湖北省宜昌市高三4月调研考试数学（文）试题

宜昌市2018届高三4月调研考试数学（文史类）第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.设全集，集合，，则（）A．B．C．D．2.若复数是纯虚数，其中是实数，则（）A．B．C．D．3.下列命题正确的是（）A．命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；B．命题“若，则”的逆否命题为真命题；C．“”是“”成立的必要不充分条件；D．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.4.已知数列满足，且，则（）A．3B．3C．D．5.《世界数学史简编》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．6.把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A．图象关于直线对称B．在上单调递减C．图象关于点对称D．在上单调递增7.实数，满足约束条件，则的最大值是（）A．0B．-2C．28.函数的图象大致是（）A．B．C．D．9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14B．15C．16D．1710.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．B．C．D．1211.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12.若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.13.平面向量，，若向量与共线，则．14.某医院随机抽取20位急症病人家属了解病人等待急症的时间，记录如下表：等待急症时间（分钟）频数48521根据以上记录，病人等待急症平均时间的估计值分钟．15.已知底面是直角三角形的直三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是．16.高斯函数又称为取整函数，符号表示不超过的最大整数.设是关于的方程的实数根，，.则：（1）；（2）.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，角、、的对边分别为、、，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，的面积为，求的值.18.在四棱锥中，，，，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若点在线段上，且，求三棱锥的体积.19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据：月份123456不“礼让斑马线”驾驶员人数120105100859080（Ⅰ）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让斑马线”的驾驶员人数与月份之间的回归直线方程；（Ⅱ）若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据（Ⅰ）中的回归直线方程，判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”？（Ⅲ）若从表中3、4月份分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的两人恰好来自同一月份的概率.参考公式：，.20.已知倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线相交于、两点，且.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、.如果直线与的斜率之积等于1，求证：直线经过一定点.21.已知函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）当，时，证明：；（Ⅱ）当时，讨论函数的极值点的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修44：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为.以极点为原点，极轴方向为轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，且）.（Ⅰ）写出圆的极坐标方程和直线的普通方程；（Ⅱ）若直线与圆交于、两点，求的最小值.23.[选修45：不等式选讲]设不等式的解集为.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

宜昌市2018届高三4月调研考试数学（文科）参考答案一、选择题15:CBBAA610:DDACC11、12：DA二、填空题13.14.7.615.16.（1）2；（2）三、解答题17.解：（Ⅰ）方法一：由余弦定理可得，整理得：，即，又为三角形的内角，∴.方法二：由正弦定理可得：，，，，又为三角形的内角，.（Ⅱ）由题意：，在三角形中：，即，联立①②解得.18.（Ⅰ）证明：取，的中点分别为，，连接，.∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴.∵平面平面，平面平面，∴平面，而，∴①又∵，，，∴四边形为正方形，且，∴，即②由①②及得：面，又∵面，∴，又∵，，∴面，而面，∴.（Ⅱ）过点作于，则面且，（或由（Ⅰ）得面，）19.解：（Ⅰ）依题意，，，，∴关于的线性回归方程为：.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，.，故6月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.（Ⅲ）设3月份选取的4位驾驶的编号分别为：，，，，从4月份选取的2位驾驶员的编号分别为，，从这6人中任抽两人包含以下基本事件：，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件，∴所求概率.20.解：（Ⅰ）由题意可设直线的方程为，令，.联立得，∴，根据抛物线的定义得，又，又，∴，∴.则此抛物线的方程为.（Ⅱ）设直线的斜率为，则直线的斜率为.于是直线的方程为，即，联立得，∴，则，∴，同理将换成得：，∴.则直线的方程为，即，显然当，.所以直线经过定点.21.解：（Ⅰ）依题意，因为，只要证，记，，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即，原不等式成立.（Ⅱ），记，.（1）当时，，在上单调递增，，，所以存在唯一，，且当时，；当，，①若，即时，对任意，，此时在上单调递增，无极值点.②若，即时，此时当或时，.即在，上单调递增；当时，，即在上单调递减.此时有一个极大值点和一个极小值点1.③若，即时，此时当或时，.即在，上单调递增；当时，，即在上单调递减.此时有一个极大值点1和一个极小值点.（2）当时，，所以，显然在单调递减；在上单调递增.综上可得：①当或时，有两个极值点；②当时，无