四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案及解析

秘密★启用前嘉陵一中高2023级高二上期第一次月考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（）A. B. C.3 D.2.空间中有三点，，，则点P到直线MN距离为（）A. B. C.3 D.3.三棱锥中，点面，且，则实数（）A. B. C.1 D.4.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（）A. B.C. D.5.已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（）A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.96.如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（）A. B. C. D.7.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（）A. B. C. D.8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知事件，满足，，则下列结论正确的是（）A. B.如果，那么C.如果与互斥，那么 D.如果与相互独立，那么10.已知空间中三点，，，则下列说法正确是（）A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是C.和夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是11.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（）A.当点是中点时，直线平面；B.直线到平面距离是；C.存在点，使得；D.面积的最小值是三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______.13.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为______.14.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______.四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量，且．（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值．16.如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离．17.第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，a，b，通过初赛后，甲、乙、丙3位选手通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．其中，甲乙两人都能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为，乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为.（1）求a，b的值；（2）求这3人至少一人参加市知识竞赛的概率；（3）某品牌商赞助了A社区这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，通过了初赛并参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．18.某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.19.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面.（1）求证：平面；（2）若，点在棱上，且二面角的大小为.①求证：；②设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

秘密★启用前嘉陵一中高2023级高二上期第一次月考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根据空间坐标系中的对称性求得点的坐标，计算即得的坐标和模长.【详解】因点关于y轴的对称点为，，则，故.故选：C.2.空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.因为，故，,所以点到直线的距离为.故选：A3.三棱锥中，点面，且，则实数（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解.【详解】由题意三棱锥中，点面，且，所以，解得.故选：D.4.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的几何体，利用已知的空间基底表示向量.【详解】在空间四边形中，.故选：B5.已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（）A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.9【答案】B【解析】分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案.【详解】因为事件与事件互为对立，所以，因为事件与事件互斥，则，故选：B6.如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，所以设向量与的夹角为，则，所以直线和夹角的余弦值为，故选：C．7.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据6根算筹，分为五类情况：，逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率.【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为一共五类情况；第一类：，即十位用5根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是5或者9，个位为1，则两位数为51或者91；第二类：，即十位用4根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是4或者8，个位可能为2或者6，故两位数可能42，46，82，86；第三类：，即十位用3根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7，个位可能为3或者7，故两位数可能是33，37，73，77；第四类：，即十位用2根算筹，个位用4根算筹，那么十位为2或6，个位可能为4或者8，则该两位数为24或者28或者64或者68，第五类：，即十位用1根算筹，个位用5根算筹，那十位是1，个位为5或者9，则两位数为15或者19；综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共计16个，则不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共计8个，故概率为，故选：B.8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，易得，，，因为平面，平面，所以平面，同理平面，又因为平面，，所以平面平面.因为平面，所以H为线段FG上点.由平面，平面，得，又，则，由平面，得平面，因为，所以平面，，.因为，所以，，.所以.因为，所以.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解.二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知事件，满足，，则下列结论正确的是（）A. B.如果，那么C.如果与互斥，那么 D.如果与相互独立，那么【答案】BCD【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项.【详解】A选项：当与相互独立时，，A选项错误；B选项：若，则，B选项正确；C选项：与互斥，那么，C选项正确；D选项：如果与相互独立，那么，D选项正确；故选：BCD.10.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（）A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是C.和夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是【答案】BD【解析】【分析】利用空间向量共线可判断A；求出与同向的单位向量可判断B；求出和夹角的余弦值可判断C；求出平面的一个法向量可判断D.【详解】对于A，，，因为，所以与不是共线向量，故A错误；对于B，，与同向的单位向量是，故B正确；对于C，，，，所以和夹角的余弦值是，故C错误；对于D，，，设为平面的一个法向量，则，，令，可得，所以平面的一个法向量是，故D正确.故选：BD.11.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（）A.当点是中点时，直线平面；B.直线到平面的距离是；C.存在点，使得；D.面积的最小值是【答案】AC【解析】【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D.【详解】对于A，由是中点，，得点是中点，连接，显然也是的中点，连接，于是，而平面，平面，所以直线平面，A正确；对于B，分别是棱的中点，则，平面，平面，于是平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h，，，，，由，得，B错误；以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,对于C，设，则，，，，由，得，解得，由于，因此存在点，使得，C正确；对于D，由选项C得在的投影点为，则P到的距离，面积为，所以当时，取得最小值为，D错误.故选：AC三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可求解.【详解】由条件可得，，所以在方向上的投影向量的坐标为.故答案为：13.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为______.【答案】【解析】【分析】利用相互独立事件以及对立事件的概率公式计算即可.【详解】依题意，李华3道题都没有答对的概率为，所以李华最终通过面试的概率为.故答案为：.14.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得，借助二次函数，求出最小时对应的的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可.【详解】以原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，所以，所以，当时，最小，此时，为中点，则，取的中点，连接，则，因为，，所以，，所以是平面与平面的夹角或其补角，因为，，所以，所以平面与平面夹角的余弦值是，所以平面与平面夹角的正弦值是．四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量，且．（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值．【答案】（1）9；（2）.【解析】【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可；（2）结合（1）可得，，再由夹角公式求解即可.小问1详解】解：因为，所以，解得，所以，则，所以；【小问2详解】解：，，，设向量与夹角为，所以，所以向量与夹角的余弦值为．16.如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可．【小问1详解】证明：因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，故平面；【小问2详解】由于平面，所以平面，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，所以，设平面的法向量为，则，令，则，，故，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为；【小问3详解】因为，又平面的法向量为，所以点到平面的距离为．17.第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，a，b，通过初赛后，甲、乙、丙3位选手通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．其中，甲乙两人都能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为，乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为.（1）求a，b的值；（2）求这3人至少一人参加市知识竞赛的概率；（3）某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，通过了初赛并参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）先计算出这三人各自能参加市亚运知识竞赛的概率，再利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）结合（1）问，利用对立事件的概率公式计算即可；（3）计算出三人中有两人通过初赛的概率，再利用概率的加法公式计算即可.【小问1详解】甲能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；乙能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；丙能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；由于他们之间通过与否互不影响所以甲乙两人都能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率，解得：，乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为，解得：，【小问2详解】结合（1）问可知：这3人都不能代表A社区参加市知识竞赛的概率:，所以这3人至少一人参加市知识竞赛的概率为：.【小问3详解】由题意可得：要使奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，记“甲，乙，丙三人获得的奖金之和为1200元”为事件B,则.18.某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲