24.1.2垂直于弦的直径 教学设计

24.1.2垂直于弦的直径教学设计一、教学目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论.难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.二、教学过程探究剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴结论证明：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.

在△OAA′中，

∵OA=OA′

∴△OAA′是等腰三角形

又AA′⊥CD

∴AM=MA′

即CD是AA′的垂直平分线

这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB，垂足为M，那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?线段:AE=BE这样，我们就得到垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.几何语言：∵CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E.∴AE=BE，.垂径定理的几个基本图形：定理辨析：想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（1）是（2）不是，因为没有垂直（3）是（4）不是，因为CD没有过圆心定理推论如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下，所得命题是否成立？所得命题：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.已知：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AM=BM.求证（1）CD⊥AB（2）证明:（1）连接AO,BO,则AO=BO又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）∴∠AEO=∠BEO=90°∴CD⊥AB（2）由垂径定理可得垂径定理推论：

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.几何语言：∵CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦(不是直径)，且AE=BE

∴CD⊥AB，思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.特别说明：圆的两条直径是互相平分的.例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.

由题设可知，AB=37m，CD=7.23m

所以，AD=AB=×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23

在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2

即R2=18.52+(R-7.23)2

解得R≈27.3(m)

因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m练习1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径.解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA.

∴AE=BE=AB=×8=4(cm)

在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2=AO2即42+32=AO2解得AO=5cm因此，⊙O的半径为5cm.三、课堂小结在利用垂径定理解题时，通常需要作___弦心距___，构造___直角三角形_______，把__垂径__定理和_勾股___定理结合起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长a之间的关系式.四、作业布置见精准作业设计五、板书设计垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.几何语言：∵CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E