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专题17计数原理（填空题）近三年高考真题学问点1：利用二项式定理求项的系数1．（2024•天津）在的绽开式中，项的系数为．【答案】60．【解析】二项式的绽开式的通项为，令得，，项的系数为．故答案为：60．2．（2024•上海）二项式的绽开式中，项的系数是常数项的5倍，则．【答案】10．【解析】二项式的绽开式中，项的系数是常数项的5倍，即，即，，故答案为：10．3．（2024•浙江）已知多项式，则．【答案】8，．【解析】，；令，则，令，则，．故答案为：8，．4．（2024•新高考Ⅰ）的绽开式中的系数为（用数字作答）．【答案】．【解析】的通项公式为，当时，，当时，，的绽开式中的系数为．故答案为：．5．（2024•天津）的绽开式中的常数项为．【答案】15．【解析】的绽开式的通项是要求绽开式中的常数项只要使得，即常数项是，故答案为：156．（2024•上海）在的绽开式中，则含项的系数为．【答案】66．【解析】绽开式的通项公式为，由，得，得，即，即含项的系数为66，故答案为：66．7．（2024•天津）在的绽开式中，的系数是．【答案】160．【解析】的绽开式的通项公式为，令，解得，所以的系数是．故答案为：160．8．（2024•浙江）已知多项式，则，．【答案】5；10．【解析】即为绽开式中的系数，所以；令，则有，所以．故答案为：5；10．9．（2024•上海）已知二项式绽开式中，的系数为80，则．【答案】2．【解析】的绽开式的通项公式为，所以的系数为，解得．故答案为：2．10．（2024•北京）在的绽开式中，常数项是．（用数字作答）【答案】．【解析】设绽开式的通项为，则令得．绽开式中常数项为：．故答案为：．学问点2：利用二项式定理求系数和问题11．（2024•上海）已知的绽开式中，唯有的系数最大，则的系数和为．【答案】64．【解析】由题意，，且，所以，所以令，的系数和为．故答案为：64．12．（2024•上海）已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为．【答案】49．【解析】二项式的通项为，，1，2，，，二项式的通项为，，1，2，，，，，1，2，，，若，则为奇数，此时，，，，又为奇数，的最大值为49．故答案为：49．学问点3：排列组合综合运用13．（2024•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．【答案】64．【解析】若选2门，则只能各选1门，有种，如选3门，则分体育类选

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