福建省长乐中学2025届高三适应性调研考试数学试题含解析

福建省长乐中学2025届高三适应性调研考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知函数，，若成立，则的最小值为（）A．0 B．4 C． D．3．抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为，则直线的方程为（）A． B． C． D．4．为计算，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）A． B． C． D．5．复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．7．复数满足(为虚数单位),则的值是()A． B． C． D．8．设，则（）A． B． C． D．9．若点是角的终边上一点，则（）A． B． C． D．10．设，，则的值为（）A． B．C． D．11．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（）.A． B． C． D．12．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛，则出场的两名运动员编号相同的概率为______.14．已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为________.15．（5分）已知函数，则不等式的解集为____________．16．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之________．“我身边的榜样”评选选票候选人符号注：1．同意画“○”，不同意画“×”．2．每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票．甲乙丙三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若方程有两个实根，且，求证：.18．（12分）等差数列的前项和为，已知，.（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.19．（12分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.20．（12分）已知为各项均为整数的等差数列，为的前项和，若为和的等比中项，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求最大的正整数，使得.21．（12分）如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面，且平面平面，为中点.（1）证明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.22．（10分）已知函数().（1）讨论的单调性；（2）若对，恒成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.【详解】当时，函数在上单调递减，所以，的递增区间是，所以，即.故选:B.【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.2、A【解析】

令，进而求得，再转化为函数的最值问题即可求解.【详解】∵∴（），∴，令：，，在上增，且，所以在上减，在上增，所以，所以的最小值为0.故选：A【点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示和是本题的关键，属于中档题.3、A【解析】

设，，利用点差法得到，所以直线的斜率为2，又过点，再利用点斜式即可得到直线的方程.【详解】解：设，∴，又，两式相减得：，∴，∴，∴直线的斜率为2，又∴过点，∴直线的方程为：，即，故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．4、A【解析】

根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容．【详解】由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜1．故选：A．【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．5、B【解析】

利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【详解】解：，则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：，位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.6、B【解析】

由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直．∴双曲线的渐近线方程为．，得．则离心率．故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.7、C【解析】

直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】由得：本题正确选项：【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．8、D【解析】

结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案.【详解】由,即,又,即,,即,所以.故选:D.【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.9、A【解析】

根据三角函数的定义，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，点是角的终边上一点，根据三角函数的定义，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、D【解析】

利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.【详解】，，，，，，，，故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.11、C【解析】

易得，，又，平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，所以，又，故，，，所以，即，故离心率为.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.12、A【解析】

由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．则几何体的体积为．故选：．【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

出场运动员编号相同的事件显然有3种，计算出总的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案.【详解】甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，出场的两名运动员编号相同的事件数为3，出现的基本事件总数，则出场的两名运动员编号相同的概率为.故答案为：【点睛】本题考查求古典概率的概率问题，属于基础题.14、【解析】

由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.【详解】原问题等价于，当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；综上，满足条件的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.15、【解析】

易知函数的定义域为，且，则是上的偶函数．由于在上单调递增，而在上也单调递增，由复合函数的单调性知在上单调递增，又在上单调递增，故知在上单调递增．令，知，则不等式可化为，即，可得，又，是偶函数，可得，由在上单调递增，可得，则，解得，故不等式的解集为．16、91【解析】

设共有选票张，且票对应张数为，由此可构造不等式组化简得到，由投票有效率越高越小，可知，由此计算可得投票有效率.【详解】不妨设共有选票张，投票的有，票的有，票的有，则由题意可得：，化简得：，即，投票有效率越高，越小，则，，故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为．故答案为：.【点睛】本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）根据题意，在上单调递减，求导得，分类讨论的单调性，结合题意，得出的解析式；（2）由为方程的两个实根，得出，，两式相减，分别算出和，利用换元法令和构造函数，根据导数研究单调性，求出，即可证出结论.【详解】（1）根据题意，对任意两个不等的正实数，都有恒成立.则在上单调递减，因为，当时，在内单调递减.，当时，由，有，此时，当时，单调递减，当时，单调递增，综上，，所以.（2）由为方程的两个实根，得，两式相减，可得，因此，令，由，得，则，构造函数.则，所以函数在上单调递增，故，即，可知，故，命题得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能力和计算能力.18、（Ⅰ），（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案.（Ⅱ），根据裂项求和法计算得到得到证明.【详解】（Ⅰ）等差数列的公差为，由，得，，即，，解得，.∴，.（Ⅱ），∴，∴，即.【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.19、（1）；（2）【解析】

（1）根据题意直接计算得到，，得到椭圆方程.（2）不妨设，且，设，代入数据化简得到，故，得到答案.【详解】（1），所以，，化简得，所以，，所以方程为；（2）由题意得，不在轴上，不妨设，且，设，所以由，得，所以，由，得，代入，化简得：，由于，所以，同理可得，所以，所以当时，最小为【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、（1）（2）1008【解析】

（1）用基本量求出首项和公差，可得通项公式；（2）用裂项相消法求得和，然后解不等式可得．【详解】解：（1）由题得，即解得或因为数列为各项均为整数，所以，即（2）令所以即，解得所以的最大值为1008【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，考查裂项相消法求数列的和．在等差数列和等比数列中基本量法是解题的基本方法．21、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）分别取，的中点，，连接，，，，，要证明平面，只需证明面∥面即可.（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，分别计算面的法向量，面的法向量可取，并判断二面角为锐角，再利用计算即可.【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，，.由平面平面，且交于，平面，有平面，由平面平面，且交于，平面，有平面，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，由，有，∥，又平面，平面，所以∥平面，由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系由面，所以面的法向量可取，点，点，点，，，设面的法向量，所以，取，二面角的平面角为，则为锐角.所以【点睛】本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查学生的运算能力，在做此类题时，一定要准确写出点的坐标.22、（1）①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在上单调递增；（2）.【解析】

（1）求出函数的定义域和导函数，，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一:由得，分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得，可得的范围;法二:由得，化为令()，研