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文档简介

江西省宜春上2025届高三第六次模拟考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.圆心为且和轴相切的圆的方程是()A. B.C. D.2.设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则A.PQ B.QPC.Q D.Q3.已知函数且的图象恒过定点,则函数图象以点为对称中心的充要条件是()A. B.C. D.4.已知圆关于双曲线的一条渐近线对称,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.5.若,,,则()A. B.C. D.6.正方形的边长为,是正方形内部(不包括正方形的边)一点,且,则的最小值为()A. B. C. D.7.函数的图象在点处的切线为,则在轴上的截距为()A. B. C. D.8.如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则()A.1 B. C.2 D.39.若的展开式中的系数之和为,则实数的值为()A. B. C. D.110.记为等差数列的前项和.若,,则()A.5 B.3 C.-12 D.-1311.若集合,,则A. B. C. D.12.设i为数单位,为z的共轭复数,若,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线与双曲线左支交于两点,,的内切圆的圆心的纵坐标为,则双曲线的离心率为________.14.数学家狄里克雷对数论,数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一.函数,称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:①的值域为;②;③;④其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)15.若函数在和上均单调递增,则实数的取值范围为________.16.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,已知三棱柱中,与是全等的等边三角形.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人.(1)填写下面列联表,并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关?城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200(2)从该地区城镇居民中,随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动,记这5位居民中经常阅读的人数为,若用样本的频率作为概率,求随机变量的期望.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.20.(12分)某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动,当天各店铺销售额破十亿,为了提高各店铺销售的积极性,采用摇号抽奖的方式,抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额(单位:千元)的频率分布直方图.(1)求抽取的这家店铺,元旦当天销售额的平均值;(2)估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家;(3)为了了解抽取的各店铺的销售方案,销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究,求抽取的店铺销售额在中的个数的分布列和数学期望.21.(12分)如图,已知四棱锥,底面为边长为2的菱形,平面,,是的中点,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)若为上的动点,求与平面所成最大角的正切值.22.(10分)已知函数.(1)当时,求函数的值域.(2)设函数,若,且的最小值为,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

求出所求圆的半径,可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为且和轴相切的圆的半径为,因此,所求圆的方程为.故选:A.【点睛】本题考查圆的方程的求解,一般求出圆的圆心和半径,考查计算能力,属于基础题.2、C【解析】

解:因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},因此选C3、A【解析】

由题可得出的坐标为,再利用点对称的性质,即可求出和.【详解】根据题意,,所以点的坐标为,又,所以.故选:A.【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用,属于基础题.4、C【解析】

将圆,化为标准方程为,求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,.再根据求解.【详解】已知圆,所以其标准方程为:,所以圆心为.因为双曲线,所以其渐近线方程为,又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,所以.所以.故选:C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性,还有双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.5、C【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系,进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的增函数,则,即;指数函数为上的增函数,则;指数函数为上的减函数,则.综上所述,.故选:C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较,一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较,考查推理能力,属于基础题.6、C【解析】

分别以直线为轴,直线为轴建立平面直角坐标系,设,根据,可求,而,化简求解.【详解】解:建立以为原点,以直线为轴,直线为轴的平面直角坐标系.设,,,则,,由,即,得.所以=,所以当时,的最小值为.故选:C.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示,属于基础题.7、A【解析】

求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程,从而可求切线的纵截距.【详解】,故,所以曲线在处的切线方程为:.令,则,故切线的纵截距为.故选:A.【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距,注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标,因此截距有正有负,本题属于基础题.8、C【解析】

连接AO,因为O为BC中点,可由平行四边形法则得,再将其用,表示.由M、O、N三点共线可知,其表达式中的系数和,即可求出的值.【详解】连接AO,由O为BC中点可得,,、、三点共线,,.故选:C.【点睛】本题考查了向量的线性运算,由三点共线求参数的问题,熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.9、B【解析】

由,进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数,令二者之和等于,可求出实数的值.【详解】由,则展开式中的系数为,展开式中的系数为,二者的系数之和为,得.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.10、B【解析】

由题得,,解得,,计算可得.【详解】,,,,解得,,.故选:B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,前项和公式,考查了学生运算求解能力.11、C【解析】

解一元次二次不等式得或,利用集合的交集运算求得.【详解】因为或,,所以,故选C.【点睛】本题考查集合的交运算,属于容易题.12、A【解析】

由复数的除法求出,然后计算.【详解】,∴.故选:A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算,考查共轭复数的概念,掌握复数的运算法则是解题关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】

由题意画出图形,设内切圆的圆心为,圆分别切于,可得四边形为正方形,再由圆的切线的性质结台双曲线的定义,求得的内切圆的圆心的纵坐标,结合已知列式,即可求得双曲线的离心率.【详解】设内切圆的圆心为,圆分别切于,连接,则,故四边形为正方形,边长为圆的半径,由,,得,与重合,,,即——①,——②联立①②解得:,又因圆心的纵坐标为,.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的几何性质,考查数形结合思想与运算求解能力,属于中档题.14、②【解析】

根据新定义,结合实数的性质即可判断①②③,由定义求得比小的有理数个数,即可确定④.【详解】对于①,由定义可知,当为有理数时;当为无理数时,则值域为,所以①错误;对于②,因为有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,所以满足,所以②正确;对于③,因为,当为无理数时,可以是有理数,也可以是无理数,所以③错误;对于④,由定义可知,所以④错误;综上可知,正确的为②.故答案为:②.【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用,正确理解题意是解决此类问题的关键,属于中档题.15、【解析】

化简函数,求出在上的单调递增区间,然后根据在和上均单调递增,列出不等式求解即可.【详解】由知,当时,在和上单调递增,在和上均单调递增,,

的取值范围为:.

故答案为:.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质,关键是根据函数的单调性列出关于m的方程组,属中档题.16、(或写成)【解析】

设与的夹角为,通过,可得,化简整理可求出,从而得到答案.【详解】设与的夹角为可得,故,将代入可得得到,于是与的夹角为.故答案为:.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算,向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键,意在考查学生的转化能力,分析能力及计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)取BC的中点O,则,由是等边三角形,得,从而得到平面,由此能证明(2)以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到结果.【详解】(1)取BC的中点O,连接,,由于与是等边三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)设,是全等的等边三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,设平面的一个法向量为,则,令,则,又平面的一个法向量为,所以二面角的余弦值为,即二面角的余弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,属于中档题目.18、(1)见解析,有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)【解析】

(1)根据题意填写列联表,利用公式求出,比较与6.635的大小得结论;(2)由样本数据可得经常阅读的人的概率是,则,根据二项分布的期望公式计算可得;【详解】解:(1)由题意可得:城镇居民农村居民合计经常阅读10030130不经常阅读403070合计14060200则,所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)根据样本估计,从该地区城镇居民中随机抽取1人,抽到经常阅读的人的概率是,且,所以随机变量的期望为.【点睛】本题考查独立性检验的应用,考查离散型随机变量的数学期望的计算,考查运算求解能力,属于基础题.19、(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析【解析】

(Ⅰ)求导得到,,解得答案.(Ⅱ),故,在上单调递减,在上单调递增,,设,证明函数单调递减,故,得到证明.【详解】(Ⅰ),故,,故.(Ⅱ),即,存在唯一零点,设零点为,故,即,在上单调递减,在上单调递增,故,设,则,设,则,单调递减,,故恒成立,故单调递减.,故当时,.【点睛】本题考查了函数的切线问题,利用导数证明不等式,转化为函数的最值是解题的关键.20、(1)元;(2)32家;(3)分布列见解析;【解析】

(1)根据频率分布直方图求出各组频率,再由平均数公式,即可求解;(2)求出的频率即可;(3)中的个数的所有可能取值为,,,求出可能值的概率,得到分布列,由期望公式即可求解.【详解】(1)频率分布直方图销售额的平均值为千元,所以销售额的平均值为元;(2)不低于元的有家(3)销售额在的店铺有家,销售额在的店铺有家.选取两家,设销售额在的有家.则的所有可能取值为,,.,,所以的分布列为数学期望【点睛】本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数,考查离散型随机变量的分布列和期望,属于基础题.21、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)由底面为边长为2的菱形,平面,,易证平面,可得;(Ⅱ)连结,由(Ⅰ)易知为与平面所成的角,在中,可求得.试题解析:(Ⅰ)∵四边形为菱形,且,∴为正三角形,又为中点,∴;又,∴,∵平面,又平面,∴,∴平面,又平面,∴;(Ⅱ)连结,由(Ⅰ)知平面,∴为与平面所成的角,在中,,最大当且仅当最短,即时最大,依题意,此时,在中,,∴,,∴与平面所成最大角的正切值为.考点:1.线线垂直证明;2.求线面角.22、(1);(2).【解析】

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