线与抛物线、韦达定理、导数及函数最值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13.（原创，容易）的解集为解析：答案：【考点】简单的对数不等式14.（原创，容易）一个工人准备把4件相同的货物全部搬运至仓库，每次最少搬运1件，最多搬运2件，则他不同的搬运种数为(填写准确数字)解析：分类计数：每次都搬1件——1种；1个2件，2个1件——种；2个2件——1种。共种。答案：5【考点】排列组合15.（原创，较难）的三个内角所对的边分别为，，，且，则=解析：2a2aMABC所以所以所以答案：（也可以两次应用余弦定理求解，略。）【考点】解斜三角形：正余弦定理、面积公式、平面向量基本定理16.（改编，难）函数有公切线，则实数的值为解析：分别设切点为，所以，所以公切线为（前面分母做了修改）设又答案：4【考点】导数、函数单调性及零点、均值不等式 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）（原创，容易）已知等差数列的前项和为，且，（1）求的通项公式；（2）设，数列的前n项和对任意恒成立，求实数的取值范围.解析：（1）设等差数列的首项为，公差为，则由得，…………4分所以，即…………6分（2）由（1）可得，所以…………8分…………10分易知在增，当时，所以…………12分【考点】等差数列的通项与求和、不等式恒成立18.（本题满分12分）（原创，容易）某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.编号0102030405060708091011121314151617181920吸收量(mg)683895662775106788469（1）完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？ 吸收足量吸收不足量合计植株存活1植株死亡合计20（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记为“植株死亡”的数量，求得分布列和期望；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量，求.参考数据：，其中解析：(1)由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下： 吸收足量吸收不足量合计植株存活12113植株死亡347合计15520…………………3分所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.………6分(2)①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株，存活的1株，所以抽取的3株中的可能取值是2,3.其中，………………8分的分布列为：23所以.………10分②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为 ………………12分OAOABCDP19．（本题满分12分）（原创，中档）在四棱锥中,，为等腰梯形，且，．（1）若，试确定实数的值，使；（2）若，求直线与面所成角的正弦值.解：（1）当时，证明：设，连，由，可得，所以．此时，由，，故．……6分（2）设，易得，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图的坐标系，则各点坐标为，设平面的法向量为，可得，令，解得所求二面角为，则，（公式作了修改）MzxyxxxOAMzxyxxxOABCDP【考点】立体几何：线面平行、线面角20．（本题满分12分）（原创，难）已知点及直线，若动点到直线的距离满足（1）求点的轨迹的方程；（2）设在轴上方，斜率为正的直线交轨迹于另一点，若以为圆心，为半径的圆与直线没有公共点，求直线斜率的取值范围.解析：（1）设，由题意……4分（2）设，到距离为，设则又（当椭圆右顶点，椭圆左顶点）所以设由…………6分…………8分，令………………10分所以…………12分【考点】轨迹方程、直线与圆和椭圆的位置关系、函数值域，极坐标21．（本题满分12分）（原创，难）已知函数（1）求的最小值；（2）当取得最小值时，若方程无实根，求实数的取值范围.解析：（1）（答案整体作了修正），所以在减，增此时恒成立，所以减，增 所以，此时………………4分（2）由（1），令,……………5分法1：①当时，,此时原方程无实根，适合题意.…………7分②当时，，此时原方程无实根，适合题意.…………9分③当时,，由（1）知：，自变量取可得：由，自变量取可得：，则可得：当时，，设则，又图象在连续，所以在必有零点，方程有实根，不适合题意.………11分 （或若必有零点，酌情给分.）综上方程无实根.…………12分法2：由(1)，令,……………5分①当时，,此时原方程无实根，适合题意.………7分②当时,，此时原方程无实根，适合题意.………………9分③当时，同法1，在必有零点，原方程有实根，不适合题意.……………11分综上方程无实根.…12分法3：……………6分由（1）令，则可得：（当且仅当时，取“”）在上为减函数，在上为增函数，所以时，有最小值；……………8分由，自变量取可得：由，自变量取可得：，则可得：当时，，所以……………11分所以时原方程无实根.……………12分注：其他方法酌情给分【考点】函数单调性、参数讨论、不等式恒成立、零点问题选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22．（本题满分10分）选修44：坐标系与参数方程（改编，容易）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为（1）设为参数，若，求直线的参数方程及曲线的普通方程；（2）已知直线与曲线交于，设，且依次成等比数列，求实数的值.解析：（1），将代入，得所以的参数方程为……2分由