新高考数学二轮复习对点题型第3讲平面向量的线性运算（学生版）

第三讲平面向量的线性运算真题展示2022新高考一卷第三题在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0试题亮点（1）试题考查考生对平面向量基础知识的理解与掌握，试题解法多样，既可以利用平面向量的线性运算按部就班地推演得到答案，也可以利用三角形的几何性质直观地看出问题的答案.（2）试题虽较为简单，但设计精巧，为不同思维水平的考生提供了发挥的空间.（3）试题给定了两个基向量CA，CD，由此可以唯一确定其他向量的代数表示.在高中数学教学中，教师可以引导学生研究此类问题.这种代数表示的系数实际上是仿射坐标系中的坐标，如试题中CB=-2CA+3CD表示了CB相对于坐标原点为C.在基向量为CA和CD的坐标系中，CB的坐标分别是-2和3.教师在指导学生研究此题时，还可以引导学生考虑其他基向量下CB的坐标表示或者其他向量的坐标表示，以此提高学生对平面向量基本定理深刻且全面的理解．试题在考查三角形和平面向量必备知识的同时，意在引导高中数学教学对平面向量基本定理的深刻理解与把握，引导学生要对向量几何有深刻的理解和把握.知识要点整理一.平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的向量a，实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．二、两向量的夹角与垂直1．夹角：已知两个a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．当θ＝0时，a与b；当θ＝π时，a与b反向．2．垂直：如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.三、向量数量积的定义已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?答案在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.四、投影向量1．如图，设a，b是两个非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b的，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．2．如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.五、平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b||a||b|.三年真题1．已知向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．4 D．52．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P为SKIPIF1<0所在平面内的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．64．已知向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．25．在SKIPIF1<0中，点D在边AB上，SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知非零向量SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件7．（多选）已知O为坐标原点，过抛物线SKIPIF1<0焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（多选）已知SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．设点P在单位圆的内接正八边形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围是_______．10．已知向量SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______________．11．设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．12．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0_______．13．已知平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.记向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影分别为x，y，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为z，则SKIPIF1<0的最小值为___________.14．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．15．若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.16．已知向量SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．17．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．四、双空题19．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，SKIPIF1<0且交AB于点E．SKIPIF1<0且交AC于点F,则SKIPIF1<0的值为____________；SKIPIF1<0的最小值为____________．三年模拟一、单选题1．已知圆SKIPIF1<0的弦AB的中点为SKIPIF1<0，直线AB交y轴于点M，则SKIPIF1<0的值为（

）A．4 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．设SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则满足条件的k的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．25．已知O是SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0，则实数m的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题7．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.8．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．10．如图，在SKIPIF1<0中，点D、E是线段BC上两个动点，且SKIPIF1<0，，则SKIPIF1<0的最小值为______.11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是___________.12．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是_____________．13．已知向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为锐角，且SKIPIF1<0，任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为______．14．已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，S