24.1.2垂直于弦的直径

人教版.九年级上册24.1.2垂直于弦的直径学习目标学习目标：1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论.

3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论.

难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.实验发现实验：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.结论：自主探究用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？●O

要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线（对称轴）的对称点也在圆上.

如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意一点.

过点A作AA’⊥CD,交⊙O于点A’，垂足为M,连接OA,OA’.结论证明在△OAA’中，∵OA=OA’

∴△OAA’是等腰三角形.∵AA’⊥CD∴AM=AM’即CD是AA’的垂直平分线，因此⊙O关于直线CD对称.·OBCDMA从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB，垂足为M

，那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?线段:

AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒这样我们就得到了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵CD是直径，AB为弦∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.几何语言：垂径定理CD⊥AB于点E，垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOCABO

DC想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE定理辨析如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下，所得命题是否成立？所得命题：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.·OABDMC已知：AB是⊙O的一条弦，

作直径CD，使AM=BM.求证（1）CD⊥AB

（2）

定理推论⌒⌒AC与BC相等吗？⌒⌒AD与BD相等吗？如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒（1）连接AO,BO,则AO=BO又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）∴∠AEO=∠BEO=90°∴CD⊥AB推论论证AC与BC相等吗？

AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒⌒思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.∵

CD是直径，AB是弦（不是直径）

且AM=BM,∴CD⊥AB，⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.几何语言：垂径定理推论37m7.23m例

赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径.人教版初中数学《垂直于弦的直径》ppt精美（PPT优秀课件）例题讲解

解：用

表示主桥拱，设

所在圆的圆心为O，半径为R．

经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足.由垂径定理可得，D是AB的中点，C是

的中点，CD就是拱高．ACDBOAD=AB=18.5，R18.5OD=OC-CD=R-7.23在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2R-7.23∴R2=18.52+(R-7.23)2解得R≈27.3∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m．例题讲解如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，圆心O到AB的距离为3㎝，求圆O的半径.解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA.，AE=4cm

OE⊥AB

OE=3cm在Rt△OEA中，根据勾股定理得：AO2=OE2+AE2=32+42=25AO=5cm巩固练习在利用垂径定理解题时，通常需要作______，构造__________，把___