适用于新教材2025版高中数学重难点突破练三新人教A版必修第二册

PAGE重难点突破练(三)重难点一柱、锥、台、球的结构特征1.下列说法正确的是 ()A.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B.多面体至少有3个面C.各侧面都是正方形的四棱柱肯定是正方体D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形2.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,则这个几何体可能是 ()A.圆锥 B.圆柱C.球体 D.以上都有可能3.如图阴影部分所示的平面图形绕轴旋转180°所形成的几何体为 ()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体4.(多选题)下面关于四棱柱的命题,真命题是 ()A.若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱B.若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱C.若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱D.若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱5.纸制的正方体的六个面依据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是________.

6.一圆台的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30°,上底面半径为15cm,则下底面半径为________cm,圆台的高为________cm.

7.从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.假如用一个与圆柱下底面距离等于l(l<R)并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.8.圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm,母线长AB=20cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A,求:(1)绳子的最短长度;(2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.重难点二立体图形的直观图1.用斜二测画法画如图所示直角三角形的水平放置的直观图,正确的是 ()2.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,其中D'是A'C'的中点,且A',B',C',D'与A,B,C,D分别对应,则在原△ABC中,与线段BD的长相等的线段至少有 ()A.0条 B.1条 C.2条 D.3条3.如图所示,△A'B'C'表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图,A'B'在x'轴上,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=3,则△ABC在边AB上的高为 ()A.62 B.33 C.32 D.34.如图所示,Rt△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,其中A'C'⊥B'C',B'O'=O'C'=2,则△ABC的面积是________.

5.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.6.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D',如图,其中的对角线A'C'在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.重难点三简洁几何体的表面积、体积1.用与球心距离为2的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为 ()A.20π3 B.205π3 C.2052.如图为一个正六棱柱形态的瓷器笔筒,高为18.7cm,底面边长为7cm(数据为笔筒的外观数据),用一层绒布将其侧面包袱住,忽视绒布的厚度,则至少须要绒布的面积为 ()A.120cm2 B.162.7cm2C.785.4cm2 D.1570.8cm23.(多选题)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是 ()A.圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆锥的表面积最小4.(多选题)正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为3-1,则 ()A.正方体的外接球的表面积为12πB.正方体的内切球的体积为πC.正方体的棱长为1D.线段MN的最大值为3+15.如图所示,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V26.已知正四面体棱长为2,分别求该正四面体的外接球与内切球的半径.7.底面半径为2,高为42的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形,侧棱与底面垂直的四棱柱).(1)设正四棱柱的底面边长为x,试将棱柱的高h表示成x的函数.(2)当x取何值时,此正四棱柱的表面积最大?并求出最大值.重难点突破练(三)重难点一1.D选项A错误,反例如图①;一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B错误;选项C错误,反例如图②,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体;依据棱柱的定义,知选项D正确.2.B用一个平面去截圆柱,当截面和圆柱的上、下底面圆都相交时,得到的截面是四边形,而对圆锥与球体都不行能.3.B由题意,依据球的定义,可得圆面旋转形成一个球,依据圆柱的概念,可得里面的矩形旋转形成一个圆柱,所以绕中间轴旋转半周,形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱.4.BDA错,必需是两个相邻的侧面;B正确,因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面;C错,反例可以是斜四棱柱;D正确,对角线两两相等,则此两对角线所在的平行四边形为矩形,可得侧棱与底面垂直,棱柱为直棱柱.5.【解析】如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,沿棱DD1,D1C1,C1C剪开,正方形DCC1D1向北方向;沿棱AA1,A1B1,B1B剪开,正方形ABB1A1向南方向,然后将正方体沿BC剪开并绽开,则标“△”的面是正方形DCC1D1,方位是北.答案:北6.【解析】如图所示,圆台的母线长为l=20cm,母线与轴的夹角为30°,上底面的半径为r=15cm,所以圆台的高为h=lcos30°=20×32=103则R-r=lsin30°=20×12所以底面圆的半径为R=15+10=25(cm).答案:251037.【解析】轴截面如图.被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C=R,圆锥的截面圆的半径O1D设为x.因为OA=AB=R,所以△OAB是等腰直角三角形.又CD∥OA,则CD=BC.故x=l.所以截面面积S=πR2-πl2=π(R2-l2)(l<R).8.【解析】(1)如图所示,将侧面绽开,绳子的最短长度为侧面绽开图中AM的长度,设OB=lcm,则θ·l=2π×5,θ·(l+20)=2π×10,解得θ=π2,l=20所以OA=40cm,OM=30cm,所以AM=OA即绳子最短长度为50cm;(2)作OQ⊥AM于点Q,交BB'于点P则PQ为所求的最短距离,因为OA·OM=AM·OQ,所以OQ=24cm.故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm),即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.重难点二1.B以直角顶点为坐标原点建立平面直角坐标系,由斜二测画法规则知,在直观图中此角变为钝角,解除C和D,又原三角形的高在y轴上,在直观图中在y'轴上,长度减半,故B正确.2.C先依据斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形,然后依据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段.把△A'B'C'还原后为直角三角形,且D为斜边AC的中点,所以AD=DC=BD.3.A如图,过C'作C'D'∥O'y'交x'轴于D',则2C'D'是△ABC在边AB上的高.由于△B'C'D'是等腰直角三角形,则C'D'=2B'C'=32.所以△ABC在边AB上的高等于2×32=62.4.【解析】把直观图还原为原图形,如图所示:由题意知,BC=B'C'=4,OA=2O'A'=22×2=42,所以△ABC的面积是S△ABC=12BC·OA=12×4×42=8答案:825.【解析】(1)过点C作CE⊥x轴,垂足为点E,如图①所示,画出对应的x'轴,y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图②所示.(2)如图②所示,在x'轴上取点B',E',使得O'B'=OB,O'E'=OE;在y'轴上取一点D',使得O'D'=12OD;过点E'作E'C'∥y'轴,使E'C'=1(3)连接B'C',C'D',并擦去x'轴与y'轴及其他一些协助线,如图③所示,四边形O'B'C'D'就是所求的直观图.6.【解析】四边形ABCD的真实图形如图所示,因为A'C'在水平位置,四边形A'B'C'D'为正方形,所以∠D'A'C'=∠A'C'B'=45°,所以在原四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC,因为DA=2D'A'=2,AC=A'C'=2,所以S四边形ABCD=AC·AD=22.重难点三1.B用平面去截球所得截面的面积为π,所以截面圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2,所以球的半径为r=12+2所以球的体积为V=43π×(5)3=202.C依据正六棱柱的底面边长为7cm,得正六棱柱的侧面积为6×7×18.7=785.4(cm2),所以至少须要绒布的面积为785.4cm2.3.CD由题意可得,圆柱、圆锥的底面半径均为R,高均为2R,球的半径为R.则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,故A错误.圆锥的侧面积为12×2πR×5R=5πR2,故B错误球的表面积为4πR2,所以圆柱的侧面积与球面面积相等,故C正确.圆锥的表面积为S侧+S底=5πR2+πR2=(5+1)πR2,圆柱的表面积为S侧+2S底=4πR2+2πR2=6πR2,球的表面积为4πR2,所以圆锥的表面积最小,故D正确.4.AD设正方体的棱长为a,则其外接球的半径为R=32a,内切球的半径为R'=a2,正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,由于两球球心相同,可得MN的最小值为3a2-a2=3-1,解得a=2,故C错误;所以外接球的半径为3,表面积为4π×3=12π,故A正确;内切球的半径为1,体积为43π,故B错误;MN的最大值为R5.【解析】设球的半径为r,则V1V2=π答案:36.【解析】如图所示:设外接球和内切球的半径分别为R,r,由于正四面体是中心对称图形,所以外心和内心重合,球心O在高线上