2025届北京市西城区第三十一中学高考数学四模试卷含解析

2025届北京市西城区第三十一中学高考数学四模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，则（）A． B． C． D．2．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤3．已知数列是公比为的等比数列，且，若数列是递增数列，则的取值范围为（）A． B． C． D．4．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为（）A．1 B．2 C．4 D．86．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．已知函数且，则实数的取值范围是()A． B． C． D．8．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．9．把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A． B． C． D．10．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A． B． C． D．11．定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知F是双曲线（k为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（）A．2k B．4k C．4 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数满足，则的最小值是______________.14．在的展开式中，的系数为________．15．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则__________.16．已知，，求____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围．18．（12分）已知矩形中，，E，F分别为，的中点.沿将矩形折起，使，如图所示.设P、Q分别为线段，的中点，连接.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，，侧面是菱形.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．（1）当直线的倾斜角为时，求线段AB的中点的横坐标；（2）设点A关于轴的对称点为C，求证：M，B，C三点共线；（3）设过点M的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点P，使得（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．21．（12分）已知首项为2的数列满足.（1）证明：数列是等差数列．（2）令，求数列的前项和.22．（10分）已知函数.（1）若函数的图象与轴有且只有一个公共点，求实数的取值范围；（2）若对任意成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用交集的定义直接计算即可.【详解】，故，故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.2、C【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列则由等差数列的性质得，故选C3、D【解析】

先根据已知条件求解出的通项公式，然后根据的单调性以及得到满足的不等关系，由此求解出的取值范围.【详解】由已知得，则.因为，数列是单调递增数列，所以，则，化简得，所以.故选：D.【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据之间的大小关系分析问题.4、B【解析】

先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.【详解】设,根据图象可知,,再由,取,∴.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,∴.,,令,则,显然,∴是的必要不充分条件.故选：B．【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换,二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.5、C【解析】

设抛物线的解析式，得焦点为，对称轴为轴，准线为，这样可设点坐标为，代入抛物线方程可求得，而到直线的距离为，从而可求得三角形面积．【详解】设抛物线的解析式，则焦点为，对称轴为轴，准线为，∵直线经过抛物线的焦点，，是与的交点，又轴，∴可设点坐标为，代入，解得，又∵点在准线上，设过点的的垂线与交于点，，∴.故应选C.【点睛】本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出点坐标，从而求得参数的值．本题难度一般．6、B【解析】

先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x，∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，∴kl，∴直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得y或y，∵，∴2•，∴ab，∴c＝2b，∴e．故选B．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．7、B【解析】

构造函数，判断出的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【详解】构造函数，由解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，而，所以在定义域上为增函数，且.由得，即，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.8、A【解析】

联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.【详解】联立方程，解方程可得或，不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，因为，，由平面向量垂直的坐标表示可得，，因为，所以a2-c2=ac，两边同时除以可得，，解得e=或（舍去），所以该椭圆的离心率为.故选：A【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.9、D【解析】

试题分析：把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），可得的图象；再将图象向右平移个单位，可得的图象，那么所得图象的一个对称中心为，故选D.考点：三角函数的图象与性质.10、C【解析】

由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【详解】解：由题意知：，，设，则在中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.11、B【解析】

结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.【详解】结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故可以转换为对应于恒成立,即即对恒成立即对恒成立令,则上递增,在上递减,所以令,在上递减所以.故,故选B.【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.12、D【解析】

分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当时,等式不是双曲线的方程；当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示.由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z的直线系，平移直线，易知当直线经过点时，直线的纵截距最小，目标函数取得最小值，且.故答案为：-8【点睛】本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.14、【解析】

根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.【详解】的展开式中，所求项为：，的系数为.

故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.15、【解析】

设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，进而可求得和的值，利用等比数列求和公式可求得的值.【详解】由等比数列的性质可得，，由于与的等差中项为，则，则，，，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.16、【解析】

求出向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果.【详解】，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）增区间为，减区间为；（2）.【解析】

（1）将代入函数的解析式，利用导数可得出函数的单调区间；（2）求函数的导数，分类讨论的范围，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最值可判断是否恒成立，可得实数的取值范围．【详解】（1）当时，，则，当时，，则，此时，函数为减函数；当时，，则，此时，函数为增函数.所以，函数的增区间为，减区间为；（2），则，.①当时，即当时，，由，得，此时，函数为增函数；由，得，此时，函数为减函数.则，不合乎题意；②当时，即时，.不妨设，其中，令，则或.（i）当时，，当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数；当时，，此时，函数为增函数.此时，而，构造函数，，则，所以，函数在区间上单调递增，则，即当时，，所以，.，符合题意；②当时，，函数在上为增函数，，符合题意；③当时，同理可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导和分类讨论是关键，属于难题.18、（1）证明见解析（2）【解析】

(1)取中点R，连接，,可知中,且,由Q是中点,可得则有且,即四边形是平行四边形,则有,即证得平面.(2)建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量:,然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值.【详解】（1）取中点R，连接，，则在中，，且，又Q是中点，所以，而且，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在平面内作交于点G，以E为原点，，，分别为x，y，x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，所以，，设平面的一个法向量为，则即，取，得，又平面的一个法向量为，所以.因此，二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面平行的判定,考查利用空间向量求解二面角,考查逻辑推理能力及运算求解能力,难度一般.19、（1）见解析（2）【解析】

（1）取中点，连接，，通过证明，得，结合可证线面垂直，继而可证面面垂直.（2）设，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，继而可求二面角的余弦值.【详解】解析：（1）取中点，连接，，由已知可得，，，∵侧面是菱形，∴，，，即，∵，∴平面，∴平面平面.（2）设，则，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令得.同理可求得平面的法向量，∴.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.20、(1)AB的中点的横坐标为；（2）证明见解析；（3）【解析】

设.（1）因为直线的倾斜角为，，所以直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理，得，则，故线段AB的中点的横坐标为．（2）根据题意得点，若直线AB的斜率为0，则直线AB的方程为，A、C两点重合，显然M，B，C三点共线；若直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理得，则，设直线BM、CM的斜率分别为、，则，即=，即M，B，C三点共线．（3）根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为，设，联立方程组，消去并整理，得，由，整理得，又，所以，结合，得，当时，该直线为轴，即，此时椭圆上任意一点P都满足，此时符合题意；当时，由，得，代入椭圆C的方程，得，整理，得，再结合，得到，即，综上，得到实数的取值范围是．21、（1）见解析；（2）【解析】

（1）由原式可得,等式两