数列习题8（较难）

2015-2016学年度???学校3月月考卷

试卷副标题

1.(2013•湖州二模)定义-------n--------为n个正数Pt,P2,…p”的”均倒数”.若

P1+p2+-+pn

已知数列'｝的前n项的“均倒数”为-L-,又b二冤三，则

2n+l%4

---+—-—+…+——-——=()

blb2b2b3blCbll

A.AB.XC.卫I).皂

11101112

【答案】C

【解析】

试题分析：由已知得ai+az+…+an=n(2n+l)=Sn,求出S”后，利用当n22时，an=Sn-Sn

即可求得通项演，最后利用裂项法，即可求和.

解:由己知得---------------

al+a2+"'+an2n+l

+，,

/.ai+a2*+an=n(2n+l)=Sn

当n22时，an=Sn-Sn-i=4n-1,验证知当n=l时也成立，

an=4n-1,

・入an+1

•,bn=yf

・1=1_1

..bnA+Jnn+1

(i-A)+(1-_1)+(A--1)+•«•+

(W-A)

blb2b2b3b10bll2233411

1.10

1111

故选c.

考点：类比推理.

1

2.已知｛q｝是首项为1的等比数列，S”是｛q｝的前〃项和，且9s③=§6,则数列，

的前5项和为()

【答案】B

【解析】

试题分析：设公比为％则—「)二」■,」-是首项为1,公比为1

91所以q=2.

]_q\-q2

1-(-)

31

的等比数列；所以数列1的前5项和为二与■.故选c

16

考点：1.等比数列；2.等比数列的前〃项和.

3.数列m〃｝满足：>2/(〃>£N"),给出下述命题:

①若数列｛2｝满足：生>q,则an>aH_i(n>GN")成立；

②存在常数c,使得%>c(〃wN*)成立；

③若p+"〃z+〃(其中p,q、m,〃wN\则与>禺>/+2；

④存在常数d,使得凡>«+(〃-1)4(〃sN')都成立.

上述命题正确的是—.(写出所有正确结论的序号)

【答案】①④.

【解析】

试题分析：对①；因为出>%,所以4,一%>0,由已知>4“一%_],

所以4+1-勺…>%-4>0，即正确

对②:假设存在在常数。，使得“c,则有(甘，所以%+%应有

最大值，错，

对③，因为〃+q>m+〃，K土幺>丝土巴，所以假设%,+%>《“+%,则应有

巴上>。也，即原数列应为递增数列，错，对④，不妨设q=l，4用一%=〃，则

%-1)+1,若存在常数d,使得〃>〃+(〃—1时，应有“<一8=4,显

2n-\2

然成立，正确，所以正确命题的序号为①@.

考点：数列综合应用.

In4Ina2In%Inan_3n+2

4.已知数列伍〃｝满足2583〃-[2(〃£”)，则修。二()

A.jB.e26C.e%I).ei2

【答案】D

【解析】

InaIna,InaIn的29

----x---y-••••-=--

试题分析：〃=9时，2---5----8------26--2.

Inq\na2In%In%Inaw32

当〃=10时，25826292

---^-^=16

所以229,解得ln%o=32,.•.40=e32.故D正确.

考点：数列.

5.已知函数/(〃)=〃2cos(〃/T),且。“=/5)+/5+1),则4]+4+。3+…+4100=

A.0B.-100C.100D.10200

【答案】B

【解析】

-1⑺为奇数）

试题分析：,//(n)=zi?cos(m)=<=(-l)n/r,由

〃2（n为偶数）

4=4)+/(〃+1)

=(-l)rt.n2+(-l)n+，+1)2=(-If[n2-(n+1)2]=(-l)，，+，42/2+1)得

4+生+%+―+%=

3+（-5）4-7+（-9）+...=50x（-2）=TOO,故选B.

考点：1、分段函数的解析式求法及其图象；2、数列求和.

6.已知数列｛g｝的前八项和为，，若数列｛%｝满足各项均为正项，并且以（%,?；）（n

END为坐标的点都在曲线4y=3/+胃工+"为非o常数）上运动，则称数列｛（,〃｝

为“抛物数列”.已知数列｛2｝为“抛物数列”，则（）

A.仇｝一定为等比数列

B.｛〃｝一定为等差数列

C.｛'｝只从第二项起为等比数列

D.｛"｝只从第二项起为等差数列

【答案】B

【解析】

试题分析：由已知条件可知，若数列｛2｝为“抛物数列”，设数列»”｝的前〃项和为?；，

则数列｛"｝满足各项均为正项，并且以（2,7；）（neN-）为坐标的点都在曲线

ay=^x2+暴+/?,（々为非0常数）上运动，即*=£也2+/b“+b,当〃=1时，

a工)ar.ai)at.a1>a*.八―

aT]=—­+—•Z?)+Z?=>wZ?!=—•+—•/?(+Z?=>—•Z?1--—•/?!+Z?=0=>tz•/?)*■-tz•Z?)+2Z?=0,

2

„„.a+^Ja-Sab当时，由也=二由:+二也+4及

即瓦=2an>2

皿1=彳也_：吟力0两式相减得

a也=微,（V_b〃_；）+£伍一^-i）=>|*,：_bn_；）'（"+%）=0,由各项

均为正项，可得％—%_1=1（〃之2）,由等差数列的定义可知｛4｝一定为等差数列

考点：新定义数列，等差数列的定义

7.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线/+匕=1的离心率是（）

m

A.立B,石C.B或1D.立或&

2222

【答案】D

【解析】

试题分析：依题意可知m=土及彘二±4,当m=4时，曲线为椭圆，a=2,b=l,则c=百，

c耶

e=—=——

a29

当m二・4时，曲线为双曲线，a=l,b=2,c=质则，e二石.故选D.

考点：圆锥曲线的共同特征；等比中项.

8.函数/（力=/+云的图象在点处的切线与直线3工一>+2=0平行，若

数歹。的前〃项和为S“,则^2015=()

小

2013,20142015

A.1C.------D.------

201420152016

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意知函数/（x）=f+法的图象在点处的切线的斜率为

k(l)=2x+〃|y=2+人=3,所以〃=1,----=--------=-(--------),贝

f(nJn2+2n2nn+2

2015

故D为正确

2016

答案.

考点：1、导数的几何意义：2、数列求和.

9.已知｛〃”｝为等差数列，S”为其前几项和.若生+为=18,4=7,则号0二（）

A.55B.81C.90D.100

【答案】I）

【解析】

[2a+8片J=18，叫CL=I

试题分析：设等差数列的公差为d,由题意得1/3,，所以

d=2

1（）x9

S10=106Z,+-------1=10x1+45x2=100,故答案为D.

考点：1、数列的通项公式：2、数列的前〃项和.

10.已知数列｛a“｝的前n项和工二/，等比数列出3bpa）,bi是a”与as的等差中项.

（1）求数列｛a｝,｛bj的通项公式;

（2）记Cn=an*bn,求数列&｝的前n项和L.

【答案】⑴arfn-l,L=2^7；⑵Tn=3+（2。-3）・2”

【解析】

试题分析：（1）求出数列｛a.,1的首项a,,利用仑2,

a二S-S^^n2-（n-l）2=2n-l，求出通项公式，然后求解人二2八一！

nnnin

（2）化简c产ajbn,利用错位相减法求解数列的｛cj的前n项和Tn.

解：（1）数列｛&｝的前n项和s所以a尸Si=l…（1分）

22

n22,an=Sn-Sn-^n-（n-l）=2n-l-（2分）

当n=L也满足aNn-I…（3分）

所以"二2n-l,n€N”…《分）

bi=ai=l,2bt=ai+a5=7+9,所以b‘=8,…（6分）

3,

b4=b1*q=8所以q=2，所以bn二2“一（7分）

⑵%二a/b；（2n7）”…，

%二1・2°+3・21+5・22+-+（211-1）・211-1（3>”（8分）

123

2Tn=l-2+3*2+5*2+-+（2n-1）・2啮…（9分）

①式减去②式得：

123n1

-Tn=l-2°+2-2+2-2+2-2+-+2*2~-（2n-1）•2”…（10分）

o2（1一QH-1）

-T=14-^--——-------（2n-1）・2^-3-（2n-3）・2"…（11分）

n1-2

,Tn=3+（2n-3）•2”…（12分）

考点：数列的求和.

11.已知数列伍”｝中，对任怠的〃EN",若满足4”+/+]+%+2=s（S为常数），则

称该数列为3阶等和数列，其中s为3阶公和；若满足向=f（，为常数），则称该

数列为2阶等积数列，其中，为2阶公积，已知数列｛〃”｝为首项为1的3阶等和数列，

且满足％■=上=2；数列｛/｝为首项为-1,公积为2的2阶等积数列，设S”为数列

PiP\

｛P„•%｝的前〃项和，则52016=__________.

【答案】-7056.

【解析】

试题分析：由题意可知，Pl=1，〃2=2,“3=4,〃4=1，〃5=2,“6=4,

〃7=1，……，又•••｛〃”）是3阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理,

1=T，%=-2,%=-1，夕4=-2,%=-1,%=-2,%=-1,...,又：｛%｝

是2阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列｛〃”•/｝,每

6项的和循环一次,易求出Plq+p2•%+…+〃6=-21,因此$2016中有336组循

环结构，故S,0|6二-21x336=—7056,故填：-7056.

考点：1.新定义问题；2.数列求和.

12.已知数列｛〃“｝中，对任意的nsN*,若满足an+all+i+an+2+an+3=s（s为常数）,

则称该数列为4阶等和数列，其中s为4阶公和：若满足。〃⑶用•q+2=，（/为常数），

则称该数列为3阶等积数列，其中，为3阶公积，已知数列｛〃“｝为首项为1的4阶等和

数列，且满足乙=2=4=2；数列｛%｝为公积为1的3阶等积数列，且

〃3PlP1

设S”为数列（〃〃•%｝的前〃项和，则§2016=

【答案】-2520.

【解析】

试题分析：由题意可知，Pl=1，“2=2,“3=4,=8,〃5=1,“6=2,〃7=4,

Ps=8,P,）=1,Pio=2，P\\=4,P|2二8，p|3=1»...，乂、,｛P"｝是4阶等和

数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，1=-1,%=-1,%=1,知=-1,

%=-1，%=1，%=-1，/=-1，%=1，%0=T，%=-1，夕12=1，

03=-1，……,又•・•｛%｝是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此

可知对于数列｛〃“•%｝,每12项的和循环一次，易求出

Pi4+〃2,%+…+Pi2-912=—15＞因此52016中有168组循环结构，故

520I6=-15X168=-2520,故填：一2520.

考点：1.新定义问题；2.数列求和.

b

(bj满足a1=3,a+bn=L*产n/匚

13.（2015秋•如东县明末）已知数列⑸｝,n—(nG

2

1-an

N*）,贝ijb2O15=

【答案】2015

2016

【解析】

b,=l,从而得到数列｛」^｝是以-2为

试题分析：由己知条件推导出壮片7r

2一12bn-l

首项，-1为公差的等差数列，由此能求出片”.

b

b.l=——--

解：3n十b“=1,且bn+l=------------------n

La：2一、

/ai=~,且a】+bi=l,/.bi=—,

22

1_1

Vbn.F---­=-1,

2一匕bn+l_1bn-1

又••'b产］，—_=-2.

2bl-1

・••数歹心」^｝是以-2为首项，-1为公差的等差数列,

%一1

]n-1,••・、=」一.则b刈F型生

廉-1n+12016

故答案为：2015.

2016

考点：数列递推式.

14.（2015秋•如东县期末）设♦为数列｛叫的前n项之和,若不等式品/+4$/注入n%

对任何等差数列｛an｝及任何正整数n恒成立，则X的最大值为.

【答案】工

2

【解析】

试题分析：由于不等式r?册2+4S；》入a/对任何等差数列a｝及任何正整数n恒成立，

当

X22WO时

利用等差数列的前n项和公式可得n2a2+2（.）2na1，

111nal

化为人“2(亘+工)2+工，利用二次函数的单调性却可得出.

22

解：•・•不等式n凡2+4Sf2入n2a;对任何等差数列｛aj及任何正整数n恒成立,

n(ai+a)

S=--------——--，

n2

/.n2AOpn2\(a।+।a/)2产〉八入n「2aa।

当如r0时，化为人<2(―)2+2—'1=2(―+i)2+工，

a】a।Sj22

当氏-三时，上式等号成立.

2

,入号,

故答案为：工

2

考点：数列的求和.

15.(2015秋•滑县期末)数列瓜｝的前n项和为出，若5产2须・1,则前二.

【答案】2…

【解析】

试题分析：根据已知等式确定出1(n>l),已知等式与所得等式相减，利

用数列的递推式得到数列｛小｝为首项是1,公比是2的等比数列，利用等比数列性质确

定出通项公式即可.

解：•.♦Sn=2an-1①，

=

:.Sn-)2an-1"1②(n>1),

=

①-②得：Sn-Sn-i=2an■2an.1，即an2an-2a…,

a”

整理得：取二2拆7,即一空」

an-l

*.*St=ai=2ai-1,即ai=l,

•••数列｛aj为首项是1,公比是2的等比数歹小

则a尸21.

故答案为：2n"

考点：数列递推式.

1

16.数列｛%｝的通项公式为，其前〃项和Sn=3桓,,则n=

J〃+l+J〃+2

【答案】30

【解析】

1

试题分析：q—+2-5/〃+1，

\ln+\+\fn+2

Sn=a\+生+。3+…+〃”

=(^-V2)+(>/4->//3)+(X/5-V4)+...+(V^+2-5A?+T)=>A?+2->/2.

当S〃=7^3-正=3夜时，解得〃=30.

考点：裂项相消法求数列的和.

【方法点睛】本题主要考查数列求和，难度一般.数列求和常用方法有：公式法，分组

求和法，倒序相加法，裂项相消法，错位相减法.本题采用裂项相消法求和，即将通项

公式先变形为两式差的形式，再求和.

17.若数列｛4｝满足q=lM,z=2%+3,则数列｛册｝的通项公式为.

fl+,

【答案】an=2-3

【解析】

试题分析：•.•〃“+[=2凡+3,/.an+i+3=2an+6,/.(7n+I+3=2(czn+3),

.%+3_t

"+3.

｛q+3｝是首相为4+3=4,公比为2的等比数列.

所以。〃+3=4x2'i=22./.〃“=2w+,-3.

考点：1构造法求数列的通项公式：2等比数列的通项公式.

【方法点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，难度稍大.求数列通项公式的方法常

用的有:观察法，公式法，累加法，累乘法，构造法，取倒数法等.本题应用构造法求

数列的通项公式，即先构造•个等比数列，先求等比数列的通项公式，再求所求数列

｛〃”｝的通项公式.

18.(2015秋•淄博校级期末)已知数列｛&,｝中.ai=La„=anH*a,1+antH则｛aj的通项公式

为.

【答案】

n

【解析】

试题分析：利用a5ama+a”可得确定｛2-｝是以1为首项，1为公差

an+lanan

的等差数列，即可求出｛aj的通项公式.

解：Van=an*i*an+an*i»

・•・｛」-｝是以1为首项，1为公差的等差数列,

故答案为：&

11

考点：数列递推式.

19.（2011•安徽）已知AABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数

列，则△ABC的面积为.

【答案】15加

【解析】

试题分析：因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x,则最大的

边为x+4,最小的边为x-4,根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值

代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的

面积公式即可求出三角形ABC的面积.

解：设三角形的三边分别为x・4,x,x+4,

(x-4)2-(x+4)2

则cosl20°—1,

2x(x-4)2

化简得：x-16=4-x,解得x=10,

所以三角形的三边分别为：6,10,14

则AABC的面积S=」X6X10sinl20°=15^.

2

故答案为：15遭

考点：余弦定理；数列的应用；正弦定理.

20.已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y=3x—x，的极大值点坐标为（b,c）,

则ad等于.

【答案】2

【解析】

试题分析：因为以b、ad成等比数列，所以ad=bc,又了=3—令

y=3-3x2=0,解得瓦=-1,々=1,当一1<%<1时，/>0,当lv*时，/<0,

所以函数在x=l时取得极大值2.所以儿=2,所以答案应填：2.

考点：1、等比数列性质；2、函数的极值；3、导数的应用.

【方法点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和利月导数求函数的极大值，属于中档

题.研究函数极值时，首先要对函数求导数，然后分析导函数的零点，再根据零点把定

义域分成几个区间，分别研究导函数在各区间的正负，进而得到函数在各区间的增减性,

根据增减性写出函数的极值，注意区分极值和极值点的差别.

21.已知等差数列｛an｝的首项q=20,公差d=-2,则前〃项和S”的最大值为____.

【答案】110

【解析】

试题分析：因为等差数列｛凡｝的首项4=20,公差d=—2,代入求和公式

得，S“-20〃+“(,)x(一2)=一〃2+19〃,又因为〃£N*，所以〃=10或〃=11

时，S,t取得最大值，最大值为110.

考点：等差数列前〃项和公式.

22.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6

的坐标分别对应数列｛q｝(〃£9■)的前12项，如下表所示:

aiasS384»5asa?asa9aio«i1»12

XIyiX2y：X3Y3X4Y4X575«6ye

按如此规律下去，则O2.)13+^2014+«2015=-

【答案】1007

【解析】

试题分析：由题意得：

qa2%4%4%“8%a\o0

i1-1223-2435-36

因此,%_3+GT=°，〃WN"，从而

“2013+/014+^2015=“4x504-3+4x1007+“4x504-1=1007.

考点：数列规律

23.已知数列｛4｝中，q=1Q川=_%(〃£*)

C1।D

(1)求证:，是等比数列，并求｛4｝的通项公式

(2)数列也｝满足"=(3〃—1).最吗，求数列也｝的前n项和为，

【答案】(1)证明见解析；an=-=—x(2)7；=4--^

【解析】

试题分析：(1)本题给出条件式子较复杂，要把握好证明中式子的结构，从等比数列的

定义出发，

合理对式子变形进行证明.知公比和首项，可求出通项公式.

⑵给出新数列｛〃｝结合(1),对d=(3"-1)•二q化简，易发现为等差与等比商

式，

联系错位相减法(注意第二个式子所乘的因数为公比1进行求和，可得.

-^(〃WN*),得_!_=^^^^12=2_+1,

试题解析：（1）证明：由/+1

4+3-atla„

L+'=3（」-+L）所以数列]_!_+,是以3为公比，以（_L+_L）=3

向2q2[atl2]422

Ii72

为首项的等比数列，从而一+—=巳'3"7=4=——

n

alt223-1

n(二1''2'*3*/+-+(〃-1)><1+〃*£

⑵b,二

2n

T11]1

=1X―-4-2X--4-•••4-(/7-1)X----4-7?X—，两式相减

22,22/2'12〃

^,711111c〃十2

22°2'222〃TTT

n+2

・

U=42〃T

考点：（1）等比数列的定义及代数变形能力.（2）错位相减法.

24.已知数列｛凡）的前n项和5„=-n2+-n.

22

（I）求数列的通项公式;

（H）记<二岁旦，若对于一切的正整数〃，总有7；4加成立，求实数小的取值范

围.

27

【答案】（I）凡=3〃（II）m>—

2

【解析】

试题分析：（I）由4=1S：〃=l.利用S.=2/+，能求出an=3n；（II）先求出

[Sn-Srt-P«>2。22

,二9〃（7）再求出伍｝中的最大值为（=（=孑，由此能求出实数m的取值范围

试题解析：（I）当〃22时，S„,=-（A?-1）2+-（A?-1）,

22

/.a=Sn-Sn.=3n,

又n=\时，ax=S｝=3满足上式，

所以4”=3〃.

9（〃+1）（〃+2）

（H）T二一=2向二〃+2,

“一TTT“~9〃（〃+l）-2n，

T

当〃=1,2时，Tit+]>Tn,

当〃23时，〃+2<2〃=>Tn+l<Tn,

27

•，・〃=1时，7；=9,〃=2,3时，T2=T3=—,

〃之4时，U

77

，｛工｝中的最大值为［=（=&■.要使7；Wm对于一•切的正整数〃恒成立，只需

27,

—<m,

2

.、27

••mN—.

2

考点：1.数列的求和；2.数列递推式

25.己知数列的前〃项和S,=-n2+-〃.

22

（I）求数列｛q｝的通项公式；

（H）记（=号叱，若对于一切的正整数〃，总有r“工，〃成立，求实数加的取值范

围.

（in）设纥为数列物,｝的前〃项的和，其中a二2册，若不等式q对任意

的恒成立，试求正实数/的取值范围.

?78

【答案】（I）4=3〃（II）m>—（III）t>—

221

【解析】

试题分析：（I）由4=°'；c利用邑二3〃2+上〃能求出an=3n；（II）先求出

瓜-S,i，〃N222

方二"二”再求出｛1｝中的最大值为4=1=幺，由此能求出实数m的取值范围；

（III）由"=23"=8"=纥由此能求出正实数t的取值范围

33

试题解析：（I）当时，=

4-S”-S"_1一3n,

又时，q=S1=3满足上式，

所以an=3〃.

9（〃+1）（”+2）

（H）7=474，加_9，（〃+1）=*=2向二〃+2,

n

”~22“Tn-9〃（〃+1）-2n，

2"

当〃=1,2时，Tn+l>T„,

当〃23时，〃+2<2〃=>Tn+l<Tn,

27

•，・〃=1时，7；=9,〃=2,3时，T2=T3=—,

〃之4时，U

77

:.{Tn}中的最大值为7；=冤=&■.

77

要使7；W机对于一切的正整数〃恒成立，只需一工加,

2

.、27

••机2—.

2

(III)bit=2?”=8-8〃)=§⑻=1),

"〃1-87

乳8"-l)Tx8"]

将4代入J"t?化简得,---------<--(-*)

纥+i+也用16河8”,+i_816

-7

vr>0,/.f-+r|88

n+1>-,

(7J7

Q

所以(*)化为2r16x(8”-1)-8"由<3/x8n+l,

7L-

8[16x(8n-l)-8n+,+l]

整理得r>

21x8”

Q/1C\

/./>—1-一，对一切的正整数〃恒成立,

2118,,+|)

易知i—E随〃的增大而增大，且Wh—Hcg,

8n+,2118,,+,)21

21

考点：1.数列的求和；2.数列递推式

2

26.已知数列⑸｝的前n项和Sn=-/2+-/z,

(1)求通项公式％;

(2)令々=%•2"T，求数列也｝前n项的和7；.

【答案】(1)an=n(2)4=(〃-1)2+1

【解析】

fS.（n=\]

试题分析；（1）由数列S“求数列的通项公式主要采用1/7求解，最

区』（〃22）

后验证/是否满足〃之2的通项公式；（2）由巴可得到数列出｝的通项公式

hlt=〃・2"T,根据特点可采用错位相减法求和

试题解析：（1）当n22时，a“=S“-S,i=〃

乂4=$=1,也满足上式,所以％=〃（〃eN*）

（2）2=q27=〃21,所以7；=1乂1+2*2|+3x22+...+/?-2n-1,

27；,=1x2'+2x22+3x23+...+（/?-l）-2fl-1两式相减，得

-7；=1+2+2?+…+2M一小2"=———---n-T=T-\-n-T

"1-2

所以，7；=（w-l）2rt+l

考点：1.数列求通项公式；2.错位相减法求和

27.Sn为数列｛〃〃｝的前n项和.已知an〉O,+2a”=4S〃+3

（I）求｛可｝的通项公式：

（II）设〃=—!—，求数列仇｝的前n项和7；

n

【答案】（I）a=2n+\（H）T.=--------

t"l"3（2〃+3）

【解析】

试题分析：（I）通过q2+2%=4工+3与%.「+2〃向=4SN+3作差可知

“=2,进而可知数列｛%｝是以3为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论;

1（11、

（H）通过（I）可知q=2〃+1,裂项可知/=--------------，并项相加即得

212〃+12/7+3）

结论

试题解析：（I）由/2+2/=4S〃+3,可知4j+2凡X=4S“H+3.

可得4用2—4：+2（4+-4）=4^“，即

2（%-。）=%2一《2=（4川+凡）（4用—4）

由于。”>0,可得%+「%=2.又a「+2q=4%+3,解得％=-1（舍去），4二3

所以｛4｝是首项为3,公差为2的等差数列，通项公式为。“=2〃+1.

1.11______

(II)由勺=2〃+1可知,

4,4+1(2〃+1)(2〃+3)2(2〃+12〃+3

设数列仇｝的前〃项和为小则

1

+-

2-

考点：1.数列求通项公式；2.数列求和

28.已知数列｛〃“｝的前n项和S”=2一%,数列｛%｝满足b】=l,b.i+b7=18,且

+%i=2"（心2）.

（1）求数列｛明｝和｛“｝的通项公式；

（2）若%=%,求数列｛%｝的前n项和7；.

凡

n

【答案】（1）。“=上,么=2〃-1：（2）Tlt=（2n-3）-2+3.

【解析】

试题分析：（1）根据公式L\由S”=2-4可求得当2时

%二工〃,“即，£=]_,由等比数列的定义可知数列｛/｝为等比数列，根据等比数列

24-2

的通项公式可求得%.因为2_|+2+|=22522）,由等差中项可知数列｛a｝是等差

数列，根据已知可求得其公差，从而可得其通项公式4.（2）分析可知应用错位相减

法求数列｛%｝的和.

试题解析：解：（1）由题意S〃=2-凡，①

当〃22时，S,“=2—4,1，②

©■②得%=5〃-Si=4-1一。…即

乂q=S]=2—q,q=1,

故数列｛为｝是以1为首项，工为公比的等比数列，所以〃“=与：

2

由匕1+2山二22522）知，数列｛4｝是等差数列，设其公差为d,

则d二g(4+打)=9,所以c/=^^L=2,2=々+(〃-1)〃=2〃-1；

综上，数列｛4｝和也」的通项公式为%=白力”=2〃一1.

(2)二二二-2〃-1).2"，

1=q+C2+G+…+。〃③

=lx20+3x2l+5x22+..-+(2/7-l)x2n-1,

27；=lx21+3x22+...+(277-3)x2n-,+(2/?-])x2/,,④

③一④得：-7；=1+2(2'+22+23+..-+2,,_,)一(2〃-1)•2”，

2-2M

整理得：—7；=l+2x------(2〃-1)・2"=—(2〃-3),2”一3,

1—2

所以北二(2〃-3>2"+3.

考点：1求通项公式；2求数列的和.

29.设｛%｝是公比大于1的等比数列,S”为数列⑸｝的前n项和.已知S3=7且句+3,3M

创+4构成等差数列.

(I)求数列｛aj的通项公式；

(II)令b“=ln&”n=l,2,­­•,求数列(bj的前n项云口T”.

]

【答案】(I)an=2"~；(II)7；/5+%n2.

2

【解析】

试题分析：(I)由于｛%｝是公比大于1的等比数列，§3=7且4+3,3。2，%+4构成等

差数列，不难构造基本量4应的方程组，通过解方程组求得卬国的值，进而求出通项

公式；(II)把第(I)向求得％的代入。化简可得仇二(〃—l)ln2,显然是等差数列,

通过等差数列的前〃项和公式即可得解.

试题解析：(I)设⑸｝是公比q大于1的等比数列，,・2+3,3a2,as+4构成等差数列,

6d2=ci3+4+ai+3»化为6uiq=a[夕2+7+ui,X83=011(l+q+q")=7,

n

联立解得a1=l,q=2..*.an=2''.6分

(II)b.Flna=(n-1)ln2,:.数列｛b,J的前n项和T产"丫)g2.12分

n乙

考点：等比数列的通项公式及等差数列的前〃项和.

f

30.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且25.一4+=25,f_I+t/n-1(n>2,neN).

(1)证明：数列｛24-1｝为等差数列;

(2)若4=1,巴=3也=----------------，求数列｛或｝的前〃项和为T.

(2%+l)(2a〃+l)n

【答案】(1)证明见解析；(2)

2/1+3

【解析】

试题分析：(1)由2S,,-^+1=25,,.,+(n>2,neN*),整理得

24-1=%+%一1，从而得到2(24-1)=(2*-1)+(24--1)，根据等差数列

的定义可证明此为等差数列；(2)求出数列数列的首项与公差，求得数列｛与｝

的通项公式，再得到数列»”｝的通项公式，利用裂项求和.

试题解析：⑴Q2\-«n+I=2\_,+(n>2,nGN,),

Q24-〃“+I=q-(n22,nwN‘)

•••2a“7=%+%_[

2(2%-1)=(2g+]-1)+(2可_1-1)

所以数列｛2凡-1｝为等差数列.

(2)由(1)知数列｛2%-1｝为等差数列

Q%=1,%=3,.,.a2=2

所以数列｛24-1｝…的公差d=(2x2-l)-(2xl-l)=2

2^,-l=2xl-l+2(n-l)

〜36

Qb=----------------------

n(2。e+1)(2%+1)

”,二一生一二取二一--L)

(2n+l)(2n+3)2〃+12〃+3

132〃+3j2/i+3

考点：等差数列的定义与通项公式；数列求和.

31.已知各项都不相等的等差数列｛凡｝的前6项和为60,且。$为可和66的等比中项•

(1)求数列伍’的通项公式：

（2）若数列｛4｝满足“+「包=/5£叱）＞=〃（〃+2）,且）=3,求数列｛1｝的

a

前n项和Tn.

3/72+5〃

【答案】（1）勺=2〃+3；（2）T=

n4(〃+1)(〃+2)

【解析】

试题分析：（1）根据等差数列的前〃项和公式及等比中项的概念联立方程组，可建立首

项和公差的一元二次方程组，解出首项和公差，写出通项公式；（2）因为

bn+i-bn=atl=2/?+3,故可采取累加法，求得b”=〃(〃+2),从而

—=—