2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算课时作业新人教A版必修第一册

PAGEPAGE14．3.2对数的运算必备学问基础练1．下列各等式正确的为()A．log23·log25＝log2(3×5)B．lg3＋lg4＝lg(3＋4)C．log2eq\f(x,y)＝log2x－log2yD．lgeq\r(n,m)＝eq\f(1,n)lgm(m>0，n>1，n∈N*)2．log312－log34＝()A．1B．0C．eq\f(1,2)D．23．lg4＋2lg5＝()A．1B．2C．－1D．－24．log52·log425的值为()A．－1B．eq\f(1,2)C．1D．25．[2024·湖南长沙明德中学高一期末]已知ln2＝a，ln3＝b，则ln18＝()A．2a－bB．a－2bC．a＋2bD．a＋3b6．[2024·江苏苏州高一期末](多选)下列结果为1的是()A．eeq\f(1,2)eeq\f(1,4)eeq\f(1,8)B．lg2＋lg5C．8eq\f(2,3)－9eq\f(1,2)D．log23×log34×log427．(log23)(log35)(log58)＝________．8．[2024·广东深圳高一期末]已知3m＝10，则lg0.09＝________．(结果用含m的代数式表示)关键实力综合练1．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是()A．5a－2B．a－2C．3a－(1＋a)2D．3a－a2－12．[2024·河南信阳高一期末]若4m＝3，则log312＝()A．eq\f(m＋1,m)B．eq\f(2m＋1,m)C．eq\f(m＋2,m)D．eq\f(2m＋1,2m)3．2lgeq\f(4\r(2),7)－lg8eq\s\up6(\f(4,3))＋logeq\r(10)7eq\r(5)＝()A．1B．－1C．eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)4．已知3x＝4，3y＝eq\f(9,4)，则2x＋y＝()A．1B．2C．3D．45．已知2m＝3n＝6，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)等于()A．－1B．2C．3D．16．(多选)已知a＝log25，b＝log35，则()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．a＋b<3C．ab<a＋bD．ab>27．若2m＝3n＝k，且eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝1，则实数k的值为________.8．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在探讨天文学的过程中，为了简化其中的计算而独创了对数，后来天才数学家欧拉发觉了对数与指数的关系，即ab＝N⇔b＝logaN，现已知a＝log26，3b＝36，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝________，2eq\f(a,b)＝________．9．求值：(1)(lg50)2＋lg2×lg502＋(lg2)2；(2)(log43＋log83)(log32＋log92)－log2(log216).10．[2024·辽宁丹东高一期末]已知3a＝5，b＝log92，c＝lg2.(1)求eq\f(ac,b（1－c）)的值；(2)用a，b表示log3eq\r(30).核心素养升级练1．[2024·河北保定高一期末]函数f(x)＝log2(2x)·log2(4x)的最小值为()A．1B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(1,4)2．若lga、lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lgeq\f(a,b))2＝________．3．已知a，b，c为正实数，ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．4．3.2对数的运算必备学问基础练1．答案：D解析：A：log2(3×5)＝log23＋log25≠log23·log25，错误；B：lg3＋lg4＝lg(3×4)≠lg(3＋4)，错误；C：当x，y均为负数时，等式右边无意义，错误；D：lgeq\r(n,m)＝eq\f(1,n)lgm且m>0，n>1，n∈N*，正确．2．答案：A解析：log312－log34＝log3eq\f(12,4)＝log33＝1.3．答案：B解析：由题得lg4＋2lg5＝lg4＋lg52＝lg4＋lg25＝lg(4×25)＝lg100＝lg102＝2.4．答案：C解析：log52·log425＝eq\f(lg2,lg5)·eq\f(lg52,lg22)＝eq\f(lg2,lg5)·eq\f(2lg5,2lg2)＝1.5．答案：C解析：因为ln18＝ln(2×32)＝ln2＋2ln3＝a＋2b.6．答案：BCD解析：对于选项A，eeq\f(1,2)eeq\f(1,4)eeq\f(1,8)＝eeq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＝eeq\f(7,8)≠1，故A错误；对于选项B，lg2＋lg5＝lg10＝1，故B正确；对于选项C，8eq\f(2,3)－9eq\f(1,2)＝4－3＝1，故C正确；对于选项D，log23×log34×log42＝log24×log42＝1，故D正确．7．答案：3解析：(log23)(log35)(log58)＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg8,lg5)＝eq\f(3lg2,lg2)＝3.8．答案：eq\f(2,m)－2解析：由3m＝10知，m＝log310＝eq\f(1,lg3)，∴lg3＝eq\f(1,m)，∴lg0.09＝lgeq\f(9,100)＝lg9－lg100＝2lg3－2＝eq\f(2,m)－2.关键实力综合练1．答案：B解析：log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝log32－2＝a－2.2．答案：A解析：由4m＝3得：m＝log43，则log312＝1＋log34＝1＋eq\f(1,log43)＝1＋eq\f(1,m)＝eq\f(m＋1,m).3．答案：A解析：2lgeq\f(4\r(2),7)－lg8eq\f(4,3)＋logeq\r(10)7eq\r(5)＝lgeq\f(32,49)－lg16＋lg(49×5)＝lgeq\f(32×49×5,49×16)＝1.4．答案：D解析：因为3x＝4，所以x＝log34，同理可得：y＝log3eq\f(9,4)，所以x＋y＝log34＋log3eq\f(9,4)＝log3(4×eq\f(9,4))＝log39＝2.所以2x＋y＝22＝4.5．答案：D解析：由2m＝3n＝6得：m＝log26，n＝log36，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝log62＋log63＝log66＝1.6．答案：ACD解析：因为a＝log25，b＝log35，则eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝log52－log53＝log5eq\f(2,3)<log51＝0，所以eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，故选项A推断正确；因为a＝log25>2，b＝log35>1，所以a＋b>3，故选项B推断错误；因为eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log56>1，又a＝log25>0，b＝log35>0，所以ab<a＋b，故选项C正确；因为a＝log25>2，b＝log35>1，则ab>2，故选项D推断正确．7．答案：18解析：由题设，m＝log2k，n＝log3k，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\f(1,log2k)＋eq\f(2,log3k)＝logk2＋logk9＝logk18＝1，则k＝18.8．答案：1eq\r(3)解析：由题意知a＝log26，3b＝36，可得b＝log336＝2log36，所以eq\f(1,a)＝eq\f(1,log26)＝log62，eq\f(2,b)＝eq\f(1,log36)＝log63，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1，又由eq\f(a,b)＝eq\f(log26,2log36)＝eq\f(1,2)log23＝log2eq\r(3)，所以2eq\f(a,b)＝2log2eq\r(3)＝eq\r(3).9．解析：(1)(lg50)2＋lg2×lg502＋(lg2)2＝(lg50)2＋2lg2×lg50＋(lg2)2＝(lg50＋lg2)2＝(lg100)2＝4.(2)依据对数的运算公式，可得：原式＝(eq\f(1,2)log23＋eq\f(1,3)log23)(log32＋eq\f(1,2)log32)－log2(4log22)＝eq\f(5,6)log23×eq\f(3,2)log32－log24＝eq\f(5,4)－2＝－eq\f(3,4).10．解析：(1)因为3a＝5，所以a＝log35.而b＝log322＝eq\f(1,2)log32，1－c＝lg5，于是eq\f(ac,b（1－c）)＝eq\f(2log35·lg2,log32·lg5)＝2log52·log25＝2.(2)log3eq\r(30)＝eq\f(1,2)log3(5×6)＝eq\f(1,2)(log35＋log36)＝eq\f(1,2)[log35＋log3(2×3)]＝eq\f(1,2)[log35＋(log32＋log33)]＝eq\f(1,2)(a＋2b＋1)＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2).核心素养升级练1．答案：D解析：由题意得f(x)＝(log2x＋1)(log2x＋2)＝(log2x)2＋3log2x＋2＝(log2x＋eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)，当log2x＝－eq\f(3,2)时，f(x)的最小值为－eq\f(1,4).2．答案：2解析：∵lga、lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，Δ＝16－8>0，∴lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2)，∴(lgeq\f(a,b))2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝4－4×eq\f(1,2)＝2.3．解析：因为a，b，c为正实数，ax＝by＝cz，设ax＝by＝cz＝k>0，由指数与对数的互换，结合换底公式化简可知，ax＝k，所以x＝logak＝eq\f