数学课堂探究：随机数的含义与应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究1．古典概型与几何概型的异同剖析:古典概型与几何概型都是概率类型的一种，它们的区别在于：古典概型的基本事件数为有限个，而几何概型的基本事件数为无限个；共同点在于：两个概型都必须具备等可能性，即每个结果发生的可能性都相等．判断一次试验是否是古典概型，有两个标准来衡量:一是试验结果的有限性，二是试验结果的等可能性，如果这两个标准都符合，则这次试验是古典概型，否则不是古典概型;判断一次试验是否是几何概型有三个标准：一是试验结果的无限性，二是试验结果的等可能性,三是可以转化为求某个几何图形测度的问题．如果一次试验符合这三个标准，则这次试验是几何概型．这两种概率模型的本质区别是试验结果的种数是否有限．2．基本事件的选取对概率的影响剖析:先比较以下两道题:(1）在等腰Rt△ABC中,在斜边AB上任取一点M，求AM＜AC的概率．(2)在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M,求AM＜AC的概率．这两道题虽然都是在等腰Rt△ABC中求AM＜AC的概率，但题干明显不同，题目（1)是“在斜边AB上任取一点M”,而题目(2）是“在∠ACB内部任作一条射线CM”,其解答分别如下：（1)在AB上截取AC′＝AC,于是P（AM＜AC）＝P(AM＜AC′）＝eq\f(AC′，AB)＝eq\f（AC，AB）＝eq\f（\r（2）,2）。（2）在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的．在AB上取AC′＝AC，则△ACC′是等腰三角形,且∠ACC′＝eq\f（180°－45°，2)＝67.5°，故满足条件的概率为eq\f（67。5°，90°）＝0。75。由此可见，背景相似的问题，当基本事件的选取不同，其概率是不一样的．题型一与“长度"有关的几何概型【例1】某公共汽车站每隔15min有1辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,求1个乘客到达车站后候车时间大于10min的概率．分析:把时刻抽象为点，时间就抽象为线段，故可用几何概型求解．解：设上一辆车于时刻T1到达,而下一辆车于时刻T2到达,线段T1T2的长度为15,设T是线段T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10。如图所示．记候车时间大于10min为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上时，事件A发生，设区域D的测度为15，则区域d的测度为5.所以.答：候车时间大于10min的概率是。反思在求解与长度有关的几何概型时,首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段,然后找到事件A发生对应的区域d。在找d的过程中，确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件A的概率。题型二与“面积"有关的几何概型【例2】甲、乙两人约定上午7:00到8：00之间到某个汽车站乘车，在这段时间内有3班公共汽车，开车的时刻分别为7:20，7：40，8：00，如果他们约定，见车就乘,则甲、乙两人乘同一班车的概率为（）A.eq\f(1,2)B.eq\f（1，4）C。eq\f(1,3)D.eq\f（1，6）解析：设甲到达汽车站的时刻为x,乙到达汽车站的时刻为y,则7≤x≤8,7≤y≤8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中是大正方形(如图所示)．将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一辆车，必须满足7≤x≤7，7≤y≤7；7≤x≤7，7≤y≤7;7≤x≤8，7≤y≤8，即(x，y）必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的概率计算公式得P＝eq\f(\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,3）)）2×3,12)＝eq\f（1，3）.答案：C反思本题的关键首先要理解好题意，将其归结为面积型几何概型，而不是长度型几何概型．另外一定要认真审题，根据题意画出图形．本题中将甲、乙两人到达车站的时刻作为坐标，在坐标系中将汽车的到站时刻,甲、乙两人的到站时刻分别表示出来，就可以直观地发现它们之间的关系，找出两人乘同一辆车的区域，然后计算面积，代入公式求得结果。题型三与“体积”有关的几何概型【例3】已知正三棱锥S。ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M,试求点M到底面的距离小于eq\f(h，2）的概率．分析：首先作出到底面距离等于eq\f（h,2)的截面,然后再求这个截面的面积，进而求出有关体积．解：如图所示，在SA，SB，SC上取点A1,B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA,SB，SC的中点，则当点M位于面ABC和面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于。设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1,且相似比为2，得△A1B1C1的面积为由题意，区域D的体积为区域d的体积为。∴P=。∴点M到底面的距离小于的概率为.反思解与体积有关的几何概型时要注意:(1)寻求区域d在区域D中的分界面，但要明确是否含分界面不影响概率大小．（2)每个基本事件的发生是“等可能的”．(3)概率的计算公式为：P（A）＝eq\f（构成事件A的区域体积,试验的全部结果所构成的区域体积)。题型四与“角度"有关的几何概型【例4】已知半圆O的直径为AB＝2R。（1)过A作弦AM，求使弦AM＜R的概率；(2)过A作弦AM，求使弦AM＞R的概率；（3）作平行于AB的弦MN,求使弦MN＜R的概率；(4）作平行于AB的弦MN,求使弦MN≥R的概率．分析：过A作弦应理解为过A作射线AM交半圆于M，作AB的平行弦MN,可以理解为过垂直于AB的半径上的点作平行于AB的弦．解:(1)如图①所示，过点A作⊙O的切线AE，作弦＝R.由平面几何知识，∠M′AB＝60°，∠M′AE＝30°，∴P（AM＜R)＝P(AM＜AM′）＝P(∠EAM＜∠EAM′)＝eq\f（∠EAM′的大小,∠EAB的大小）＝eq\f（30°,90°)＝eq\f（1,3）。（2）类似于（1）可求P（AM＞R）＝eq\f(60°,90°)＝eq\f(2，3）.(3)如图②所示,过点O作半径OE⊥AB，作弦M′N′∥AB，交OE于点E′，且＝R。连接OM′，则OE′＝eq\f(\r（3)，2)R，EE′＝R－eq\f(\r(3）,2）R＝eq\f(2－\r（3），2)R.∴P（MN＜R)＝P(MN＜M′N′）＝eq\f(EE′，OE）＝eq\f（2－\r（3），2).（4)类似于（3)可求P(MN≥R)＝eq\f(OE′，OE）＝eq\f(\r（3),2).反思（1）如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示,则其概率计算公式为P(A)＝eq\f（事件A构成区域的角度,试验的全部结果构成区域的角度).(2)解决此类问题的关键是事件A在区域内是均匀的,进而判定事件的发生是等可能的。题型五利用随机模拟实验估计图形的面积【例5】利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．分析：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，而后由几何概率进行面积估计．解：(1)利用计算机产生两组[0,1］上的均匀随机数，a1，b1。(2）经过平移和伸缩变换，a＝4a1－3，b＝3b1（3)统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1（满足条件b＜2－2a－a2的点（a，b(4)计算频率eq\f（N1，N)就是点落在阴影部分的概率的近似值．（5）设阴影部分面积为S，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为eq\f（S,12)，∴eq\f（S,12）≈eq\f(N1,N）。∴S≈eq\f(12N1，N)即为阴影部分面积的近似值．反思在解答本题的过程中，易出现将点（a，b)满足的条件误写为b＞2－2a－a2，导致该种错误的原因是没有验证阴影部分的点（a，b题型六易错辨析【例6】在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把长度为1的线段分成三条,试求这三条线段能构成三角形的概率．错解：因为，，x＋y＜1，所以eq\f（1，2)＜x＋y＜1。所以P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2），1））,(0，1）)＝eq\f(\f（1，2），1)＝eq\f(1，2）.错因分析：错解误把长度作为几何度量当成本题的模型．正解:设三条线段的长度分别为x，y,1－x－y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（0＜x＜1，,0＜y＜1,,0＜1－x－y＜1，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜1，,0＜y＜－x＋1。）)在平面上建立如图所示的直角坐标系，围成三角形区域G,每对（x，y）对应着G内的点(x，y),由题意知,每一个