2024-2025学年贵州省贵阳市乌当区高二上学期期中数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年贵州省贵阳市乌当区高二上学期期中数学质量检测试题考试范围：选择性必修一第一章至第三章（椭圆）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（每题5分，共计40分）1．若a=(−1,2,1),b=(1,2,A．4 B．5 C．21 D．262．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列命题中，不正确的命题是（

）A．空间中任意两个向量一定共面B．若，则存在唯一的实数，使得C．对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面D．若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底4．阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率π三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为4π，F1，F2A．3 B．2 C．215 D．5．如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（

）A． B．C． D．6．设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．7．设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（

）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定8．已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．二、多选题（每题6分，有错不给分，漏选得3分，共计18分）9．已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（

）A．当时，过坐标原点B．当时，的倾斜角为锐角C．当时，和轴平行D．若直线过点，直线的方程可化为10．已知，，，，则（

）A． B．直线AB的一个方向向量为C．四点共面 D．点到直线的距离为11．已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点B．直线与圆恒相交C．的最小值为D．若点在圆上，则的最小值是三、填空题（每题5分，共计15分）12．已知两条平行直线l1：2x+y+1=0，l2：ax+2y+c=0间的距离为25，则13．椭圆的长轴长为12，且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的标准方程为.14．已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若为等腰三角形，则C的离心率为．四、解答题15．（13分）如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点．(1)求证：EF//平面ABCD；(2)求直线DE，BF所成角的余弦值．16．已知点M(−2,6)，(1)求直线MN的一般式方程；(2)求以线段MN为直径的圆的标准方程；(3)求（2）中的圆在点P(617．（15分）求适合下列条件的曲线的标准方程：(1)已知动点Px,y到定点Fc,0的距离和P到定直线l：x=a2c的距离的比是常数ca(2)长轴长为8，短轴长为4；18．（17分）如图，在等腰梯形中，，，，为AD中点，点，分别为，DE的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；19．（17分）已知椭圆E：的短轴长为2，且离心率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程.2024-2025学年贵州省贵阳市乌当区高二上学期期中数学质量检测试题考试范围：选择性必修一第一章至第三章（椭圆）；钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若a=(−1,2,1),b=(1,2,A．4 B．5 C．21 D．26【正确答案】A【难度】0.85【来源】四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题【知识点】空间向量的坐标表示、空间向量的坐标运算【分析】先得到a+【详解】因为a=(−1,2,1),所以a+则(a故选：A2．若l1:x−my−1=0与l2:m−2x−3y+1=0是两条不同的直线，则“A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】C【难度】0.65【来源】贵州省铜仁市第八中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数【分析】利用两直线平行解出m的值即可.【详解】由题意，若l1∥l2，所以1×−3经检验，m=−1或m=3时，l1则“m=−1”是“l1故选：C．3．下列命题中，不正确的命题是（

）A．空间中任意两个向量一定共面B．若a∥b，则存在唯一的实数λC．对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA−4OB+3OC，则P，D．若a,b,c是空间的一个基底，【正确答案】B【难度】0.85【来源】广东省佛山市顺德区容山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题【知识点】空间向量共线的判定、判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析【分析】根据共面向量、向量平行、四点共面、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，空间中任意两个向量可以通过平移的方法平移到同一个平面，所以空间中任意两个向量一定共面，A选项正确.B选项，若a∥b，可能a是非零向量，此时不存在λ，使a=λC选项，对于OP=2OA−4OB+3所以C选项正确.D选项，若a,b,假设m=xa+y则a,b,所以a,故选：B4．阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率π三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为4π，F1，F2A．3 B．2 C．215 D．【正确答案】C【难度】0.94【来源】湖南省部分学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的焦点、焦距【分析】先通过PF1+PF2=【详解】根据题意可得abπ=4因为PF1+PF所以椭圆C的焦距为：2c=2故选：C.5．如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点A．x=−12,y=C．x=−12,y=−【正确答案】A【难度】0.85【来源】贵州省铜仁市第八中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】根据题意，得；BE==又∵∴x=−故选：A6．设m为实数，若方程x22−m+y2m−1=1A．32<m<2 C．1<m<2 D．1<m<【正确答案】D【难度】0.65【来源】广东省深圳市翠园中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可.【详解】x22−m+y2m−1=1故选：D7．设a,b为实数，若直线ax+by=2与圆x2+y2=1A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定【正确答案】B【难度】0.85【来源】湖北省宜昌市第一中学、荆州中学2024-205学年高二上学期十月联考数学试卷【知识点】判断点与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数【分析】由直线ax+by=2与圆x2+y【详解】因ax+by=2与圆x2+y则Pa,b到圆心的距离为a2+故选：B8．已知动圆过点A−1,0，并且在圆B:(x−1)2A．x23+y22=1 B．【正确答案】C【难度】0.65【来源】河北省张家口市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、求平面轨迹方程、利用椭圆定义求方程【分析】设动圆圆心为P(x,y)，半径为R，根据两圆位置关系得到(x+1)2【详解】设动圆圆心为P(x,y)，半径为R因为圆B:(x−1)2+y2由题有r−R=PB，又动圆过点A−1,0，得即(x+1)2+y2+(x−1)2由椭圆的定义可知，点P(x,y)在以F1(−1,0),F因为a=2,c=1，得到b2=4−1=3，所以动圆圆心的轨迹方程为故选：C.二、多选题9．已知直线l:Ax+By+C=0，其中A,B不全为0，则下列说法正确的是（

）A．当C=0时，l过坐标原点B．当AB>0时，l的倾斜角为锐角C．当B=0,C≠0时，l和x轴平行D．若直线l过点P(x0,y【正确答案】AD【难度】0.85【来源】贵州省贵阳市2023-2024学年高二上学期11月普通高中质量监测数学试卷【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化【分析】选项A，原点坐标适合直线方程；选项B，化为斜截式方程可得斜率为负，倾斜角为钝角；选项C，方程变形为x=−CA可知；选项D，由直线l过点P(x【详解】选项A，当C=0时，x=0y=0是方程Ax+By=0即l过坐标原点，故A正确；选项B，当AB>0时，直线l:Ax+By+C=0的方程可化为y=−A则直线的斜率k=−AB<0选项C，当B=0,C≠0时，由A,B不全为0，A≠0，直线l:Ax+By+C=0的方程可化为x=−C故直线l和x轴垂直，不平行，故C错误；选项D，直线l过点P(x0,可得C=−Ax0−B得Ax+By−Ax0−B故选：AD.10．已知A1,8,11，B2,6,9，C3,4,10，DA．AB=3 B．直线AB的一个方向向量为C．A,B,C,D四点共面 D．点C到直线AB的距离为5【正确答案】ACD【难度】0.65【来源】云南省2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题【知识点】空间位置关系的向量证明、点到直线距离的向量求法【分析】用空间点的距离公式求得向量的模长，直线上两点的得到向量即为直线的一个方向向量；向量共线即可判断点共面；直线上一点和直线外的点组成的向量的模长即该向量在直线上的投影与该点到直线的距离满足勾股定理，由此算出点到直线的距离.【详解】AB=AB=由题意得CD=−2,4,4，则CD=−2AC=2,−4,−1，AC=4+16+1=21，AC⋅AB故选：ACD.11．已知圆M:(x−3)2+(y−4)2=4，直线l:mx−y−2m+3=0，直线l与圆M交于A．直线l恒过定点2,3B．直线l与圆恒相交C．AC的最小值为2D．若点a,b在圆M上，则a2+【正确答案】ABD【难度】0.65【来源】重庆市字水中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（I卷）【知识点】直线过定点问题、定点到圆上点的最值（范围）、判断直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求距离的最值【分析】结合直线与圆的方程以及直线与圆的位置关系相关知识点对选项逐一分析判断即可.【详解】对于选项A，直线l:mx−y−2m+3=0⇔m(x−2)−y+3=0，可得当x=2,y=3时方程恒成立，即直线l恒过定点2,3，故A正确；对于选项B，因为直线l恒过定点2,3，根据圆M的标准方程可得，(2−3)2+(3−4)2=2<4，所以点(2,3)故B正确；对于选项C，如图所示，设(2,3)为点P，则|PM|=(4−3)当直线l于MP的连线垂直时，AC取得最小值，此时由圆的弦长公式可得，AC=2故C错误；对于选项D，a可将其看成点(a,b)到点(0,1)距离的平方再减1，由于(a,b)是圆上的点，如图所示，E(0,1)，连结ME，则ME于圆的交点即为P(a,b),此时|PE|取得最小值(3−0)2故此时a2+b故D正确.故选：ABD.三、填空题12．已知两条平行直线l1：2x+y+1=0，l2：ax+2y+c=0间的距离为25，则【正确答案】−14或【难度】0.85【来源】贵州省2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离【分析】可先通过两直线平行求出参数a，接着将两直线的变量系数化为一致，再利用距离公式求解即可.【详解】因为l1//l2，所以则l2：4x+2y+c=0，可化直线l1为所以l1与l2的距离为c−242则a+c=−14或a+c=13．椭圆C的长轴长为12，且与椭圆x26+y2【正确答案】x【难度】0.85【来源】广东省深圳市翠园中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的焦点、焦距【分析】首先根据已知椭圆方程求出焦点坐标，并确定焦点位置和c的值，再根据长轴长求得a的值，最后根据a，b，c的关系求解椭圆方程即可【详解】根据已知椭圆方程x26+y24=1由于椭圆C的长轴长为12，因此得：2a=12，即a=由于b2=a2−故x14．已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若△ABF为等腰三角形，则C的离心率为．【正确答案】−1+【难度】0.85【来源】河北省唐山市2024-2025学年高三上学期摸底演练数学试题【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】利用椭圆的性质计算即可.【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2ca>0,b>0,c>0则a2=b所以AB=显然若△ABF为等腰三角形，则只能有AB=即a2则1−2c故−1+四、解答题15．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，(1)求证：EF//平面ABCD；(2)求直线DE，BF所成角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)45【难度】0.85【来源】贵州省铜仁市第八中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题【知识点】证明线面平行、共面直线夹角的向量求法【分析】（1）根据平行线的传递先证明线线平行，继而证明线面平行；（2）以D为坐标原点，向量DA，DC，DD1方向分别为x，y，【详解】（1）证明：如图连B∵几何体ABCD−A∴EF∥∴EF∥BD∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊂平面ABCD∴EF//平面ABCD（2）解：以D为坐标原点，向量DA，DC，DD1方向分别为x，y，令AB=2，可得点D的坐标为0,0,0，点E的坐标为0,1,2，点F的坐标为1,2,2，点B的坐标为2,2,0，BF=−1,0,2DE，BF所成角的余弦值为cos16．已知点M(−2,6)，(1)求直线MN的一般式方程；(2)求以线段MN为直径的圆的标准方程；(3)求（2）中的圆在点P(6【难度】0.85【来源】福建省部分达标学校2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试题【知识点】直线的一般式方程及辨析、由圆心（或半径）求圆的方程、过圆上一点的圆的切线方程【分析】（1）利用两点式求出直线斜率，然后利用点斜式方程求解即可；（2）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；（3）先求得切线的斜率，代入点斜式直线方程，即可求解.【详解】（1）直线MN的斜率为6−则直线MN的方程为y−6=−2（2）由题意可知圆心C为线段MN的中点，即C2半径r=−2−故所求圆的标准方程为x−2（3）直线CP的斜率为6−06−故所求的切线方程为y−6=317．求适合下列条件的曲线的标准方程：(1)已知动点Px,y到定点Fc,0的距离和P到定直线l：x=a2c的距离的比是常数ca(2)长轴长为8，短轴长为4；【正确答案】(1)x2a2+y2b2【难度】0.85【来源】河北省邯郸市大名县第一中学等校2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题【知识点】轨迹问题——椭圆、根据双曲线过的点求标准方程【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得曲线C的标准方程.【详解】（1）依题意，x−c2+两边平方得化简的a2−c2x2整理得x2（【详解】（2）根据题意，若焦点在y轴上，长轴长为8，短轴长为4，即2a=8，2b=则有a=4，b=2，故要求椭圆的标准方程为若焦点在x轴上，长轴长为8，短轴长为4，即2a=8，2b=则有a=4，b=2，故要求椭圆的标准方程为18．如图，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，BC=12AD=2，∠A=60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点，将△ABE沿BE折起到△A

(1)求证：BE⊥平面A1(2)求直线A1B与平面【正确答案】(1)证明见解析(2)15【难度】0.65【来源】上海市洋泾中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法【分析】（1）通过证明