新疆乌鲁木齐市2024-2025学年高一数学下学期4月月考试题含解析

Page15新疆乌鲁木齐市2024-2025学年高一数学下学期4月月考试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.化简（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的运算法则干脆求解．【详解】解：．故选：．2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先对复数化简，从而可得其共轭复数，进而可得答案【详解】解：因为，所以，所以对应的点位于第四象限，故选：D3.在中，，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】依据由余弦定理，可得，代入数据即得.【详解】由余弦定理，得，.故选：D.4.在中，､､所对的边分别为､､，若，，，则（

）A. B. C. D.或，【答案】B【解析】【分析】由正弦定理即可求得，再由大边对大角，舍去不符合要求的值，即可得到结果.【详解】依据题意，由正弦定理，可得:，解得，故可得或，由，可得，故.故选:B.5.下列说法正确的有（）①两个面平行且相像，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；③各侧面都是正方形的四棱柱肯定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】对于①：利用棱台的定义进行推断；对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.即可推断；对于③：举反例：底面的菱形，各侧面都是正方形的四棱柱不是正方体.即可推断；对于④：利用圆锥的性质干脆推断.【详解】对于①：棱台是棱锥过侧棱上一点作底面的平行平面分割而得到的.而两个面平行且相像，其余各面都是梯形的多面体中，把梯形的腰延长后，有可能不交于一点，就不是棱台.故①错误；对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.故②错误；对于③：各侧面都是正方形的四棱柱中，假如底面的菱形，肯定不是正方体.故③错误；对于④：圆锥的轴截面是等腰三角形.是正确的.故④正确.故选：A6.已知一个水平放置的平面四边形的直观图是边长为1的正方形，则原图形的周长为（）A.6 B.8 C. D.【答案】B【解析】【分析】由斜二测画法的规则，把直观图还原为原平面图形，再求原图形的周长．【详解】解：由斜二测画法的规则知，与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，所以在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍，是，其原来的图形如图所示；所以原图形的周长是：．故选：．【点睛】本题考查了平面图形的直观图应用问题，能够快速的在直观图和原图之间进行转化，是解题的关键，属于中档题．7.下列命题正确的是（）A.若，都是单位向量，则B.若，则四点，，C，D构成平行四边形C.若两向量，相等，则它们是始点、终点都相同的向量D.与是两平行向量【答案】D【解析】【分析】依据向量相关概念逐一推断四个选项的正误，即可得正确选项.【详解】对于A项，单位向量长度相等，但方向不肯定相同，故A项不对；对于B项，，，C，D四点可能共线，故B项不对；对于C项，只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C项不对；对于D项，因与是方向相反，大小相等，所以与是平行向量，故D项对.故选：D.8.若为所在平面内随意一点，且满意，则肯定为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形【答案】C【解析】【分析】由向量的线性运算可知，所以，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得，进而可得，即可得出答案.【详解】由题意，，所以，取的中点，连结，并延长到，使得，连结，，则四边形为平行四边形，所以.所以，即，故，是等腰三角形.故选：C【点睛】本题考查三角形形态的推断，考查平面对量的性质，考查学生的计算求解实力，属于基础题.9.如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB=M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为（）A. B.-1 C. D.+1【答案】A【解析】【分析】画出圆锥侧面绽开图，求得，再求出，即可利用余弦定理求解.【详解】如图为圆锥的侧面绽开图，,，则，在中，，则，为M到B的路径中，最短路径的长.故选：A.10.若向量满意，，且当时，的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据平面对量数量积的运算律可得到，依据二次函数性质，利用的最小值构造方程可求得，依据数量积的运算律求得后可得结果.【详解】，由二次函数性质知：当时，取得最小值，，解得：，，.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用平面对量数量积的运算律求解向量的模长的问题，解题关键是能够通过平方运算，结合二次函数的性质确定取得最小值时的值.11.闻名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．依据以上材料，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意确定出费马点位置，进而可求得结果.【详解】设，则表示点到三顶点、、的距离之和.依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则.此时.故选：B.12.在中，角，，所对应的边分别为，若，，则面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．结合，，都用表示，利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值．【详解】由正弦定理得：由余弦定理得：，即当且仅当，，时取等号，,则，所以面积的最大值1.故选.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和基本不等式，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.复数的共轭复数是_________．【答案】【解析】【分析】利用除法运算公式计算复数，即可计算其共轭复数.【详解】，故复数的共轭复数是．故答案为：14.已知向量与的夹角为，且，则_________．【答案】2【解析】【分析】依据向量的数量积的运算公式，求解即可【详解】因为，所以．故答案：215.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，，则的面积S为_______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理和已知条件可知，从而可知边长关系，然后利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积.【详解】解：由题意得：由，可得，即所以，由余弦定理，得所以，，又由可得，则．故答案为：16.在中，内角、、所对的边分别为、、，，且的面积为，则内切圆的面积为_________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理边角互化可得出，结合角的取值范围可求得角的值，利用三角形的面积公式可求得的值，利用等面积法可求得内切圆的半径，再利用圆的面积公式可求得结果.【详解】由，可得，结合化简可得，因为，则，所以，则，因为，则，则，所以．又，所以，因，所以，故内切圆的半径满意，可得，所以，内切圆的面积．故答案为：.三．解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）17.已知复数（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内的对应点位于其次象限，求实数m的取值范围及的最小值【答案】（1）1；（2），.【解析】【分析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．【详解】解：（1）为纯虚数，且（2）在复平面内的对应点为由题意：，．即实数的取值范围是．而，当时，．18.已知平面直角坐标系中，点为原点，，，．（1）若，求实数的值；（2）若，，三点共线，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先求出向量，的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求值；(2)先求出向量，的坐标，由，，三点共线得向量与共线，再由向量共线的坐标表示求值.【详解】(1)由题知，，，若，则，.(2)由题知，，.若，，三点共线，则向量与共线，有，解得.19.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）依据数量积的定义得到，即可求出、，再由余弦定理计算可得；（2）由余弦定理求出，即可求出，再由两角差的正弦公式计算可得.【小问1详解】解：∵，，∴，由，解得或（舍去），∴，∴.【小问2详解】解：由余弦定理可得，∴，∴.20.中，角A，B，C的对边分别为a，b，.（1）求B的大小；（2）若，且，是边的中线，求长度.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先结合正弦定理边化角，然后利用余弦定理解三角形即可；（2）法一：结合中线公式求出，然后借助平面对量的运算求出，进而求出的模长，即长度；法二：在中利用余弦定理求出，结合得到，然后在和结合余弦定理可得，解方程即可求出结果.【详解】解：因为，即即，所以，故法一：中线公式：由，故又，则故，故法二：，则，故，又即21.如图，在中，已知点D在上满意，点M是的中点，过M作直线交，于P，Q两点，记，，且，．（1）试用的线性运算结果分别表示有向线段与；（2）求的最小值，并写出取等条件．【答案】（1），（2）最小值为，当且仅当时取等【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解；（2）利用向量共线可得，再利用基本不等式“1”的代换即可求解.【小问1详解】由得，则又，所以【小问2详解】由已知，得，∴由P，M，Q共线，则故当且仅当时取等，∴最小值为22.