24.1 圆的有关性质2（知识梳理+典型例题）

24.1圆的有关性质（2）▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓24.1圆的有关性质（2）▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓按住ctrl并单击，可访问相关题型链接按住ctrl并单击，可访问相关题型链接【题型1】弧、弦、圆心角的综合应用 3【题型2】圆周角、圆周角定理及应用 8【题型3】圆内接四边形的性质 11知识点1：弧、弦、圆心角1．圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．2．弧、弦、圆心角之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．3．拓展（1）圆心到弦的距离叫做弦心距．有关弦的问题常常添加圆心到弦的垂线作为辅助线．（2）在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点2：圆周角1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：同一条弧所对的圆周角有无数个，圆心角只有一个．2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．知识点3：圆内接多边形及性质1．概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．注意：（1）所有的三角形都有外接圆，但不是所有的四边形都有外接圆；（2）四边形外接圆的圆心到这个四边形各个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径；（3）如果四边形各个顶点到某一点的距离相等，那么这个四边形的四个顶点都在一个圆上（四点共圆）．2．圆内接四边形的性质：（1）圆内接四边形的对角互补．（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．1．圆中证明弧、弦、圆心角相等或倍分关系的方法：在圆中证明弧、弦、圆心角的相等或倍分关系时，应从同类型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分关系入手，转化为另一种元素的相等或倍分关系，从而得到问题的结论．2．圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．3．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【题型1】弧、弦、圆心角的综合应用例1例1（2024•华蓥市模拟）如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为A．4 B． C． D．【答案】【分析】在中，由，解直角三角形求得，然后利用垂径定理解答即可．【解答】解：于，，在中，，，，．故选：．◄点拨►（1）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（2）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．【变式1】（2024•汕头一模）圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为A． B． C． D．【变式2】（2024•仁怀市模拟）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于A．8 B．10 C．11 D．12【变式3】（2024•南山区二模）如图，圆的半径是4，是弦，且是弧的中点，则弦的长为A． B． C．4 D．61．【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角；求得是等腰直角三角形，过作于，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：弦将分成了度数比为两条弧．则弦所对的圆心角；是等腰直角三角形，过作于，，弦心距与弦长的比为，故选：．2．【答案】【分析】作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到，再利用勾股定理，继而求得答案．【解答】解：作直径，连接，如图，则，，而，，，，．解法二：如图，过点作于，于．，，，，，，，，，，，，，，，，．故选：．3．【答案】【分析】连接，，，根据圆周角定理得，根据，得，再根据等边三角形的性质即可得出答案．【解答】解：如图，连接，，，，，是弧的中点，，，，是等边三角形，．故选：．【题型2】圆周角、圆周角定理及应用例2例2（2024•重庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC，BD，CD是⊙O的弦．若∠D＝30°，AB＝4，则弦AC的长度为（）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根据圆周角定理，得到∠ACB＝90°，进而利用勾股定理即可得解．【解答】解：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝30°，∴，∴；故选：D．◄点拨►1．在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．2．注意：（1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．（2）圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化．（3）定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．3．圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．【变式4】（2024•凉州区二模）如图，在中，，则的大小是A． B． C． D．【变式5】（2023秋•日喀则市期末）如图，点、、在上，，则的度数是A． B． C． D．【变式6】（2024•贵港二模）如图，是圆的直径，是圆的弦，，则等于A． B． C． D．4．【答案】【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：和都对，．故选：．5．【答案】【分析】利用圆周角定理求解即可．【解答】解：，，，故选：．6．【答案】【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等求得角的度数，然后再求得的度数即可．【解答】解：是直径，，，，，故选：．【题型3】圆内接四边形的性质例3例3（2024•宣恩县三模）如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点．（1）求证：；（2）若的半径为5，，点是的中点，求的长．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）由四边形为圆内接四边形，得到，结合，得到，，即可求解，（2）作，，由为的垂直平分线，得到，根据勾股定理，，根据平行线截线段成比例，得到，依次求出，，，根据勾股定理，即可求解，【解答】（1）证明：点，，，均在上，四边形为圆内接四边形．．又，．又，．又，，．（2）解：作于，又，为的垂直平分线，过点作于点，连接，为的垂直平分线，点在上，，，，，，．又，，，，，，故答案为：．◄点拨►圆内接四边形的性质：（1）圆内接四边形的对角互补；（2）四个内角的和是360°；（3）圆内接四边形的外角等于其内对角．【变式7】（2024•金寨县模拟）如图，四边形内接于，平分，交于点．（1）如图1，求证：．（2）如图2，若经过圆心，且，，求的长．【变式8】（2023秋•互助县期末）如图，四边形内接于，为的直径，，求的度数．【变式9】（2024•益阳二模）如图，四边形是的内接四边形，，点是的中点．（1）求的度数；（2）求证：四边形是菱形．7．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）由角平分线的定义可得，即可得出，结合圆周角定理推出，由相似三角形的性质可得，即可得证；（2）由圆周角定理结合角平分线的定义得出，从而得出，推出，由勾股定理得出，结合等腰直角三角形的性质得出，作于，求出、的长，即可得解．【解答】（1）证明：平分，，，，，，，；（2）解：为直径，，平分，，，，在中，，，，在中，，，，作于，，在中，，，，在中，，，，．8．【答案】．【分析】由圆周角定理得到，求出，由圆内接四边形的性质推出，即可得到．【解答】解：是圆的直径，