2025版零基础数学一轮复习第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布

第08讲二项分布与超几何分布、正态分布知识点一：伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验的定义①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.②将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为P(0<p<1),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=Cnp*(1-p)"*,k=1,2,3,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).知识点二：两点分布与二项分布的均值、方差若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p,D(X)=p(1-若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p)知识点三：超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.知识点四：正态分布(1)正态分布定义：若随机变量X的概率密度函数为,(x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数),称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,o²).(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；它无限靠近.⑤曲线与x轴之间的面积为1;当σ一定时，曲线的对称轴位置由μ确定；如下图所示，曲线随着μ的变化而沿x轴平移。(3)正态分布的3σ原则：正态分布在三个特殊区间的概率值假设X~N(μ,o²),可以证明：对给定的k∈N",P(μ-ko≤X≤μ+ko)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.上述结果可用右图表示.是一个只与k有关的定值.的值几乎总是落在区间[μ-3o,μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,o²)的随机变量X只取[μ-3o,μ+3o]中的值，这在统计学中称为3o原则.例题1.已知随机变量X服从二项分布则P(X=2)=(例题2.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2(2)求乙正确完成面试题数7的分布列及其期望.(1)解：由题意得：设甲正确完成面试的题数为ξ,则ξ的取值范围是{1,2,3}.(2)设乙正确完成面试的题数为η,则7取值范围是{0,1,2,3}.应聘者乙正确完成题数7的分布列为70123P题型归类练1.若随机变量X服从二项分布,则P(X=4)=【答案】【详解】依题意，(1)求甲投球2次，命中1次的概率；(2)若乙投球3次，设命中的次数为X,求X的分布列.【答案】(1)(2)答案见解析.【详解】解：(1)设“甲投球一次命中”为事件则故甲投球2次命中1次的概率为X0123P例题1.如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X,则P(X≥1)=()【详解】法一：由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,法二：由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,例题2.一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球.(1)求取出的3个球恰有一个红球的概率；(2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列.【答案】(1设取出的3个球恰有一个红球为事件A,则X012P成绩转化为百分制，从中随机抽取了100名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照(40,50),(50,60),(60,70),(70,80),(80,90),[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.频率频率组距0405060708090100成绩(分)(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这100名学生成绩的中位数；(2)在这100名学生中用分层抽样的方法从成绩在(70,80),[80,90],[90,100]的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在(80,90)的人数，求X的分布列和数学期望；【详解】(1)由题可知，10×(0.006+0.024+0.040+0.015+m+0.006)=1,解得m=0.009.(2)依题意，(70,80),(80,90),[90,100]三组的频率为0.15,0.09,0.06,所以(70,80),(80,90),[90,100]三组抽取的人数为5,3,2,所以在这10人成绩在(80,90)的有3人，不在的有7人，X0123P题型归类练现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求：【详解】(1)设甲测试合格为事件A,则(2)甲答对的试题数X可以为0,1,2,3,X0123P2.某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生.推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列.高一高二共推荐6名男生和6名女生，所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为所以X的分布列为X123P1-5315115题型：正态分布例题1.随机变量X的概率分布密度函其图象如图所示，设P(X≥2)=p,则图中阴影部分的面积为()A.pB.2p【详解】解：由题意可知X~N(1,o²),则P(X≤0)=P(X≥2)=p,(1)试估计这100名学生得分的平均数；(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90,100]的人数为ξ,试求ξ的分布列和数学期望；(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布N(μ,o²),其中μ近似为样本平均数，σ²近似为样本方差s²,经计算s²=42.25.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少?参考数据：P(μ-σ<X≤μ+o)=0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2o)=0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.99【详解】(1)解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数x=(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5.解：参加座谈的11人中，得分在[90,100]的有所以ξ的可能取值为0,1,2,所以所以ξ的分布列为ξ012P得分高于77分的人数最有可能是317.题型归类练【详解】解：由题意，随机变量服从正态分布N(2,o²),所以μ=2,即图象的对称轴为x=2,由频率分布直方图可知组距=10,第三组频数为40,总共有100人，则第三组频,根据频率之和为1,可知第4组的频率为1-0.1-0.25-0.4-0.1=0.15,s²=(50-69)²×0.1+(60-69)²×0.25+(70-69)²×0.4+(80-69)²×0.15+(90-69)²×0.1=19²×0.1+9² A.P(X=1)=P(X=3)B.P(X=2)=2P(X=1)C.P(X=2)=P(X=3),因此有P(X=3)=4P(X=1).故选D.4.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村A.P(X=2)C.P(X=4)5.已知圆x²+y²-2x-8y+13=0的圆心到直线kx+y-1=0(k∈Z)的距离为2√2,若,则使圆心到直线hx+y-1=0(k∈Z)的距离为2√2,解得或k=1.6.(多选题)某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,若罚球10次，各次之间相互独立，其中命中的次数为X,则下列结论正确的是()A.P(X=k)=0.8*×0.21⁰-kB.P(X=k)=C₀0.8*×0.2¹⁰-k【详解】每次罚球之间相互独立，则罚球次数X~B(10,0.8),7.(多选题)下列说法正确的是()A.若随机变量7的概率分布列为),则B.若随机变量X~N(2,o²)且P(X≤4)=0.8,则P(X≤0)=0.2D.在含有3件次品的9件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则【答案】AB对于B选项，若随机变量X~N(2,o²)且P(X≤4)=0.8,8.福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一.纸伞的制作工序大