重庆市渝东九校联盟2024-2025学年高二上学期（期中）联合诊断性测试数学试题（含解析）

重庆市渝东九校联盟2024−2025学年高二上学期（期中）联合诊断性测试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知向量，向量，若，则的值为（

）A．1 B． C． D．3．椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4．已知点，点，则以为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．5．已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（

）A． B． C． D．6．已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．7．如图，在平行六面体中，，，，，则（

）A． B． C． D．8．已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线，直线，，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．直线过定点C．若，则 D．当时，直线不经过第二象限10．圆和圆的交点为、，则有（

）A．公共弦所在的直线方程为B．线段的中垂线方程为C．公共弦的长为D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．异面直线AP与所成角的取值范围是C．平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．直线与直线的交点坐标为.13．已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为.14．在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，、、，线段的中点为，且.(1)求实数的值；(2)求边上的中线所在的直线方程.16．如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近点的三等分点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.17．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，且，求直线的方程.18．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.

(1)求证：；(2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.19．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段AB是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若Ax1,y1，Bx2,y2，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点F1(1)已知，，求的值；(2)分别求，的取值范围；(3)若，，求“新椭圆”围成的面积.

参考答案1．【答案】C【详解】化直线为，所以直线的斜率，令直线的倾斜角为，则，，.故选：C.2．【答案】C【详解】因为，，且，则，解得.故选：C.3．【答案】A【详解】在椭圆中，，，则，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.4．【答案】B【详解】由题意可知，圆心为线段的中点，圆的半径为，因此，所求圆的方程为.故选：B.5．【答案】D【详解】因为是空间的一个基底，可知，，不为共面向量，对于A：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故A错误；对于B：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故B错误；对于C：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故C错误；对于D：假设，，共面，则，可得，方程组无解，可知，，不为共面向量，可以作为基底，故D正确；故选：D.6．【答案】B【详解】

由题意得，圆心，半径，因为，，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，所以动点的轨迹方程为，故选：B.7．【答案】D【详解】由题意可得，，，所以，向量、、两两夹角为，由空间向量数量积的定义可得，同理可得，因为，故，因此，.故选：D.8．【答案】C【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，则，当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号，所以的最小值为.

故选：C.9．【答案】AC【详解】对于A选项，若，则，解得，A对；对于B选项，由可得，即直线过定点，B错；对于C选项，若，则，解得，C对；对于D选项，当时，直线交轴的负半轴于点，作出直线的图象如下图所示：由图可知，当时，直线不经过第一象限，D错.故选：AC.10．【答案】ABD【详解】圆的圆心为原点，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，对于A选项，将两圆方程作差可得，所以，公共弦所在的直线方程为，A对；对于B选项，因为，，，所以，，则，又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段，，所以，直线的方程为，即，故线段的中垂线方程为，B对；对于C选项，圆心到直线的距离为，所以，，C错；对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对.故选：ABD.11．【答案】ABD【详解】对于A，，平面，平面，所以平面，因为点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，当点位于点时，与所成的角为，当点位于的中点时，因为平面，，所以，此时，与所成的角为，所以异面直线与所成角的取值范围是，故B正确；对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，，则，，设平面的法向量，设平面的法向量，，则，即，令，则，则得，面与平面所成夹角为，所以，因为，，所以，，所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C错误；对于D，则，，，，，，设平面的法向量n=x,y,z，则，即，令，则，得，所以直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故D正确.故选：ACD.12．【答案】2,3【详解】联立，解得，因此，直线与直线的交点坐标为.故答案为：.13．【答案】【详解】由椭圆方程可知：，因为分别为的中点，则，可得，因为，则，且，所以的面积为.故答案为：.14．【答案】【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设点、，其中、，易知、，则，，，因为、、共面，则存在、，使得，即，解得，所以，，即，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，直线的中点为，则，因为，则，即，解得.（2）由（1）知点，线段的中点为，所以，，所以，边上的中线所在的直线方程为，即.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面，平面，则，因为，即，因为，、平面，故平面.（2）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，，则、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，则，取，可得，所以，，因此，平面与平面夹角的余弦值为.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知：，则，所以椭圆C的标准方程为.（2）设直线：，

联立方程，消去y可得，则，解得，可得，则，解得，所以直线的方程为，即.18．【答案】(1)证明见解析(2)存在；【详解】（1）

取的中点，连接，因为矩形ABCD，，，所以，由为CD中点，所以，因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，由为的中点，为四边形的中位线，，所以，又平面，，所以平面，由平面，所以.（2）

作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系，由（1）得为四边形的中位线，所以，由得，，，所以，设平面的法向量为，则，取，则，设点存在，，，所以，所以，由平面得，所以，解得，即，所以所以存在点N，使得平面ADM，.19．【答案】(1)(2)的取值范围为；的取值范围为(3)6【详解】（1）因为，，所以.（2）设“