22.3 实际问题与二次函数（练习题+答案解析）

22.322.3实际问题与二次函数▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓一、选择题（共8小题）1．（2024•邓州市二模）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为A． B． C． D．2．（2024•山西模拟）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为轴建立平面直角坐标系，图中点，关于轴对称，其中点的坐标为，点的坐标为，，若点到轴的距离小于它到轴的距离，则二次函数图象的顶点坐标是A． B． C． D．或3．（2024•吉安一模）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．A．3 B．6 C．8 D．94．（2024•从江县校级二模）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为米，的长米，菜园的面积为（单位：平方米）．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系5．（2024•山阳县三模）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：与足球被踢出后经过的时间（单位：之间的关系如表：0123456708141820201814下列结论正确的是A．足球被踢出时落地 B．足球飞行路线的对称轴是直线 C．足球距离地面的最大高度为 D．足球被踢出时，距离地面的高度是6．（2024•保德县三模）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足函数表达式．已知“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为A． B． C． D．7．（2023秋•建昌县期末）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系，下列对方程的两根与的解释正确的是A．小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是 B．小球飞行时飞行高度为，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用 D．小球的飞行高度可以达到8．（2024•孝义市模拟）生物学研究表明、在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值（单位：与温度（单位：的关系可以近似用二次函数来表示．则当温度为最适宜时，该种酶的活性值为A．14 B． C．240 D．44二、填空题（共8小题）9．（2024•香坊区校级开学）如图，某涵洞的截面是抛物线形状，抛物线在如图所示的平面直角坐标系中，对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为时，涵洞顶点至水面的距离为．10．（2024•二道区校级开学）如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高米，现要水半放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的最大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为米．11．（2024•城中区校级一模）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：关于行驶时间（单位：的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了．12．（2024•长春一模）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的处，则小丁此次投掷的成绩是米．13．（2023秋•高邑县期末）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是时，拱顶距离水面是．当水面下降后，水面宽度是．（结果保留根号）14．（2023秋•冠县期末）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆围成，则矩形面积的最大值是．15．（2024•武汉开学）飞机着陆后滑行的距离（单位：关于滑行的时间（单位：的函数解析式是，飞机着陆后滑行停下来，滑行的时间是．16．（2023秋•商河县期末）如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场的长为，当时，养鸡场的面积最大．三、解答题（共8小题）17．（2024•陈仓区一模）掷实心球是宝鸡市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．（1）求关于的函数表达式；（2）根据宝鸡市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分10分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．18．（2023秋•定西期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图）．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为．（1）求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）当为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？19．（2024•凉州区三模）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商场以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．设售价为元，日销售量为件．（1）直接写出日销售量为（件与每件售价（元之间的函数关系式；（2）为了让顾客得到更大的实惠，当该吉祥物售价定为多少元时，日销售利润达7500元？（3）该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？20．（2024•任丘市校级一模）如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，喷出的水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，水流的路线是抛物线的一部分，落点距离喷水柱底端处3.5米．（1）写出水流到达的最大高度，并求的值；（2）在保证水流形状不变的前提下，调整喷水柱的高度，使水流落在宽为米，内侧（点距点为4米的环形区域内（含，，直接说出喷水柱的高度是变大还是变小，并求它变化的高度（米的取值范围．21．（2024•陈仓区一模）某特产专卖店销售一种核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．（1）若该特产专卖店希望这批核桃每天获利2240元，则销售单价应定为多少元？（2）当定价多少元时，销售单价为多少元时该店销售核桃每天获得利润最大，最大利润是多少？22．（2023秋•惠山区期末）为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为，另外三面用棚栏围成．已知栅栏的总长度为，设矩形场地中垂直于墙的一边长为（如图）．（1）若矩形种植场地的总面积为，求此时的值；（2）当为多少时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？23．（2024•兴隆台区校级开学）经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为元，销售量为（件，销售该品牌玩具获得利润为元．（1）销售量为与关系式为；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？24．（2024•长沙开学）某服装店以每件40元的价格购进一批衬衫，在试销过程中发现：每月销售量（件与销售单价为正整数）（元之间符合一次函数关系，当销售单价为55元时，月销售量为140件；当销售单价为70元时，月销售量为80件．（1）求与的函数关系式；（2）设服装店每月销售该种衬衫获利为元，求与之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？

一、选择题（共8小题）1．【答案】【分析】根据正常水位时水面宽，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出即可．【解答】解：米，当时，，当水位上升5米时，，把代入抛物线表达式得：，解得，此时水面宽，故选：．2．【答案】【分析】根据点，关于轴对称，可得两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程得到和的值，进而根据点到轴的距离小于它到轴的距离可得的具体值，代入二次函数，整理成顶点式可得二次函数的顶点坐标．【解答】解：点，关于轴对称，其中点的坐标为，点的坐标为，，，．解得：或；．当时，；当时，．当时，．点到轴的距离小于它到轴的距离，，．二次函数解析式为：．二次函数图象的顶点坐标是．故选：．3．【答案】【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴轴通过中点且通过点，则通过画图可得为原点，抛物线以轴为对称轴，且经过、两点，和可求出为的一半为2米，抛物线的顶点坐标为，，设顶点式为，代入点的坐标，得出，解得：，抛物线的解析式为：，当水面下降2.5米时，即当时，，解得：，水面的宽度为（米，故选：．4．【答案】【分析】先根据得出；再根据矩形的面积公式列出关于的函数关系式，从而得出结论．【解答】解：，，，，即，与满足的函数关系是一次函数；，与满足的函数关系是二次函数．故选：．5．【答案】【分析】由题意，抛物线经过，，所以可以假设抛物线的解析式为，把代入可得，可得，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为，把代入可得，，足球距离地面的最大高度为，抛物线的对称轴，故正确，错误；时，，点在该抛物线上，故正确；当时，，故错误．故选：．6．【答案】【分析】根据题意求出，的值，再用函数的性质求出最大值．【解答】解：“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，，，把，代入得，，解得，，解得，，，，当时，有最大值，最大值37，水火箭”升空的最大高度为37米，故选：．7．【答案】【分析】根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答．【解答】解：的两根与，即时所用的时间，小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是或，故错误；，对称轴直线为：，最大值为20，故错误；时，，此时小球继续下降，故错误；当时，，，，小球从飞出到落地要用，故正确．故选：．8．【答案】【分析】把整理成顶点式，可得的最大值，即为该种酶的温度为最适宜时的活性值．【解答】解：．当温度为时，最适宜，该种酶的活性值最大，为240．故选：．二、填空题（共8小题）9．【答案】16．【分析】根据抛物线的对称性及解析式求解．【解答】解：依题意，设点坐标为，代入抛物线方程得：，即水面到桥拱顶点的距离为16米．故答案为：16．10．【答案】．【分析】用待定系数法求出抛物线的表达式，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解．【解答】解：建立如下的坐标系，则点A（4，0），设大小正方形的边长分别为2m，n，则点B、C的坐标分别为：（m，2m）、（m+n，n），设抛物线的表达式为：y＝ax2+，将点A的坐标代入上式得：0＝16a+，则a＝﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x+，将点B、C的坐标代入上式得：，解得：（不合题意的值已舍去），故答案为：．11．【答案】45．【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出的最大值即可得出结论．【解答】【点评】【解答】解：，汽车刹车后到停下来前进了，故答案为：45．12．【分析】建立坐标系，设抛物线的解析式为，由待定系数法求得抛物线的解析式，令，得关于的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．【解答】解：建立坐标系，如图所示：由题意得：，，点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为，把代入得：，解得，，令，得，解得，（舍，小丁此次投掷的成绩是7米．故答案为：7．13．【答案】．【分析】根据题意，建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将代入函数解析式，求出的值，然后即可求得水面下降后，水面宽度．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设该抛物线的解析式为，由题意可知：点在该函数图象上，，解得，该抛物线的解析式为，当时，，解得，，当水面下降后，水面宽度是：，故答案为：．14．【答案】．【分析】设矩形的宽为，进而确定矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值．【解答】解：设矩形的宽为，面积为，根据题意得：，时，菜园面积最大，最大面积是．故答案为：．15．【答案】32．【分析】将函数解析式配方成顶点式，即可求出答案．【解答】解：，当时，取得最大值1280，即飞机着陆后滑行1280米才能停下来，滑行了，故答案为：32．16．【分析】由条件可用表示出鸡场的宽，可用表示出鸡场的面积，再利用二次函数的性质可求得答案．【解答】解：设养鸡场的长为，则宽为，设养鸡场的面积为，根据题意可得，，抛物线开口向下，当时，有最大值，即当时，养鸡场的面积最大，故答案为：30．三、解答题（共8小题）17．【答案】（1）；（2）该男生在此项考试中得满分，计算见解析．【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）令，即，解得，比较即可得解．【解答】解：（1）抛物线顶点为，设函数表达式为，抛物线过点，，解得，关于的函数表达式为：；（2）令，即，解得，（不合题意，舍去），，该男生在此项考试中得满分．18．【分析】（1）依题意易求得与的函数关系式以及的取值范围．（2）把（1）的函数关系式用配方法化简求得的最大值即可．【解答】解：（1）由题意得：，自变量的取值范围是；（2），，当时，有最大值200平方米即当时，满足条件的绿化带面积最大．19．【答案】（1）；（2）为了让顾客得到更大实惠，该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元；（3）每件售价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元．【分析】（1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解；（2）每件所获利润日销售量元，据此即可求解；（3）设日销售利润为元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解．【解答】解：（1），故答案为：；（2）由题意得：，整理得：，解得：，，为了让顾客得到更大的实惠，舍去，，答：该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元．（3）设日销售利润为元，由题意得：，，当时，（元；答：每件售价为70元时，可使日销售利润最多．20．【答案】（1）水流到达的最大高度为4米；；（2）喷水柱的高度变大；．【分析】（1）依据题意，抛物线的顶点为，，从而可得水流到达的最大高度；又将代入，进而计算可以得解；（2）依据题意，可以判断喷水柱的高度变大；又由题意可设喷水柱高度调整后，水流经过的抛物线解析式为，将代入，得，可得；又将代入，得，解得，进而可以判断得解．【解答】解：（1）由题意，抛物线的顶点为，，水流到达的最大高度为4米．将代入．．．（2）喷水柱的高度变大．由题意得，，．设喷水柱高度调整后，水流经过的抛物线解析式为，将代入，得，解得；将代入，得，解得，的取值范围是：．21．【答案】（1）销售单价应定为54或56时，该特产专卖店这批核桃每天获利2240元；（2）当定价55元时，该店销售核桃获得利润最大，最大利润是2250元．【分析】（1）设每千克核桃应降价元，根据每天获利2240元列方程求解即可；（2）根据已知得出销量乘以每千克利润总利润进而得出函数关系式，再利用配方法求出即可．【解答】解：（1）设每千克核桃应降价元，则平均每天的销售利润是千克，由题意可得，解得，，经检验这两个解都符合题意，此时销售单价为元或元，所以销售单价应定为54元或56元时，该特产专卖店这批