甘肃省武威第十八中学高三数学上学期第三次月考诊断试题文

甘肃省武威第十八中学2020届高三数学上学期第三次月考诊断试题文一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，则()A．B．C．D．2.若a为实数，且eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，则a＝()A．－4B．－3C．3D．43.下列函数中，定义域是且为增函数的是()A． B．C． D．4.已知命题p：;命题q：若,则a<b.下列命题为真命题的是()A．B.C.D.5.已知，且为第三象限角，则的值等于()A.eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C.－eq\f(24,7)D．eq\f(24,7)6.已知函数，则的值是（）A.B.C.D．7.设，向量且，则（）A.B.C.D.8.要得到函数的图象，只需将函数的图象()A．向右平移eq\f(π,12)个单位B．向左平移eq\f(π,12)个单位C．向左平移eq\f(π,3)个单位 D．向右平移eq\f(π,3)个单位9.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A.B.C.D.10.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.1盏 B.2盏 C．3盏 D．9盏11.设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（）A．1B-1C．2D．212.已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知是奇函数，且当时，，那么________.14.已知向量，的夹角为60°,,,则________.15.已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是________.16.已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点个数为________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本题满分10分)记为等差数列的前n项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)求，并求的最小值．18.(本题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.①求C；②若c＝eq\r(7)，△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，求△ABC的周长．19.(本题满分12分)已知是各项均为正数的等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)为各项非零的等差数列，其前项和为.已知，求数列的前项和.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，.(1)若，求的值；(2)若与的夹角为eq\f(π,3)，求x的值．21.(本题满分12分)已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数的定义域为(0，＋∞)．(1)设，求函数f(x)的图象在点处的切线方程；(2)判断函数的单调性．22.(本题满分12分)已知常数，.(1)当＝－4时，求的极值；(2)当的最小值不小于时，求实数的取值范围．

高三数学答案选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BDDBDCBACCBA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)（文科）13.1；14.2eq\r(3);15.1;16.10（理科）13.314.2eq\r(3);15.1;16.10三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(本题满分10分)解(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9(n∈N*)．………..5分(2)由(1)得Sn＝eq\f(a1＋an,2)·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.………..5分18.(本题满分12分)[解]①由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3)...............................................6分②由已知得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),2).又C＝eq\f(π,3)，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋eq\r(7).……..12分19.(本题满分12分)解：(1)设{an}的公比为q，由题意知a1(1＋q)＝6，aeq\o\al(2,1)q＝a1q2.又an＞0，解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.………..5分(2)由题意知，S2n＋1＝eq\f(2n＋1b1＋b2n＋1,2)＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝eq\f(bn,an)，则cn＝eq\f(2n＋1,2n)，因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝eq\f(3,2)＋eq\f(5,22)＋eq\f(7,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n－1)＋eq\f(2n＋1,2n)，又eq\f(1,2)Tn＝eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋eq\f(7,24)＋…＋eq\f(2n－1,2n)＋eq\f(2n＋1,2n＋1)，两式相减得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(3,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n－1)))－eq\f(2n＋1,2n＋1)＝eq\f(3,2)＋1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1－eq\f(2n＋1,2n＋1)＝eq\f(5,2)－eq\f(2n＋5,2n＋1)，所以Tn＝5－eq\f(2n＋5,2n).………..12分20.(本题满分12分)解(1)因为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，因为0<x<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)<x－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)，所以x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12).21.(本题满分12分)解：(1)∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，∴f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上单调递增．∴当a≤1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞1时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，∴当0＜x＜lna时，f′(x)＜0，当x＞lna时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞1时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．22.(本题满分12分)解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(a,x)＋2＝eq\f(a＋2x,x).当a＝－4时，f′(x)＝eq\f(2x－4,x).∴当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln2，无极大值．…….6分(2)∵f′(x)＝eq\f(a＋2x,x)，∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a<0时，由f′(x)>0得，x>－eq\f(a,2)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))上单调递增；由f′(x)<0得，0<x<－eq\f(a,2)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)))上单调递减．∴当a<0时，f(x)的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝alneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\