数学自我小测：不等式的实际应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．如图所示，P是球O的直径AB上的动点，PA＝x，过P点且与AB垂直的截面面积记为y，则y＝f（x)的大致图象是（）解析：不妨设球的半径为R（常数)．∵PA＝x，∴OP＝R－x．∴截面圆的半径r＝eq\r（R2－(R－x）2)＝eq\r（2Rx－x2）．∴y＝πr2＝2πRx－πx2(0≤x≤R),故选A．2．乘某种出租车,行程不足4千米时，车票10.40元，行程不足16千米时,大于或等于4千米的部分，每0.5千米车票0。8元，计程器每0.5千米计一次价．例如当行驶路程x（千米）满足12≤x≤12。5时，按12。5千米计价；当12．5≤x＜13时，按13千米计价．若某人乘车从A到B共付费28元，则从A地到B地行驶的路程m(千米)满足（)A．10.5≤m＜11B．11≤m＜11。5C．14.5≤m＜15D．15≤m＜15.53．一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元)之间有如下关系:y＝－2x2＋220x．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产摩托车数量的范围为(）A．{x｜41≤x≤49，x∈N}B．｛x｜51≤x≤59，x∈N}C．{x|61≤x≤69，x∈N}D．｛x｜71≤x≤79，x∈N}4．某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号彩电降价，有四种降价方案:方案（1）：先降价a％，再降价b%；方案（2）：先降价b％，再降价a％；方案（3）：先降价eq\f(a＋b,2)％,再降价eq\f（a＋b，2)％；方案（4)：一次性降价(a＋b）％．其中a〉0,b〉0，a≠b，上述四种方案中,降价幅度最小的是（)A．方案（1）B．方案（2)C．方案（3）D．方案（4)5．用长度分别为2，3，4，5，6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断）,能够得到的三角形的最大面积为()A．85cm2B．6eq\r(10)cm2C．3eq\r（55)cm2D．20cm26．某家庭用14。4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第n年维修费用约为0。2万元，每年其他费用为0。9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在______年后报废损失最小．7．定义域为［－1，1]的函数f(x）＝kx＋2k＋1，其值域既有正数也有负数，则实数k的取值范围是______．8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝______吨．9．某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额的范围/元[200，400)［400，500)［500，700）［700,900）…获得奖券的金额/元3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，购买标价为400元的商品,则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0．2＋30＝110（元）．设购买商品得到的优惠率＝eq\f（购买商品获得的优惠额，商品的标价)．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[500，800］（元）内的商品,顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于eq\f（1，3）的优惠率？10．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度eq\b\lc\(\rc\（\a\vs4\al\co1（,，，，）)含污物体的清洁度的定义为：1－eq\f(污物质量,物体质量（含污物）)eq\b\lc\\rc\）（\a\vs4\al\co1（，，，,))为0。8，要求清洗完后的清洁度是0．99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3)．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是eq\f(x＋0.8,x＋1）(x＞a－1），用y质量的水第二次清洗后的清洁度是eq\f（y＋ac，y＋a），其中c（0．8＜c＜0．99）是该物体初次清洗后的清洁度．（1)分别求出方案甲以及c＝0．95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少；（2）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量的影响．

参考答案1．答案:A2．解析：可以根据条件首先判断出m的大致范围，然后代入验证即可．当m＝15时，付费10。40＋（15－4）×2×0。8＝28元．故选D．答案：D3．解析：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车．根据题意，得－2x2＋220x＞6000．移项整理，得x2－110x＋3000＜0．因为＝100＞0，所以方程x2－110x＋3000＝0有两个实数根x1＝50，x2＝60．由二次函数y＝x2－110x＋3000的图象得不等式的解集为50＜x＜60．因为x只能取整数值，所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在｛x｜51≤x≤59，x∈N｝内时,这家工厂能够获得6000元以上的收益．答案：B4．解析：设原来的价格为1，按四种方案降价后的价格分别为:方案(1):(1－a％）(1－b%），方案（2）：（1－b%）（1－a%)，方案(3）：eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（a＋b,2)％）)2，方案（4)：1－(a＋b)%．很明显（1－a％)(1－b%)＝(1－b％）(1－a％)<eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1－a%＋1－b％，2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（a＋b，2)%））2．又eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(a＋b，2)%）)2－［1－（a＋b)%］＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a＋b，2)％))2>0，∴按方案（3)降价后的价格最高．故降价幅度最小的是方案（3)．答案:C5．解析:设三角形各边长为x，y，z,且x,y，z∈N＋,则x＋y＋z＝20．由于在周长一定的三角形中，各边长越接近的三角形面积越大，于是当三边长为7cm，7cm,6cm时面积最大，则S＝eq\f(1,2）×6×eq\r（72－32）＝6eq\r(10)(cm2),故选B．答案：B6．解析：年平均值eq\x\to(y）＝eq\f(14。4＋0。9n＋0。2(1＋2＋…＋n)，n)＝eq\f(14.4,n）＋0．1n＋1≥3．4，当且仅当eq\f(14。4，n)＝0．1n，即n＝12时，年平均值最小,所以12年后报废损失最小．答案：127．解析：由已知可得f（x)＝kx＋2k＋1是单调函数，其值域既有正数也有负数，应有f（－1）·f(1）＜0，且k≠0，即（k＋1)(3k＋1)＜0，且k≠0．所以－1＜k＜－eq\f（1,3)．答案:eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－1,－\f（1，3）））8．解析:某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨，则需要购买eq\f(400,x）次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（\f(400，x）·4＋4x）)万元，而eq\f（400,x)·4＋4x≥160，当且仅当eq\f（1600,x)＝4x，即x＝20时,一年的总运费与总存储费用之和最小．答案：209．解：(1）eq\f（1000×0。2＋130,1000）＝33％．（2）设商品的标价为x元，则500≤x≤800，消费额：400≤0．8x≤640．由已知，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(0。2x＋60，x）≥\f（1，3），,400≤0.8x<500))①或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0。2x＋100,x）≥\f(1，3)，,500≤0。8x≤640.))②不等式组①无解，不等式组②的解集为625≤x≤750．因此，当顾客购买标价在[625,750]元内的商品时，可得到不少于eq\f(1,3）的优惠率．10．解：(1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有eq\f（x＋0.8，x＋1)＝0．99，解得x＝19．由c＝0．95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程:eq\f(y＋0.95a,y＋a）＝0．99，解得y＝4a,故z＝4a＋3．即两种方案的用水量分别为19与4a＋3．因为当1≤a≤3时，x－z＝4(4－a)＞0，即x＞z，故方案乙的用水量较少．（2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（1)得x＝eq\f(5c－4，5（1－c)），y＝a（99－100c）．(*)于是x＋y＝eq\f（5c－4,5(1－c））＋a（99－100c)＝eq\f(1,5（1－c)）＋100a（1－c）－a－1．当a为定值时，x＋y≥2eq\r(\f（1，5(1－c））×100a(1－c））－a－1＝－a＋4eq\r(5a)－1．当且仅当eq\f(1,5(1－c))＝100a（1－c)时等号成立．此时c＝1＋eq\f(1，10\r(5a))(不合题意，舍去)或c＝1－eq\f(1，10\r(5a)）∈(0．8，0．99)．将