专题1-2二次根式（考题猜想压轴大题5个考点40题专练）原卷版

专题1-2二次根式（考题猜想，压轴大题5个考点40题专练）二次根式的性质与化简分母有理化二次根式的混合运算二次根式的化简求值二次根式的应用一．二次根式的性质与化简（共12小题）1．（2023•舟山一模）观察下列各式：①，②；③，（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．2．（2022春•蓬江区校级月考）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点为点的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题：（1）点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为；（2）化简：；（8）已知为常数，点，且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是．3．（2021春•安徽期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数、，是且，则把变成开方，从而使得化简．例如：化简解：；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．4．（2021春•朝阳区校级期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点为点的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题：（1）点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为；（2）化简：；（3）已知为常数，点，且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是．5．（2022秋•吉安县期末）先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，，那么便有例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即，，由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．6．（2022秋•市中区期末）观察下列各式：请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）7．（2023春•芜湖期末）观察下列各式：；；，请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用为正整数）表示的等式：；③应用：计算．8．（2023春•太原期中）观察下列各式并按规律填空：；；（1），．（2）按此规律第个式子可以表示为．（3）并说明上面式子成立的理由．（请写出推导过程）9．（2022春•杭锦后旗期中）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：．再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：（1）化简：；（2）化简：；（3）若，且，，为正整数，求的值．10．（2021秋•沿河县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和，使且，则可变为，即变成，从而使得．化简：．．．请你仿照上例将下列各式化简：（1）；（2）．11．（2023秋•渠县校级期中）观察下列各式及验证过程：，验证；，验证，验证（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明．12．（2023春•前郭县期中）观察下面的运算，完成下列各题的解答．①判断下列各式是否成立：②根据①判断的结果，你能发现什么规律？请用含有自然数的式子将你发现的规律表示出来，并注明的取值范围．③请说明你所发现式子的正确性．二．分母有理化（共7小题）13．（2021秋•射洪市校级月考）小芳在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：，，，，，请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）化简．（2）若．①求的值；②求的值．14．（2021春•淮北期末）已知，，求：（1）的值；（2）的值．15．（2021秋•高州市校级月考）阅读下面问题：；；．试求：（1）为正整数）．（2）利用上面所揭示的规律计算：．16．（2021春•饶平县校级期末）先观察下列的计算，再完成习题：；请你直接写出下面的结果：（1）；；（2）根据你的猜想、归纳，运用规律计算：．17．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：；；．（1）求的值；（2）计算：．18．（2021春•裕华区校级期末）【知识链接】（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；的有理化因式是．（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，．【知识理解】（1）填空：的有理化因式是；（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：①；②．【启发运用】（3）计算：．19．（2021秋•安仁县校级期末）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（1）请用其中一种方法化简；（2）化简：．三．二次根式的混合运算（共7小题）20．（2020春•兴县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得，；（2）试着把化成一个完全平方式．（3）若是216的立方根，是16的平方根，试计算：．21．（2023秋•惠来县期中）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样可以把部分．的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：，；（2）找一组正整数、、、填空：；（3）化简．22．（2022春•大理市校级期中）阅读下面的问题：；；；（1）求与的值；（2）计算．23．（2022春•开州区期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：，那么，那么如何将双重二次根式，，化简呢？如能找到两个数，，使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简；例如化简：；且，由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）填空：；；（2）化简：①②（3）计算：．24．（2022秋•晋安区期末）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求的算术平方根．解：，．你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（1）（2）（3）．25．（2023•舟山二模）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：，；（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：；（3）若，且、、均为正整数，求的值．26．（2023春•宜丰县校级月考）已知，，且．试求正整数．四．二次根式的化简求值（共9小题）27．（2023春•东莞市校级期中）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．28．（2023春•麒麟区校级期中）阅读下面的问题：；；；（1）求与的值．（2）已知是正整数，求与的值；（3）计算．29．（2021春•环翠区校级期中）已知：，，求的值．30．（2021春•黄冈期中）已知，，试求代数式的值．31．（2023春•新会区校级期末）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：，，，，，．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简．（2）若．求：①求的值．②直接写出代数式的值；．32．（2023春•东莞市校级期中）已知，，求下列各式的值．（1）（2）．33．（2022秋•城关区期末）先化简，后求值：，其中．34．（2020秋•惠济区校级月考）阅读下面的文字后，回答问题．小明和小芳解答题目“先化简下式，再求值：，其中”时，得到了不同的答案．小明的解答是：原式；小芳的解答是：原式；（1）的解答是错误的．（2）错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：．35．（2023秋•天府新区期中）已知，．求：（1）的值；（2）的值．五．二次根式的应用（共5小题）36．（2023春•汤阴县期中）已知线段，，，且线段，满足．（1）求，的值；（2）若，，是某直角三角形的三条边的长度，求的值．37．（2022春•东莞市校级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．，；，；，；（1）请用含有为正整数）的等式表示上述变化规律：，．（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？（3）求出的值．38．（2022春•岳麓区校级期中）已知，均为正整数．我们把满足的点称为幸福点．（1）下列四个点中为幸福点的是；；；；（2）若点是一个幸福点，求的值；（3）已知点，是一个幸福点，则存在正整数，满足，试问是否存在实数的值使得点和点，到轴的距离相等，且到轴的距离也相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．39．（2022秋•岳麓区校级期末）小明在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将这两式相加可得，将