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文档简介

西藏拉萨那曲第二高级中学2025届高三第六次模拟考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点,点为的中点,若满足,则动点的轨迹的长度为()A. B. C. D.2.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则的大小为()A. B. C. D.3.某高中高三(1)班为了冲刺高考,营造良好的学习氛围,向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上,小王,小董,小李各写了一幅书法作品,分别是:“入班即静”,“天道酬勤”,“细节决定成败”,为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的,班主任对三人进行了问话,得到回复如下:小王说:“入班即静”是我写的;小董说:“天道酬勤”不是小王写的,就是我写的;小李说:“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的,则“入班即静”的书写者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李4.如图,在中,点为线段上靠近点的三等分点,点为线段上靠近点的三等分点,则()A. B. C. D.5.已知,则的值构成的集合是()A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几何体中最长的棱长为().A. B. C.1 D.7.下列函数中既关于直线对称,又在区间上为增函数的是()A.. B.C. D.8.已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.已知函数,,若对任意的总有恒成立,记的最小值为,则最大值为()A.1 B. C. D.10.设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a的值为()A. B.3 C.1 D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点P是C的右支上一点,连接与y轴交于点M,若(O为坐标原点),,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.12.设抛物线上一点到轴的距离为,到直线的距离为,则的最小值为()A.2 B. C. D.3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列的各项均为正数,满足,.,若是等比数列,数列的通项公式_______.14.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中各项的系数和是________.15.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的高三年级为12人,则抽取的样本容量为________人.16.已知函数,,若函数有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),则的取值范围是_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知各项均为正数的数列的前项和为,且,(,且)(1)求数列的通项公式;(2)证明:当时,18.(12分)新高考,取消文理科,实行“”,成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况,随机调查50人(把年龄在称为中青年,年龄在称为中老年),并把调查结果制成下表:年龄(岁)频数515101055了解4126521(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率;(2)请根据上表完成下面列联表,是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查,记选中的3人中了解新高考的人数为,求的分布列以及.19.(12分)在极坐标系中,已知曲线C的方程为(),直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A,B两点,且,求r的值.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到曲线,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)曲线上是否存在不同的两点,(以上两点坐标均为极坐标,,),使点、到的距离都为3?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.21.(12分)如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,.(1)求证:平面平面;(2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.22.(10分)已知椭圆的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线垂直,垂足为B,且点A是线段BF的中点.(I)求椭圆C的方程;(II)若M,N分别为椭圆C的左,右顶点,P是椭圆C上位于第一象限的一点,直线MP与直线交于点Q,且,求点P的坐标.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设的中点为,利用正方形和正方体的性质,结合线面垂直的判定定理可以证明出平面,这样可以确定动点的轨迹,最后求出动点的轨迹的长度.【详解】设的中点为,连接,因此有,而,而平面,,因此有平面,所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线.正方体的棱长为2,所以内切球的半径为,建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系:因此有,设平面的法向量为,所以有,因此到平面的距离为:,所以截面圆的半径为:,因此动点的轨迹的长度为.故选:C【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用,考查了立体几何中轨迹问题,考查了球截面的性质,考查了空间想象能力和数学运算能力.2、C【解析】

根据椭圆的定义可得,,再利用余弦定理即可得到结论.【详解】由题意,,,又,则,由余弦定理可得.故.故选:C.【点睛】本题考查椭圆的定义,考查余弦定理,考查运算能力,属于基础题.3、D【解析】

根据题意,分别假设一个正确,推理出与假设不矛盾,即可得出结论.【详解】解:由题意知,若只有小王的说法正确,则小王对应“入班即静”,而否定小董说法后得出:小王对应“天道酬勤”,则矛盾;若只有小董的说法正确,则小董对应“天道酬勤”,否定小李的说法后得出:小李对应“细节决定成败”,所以剩下小王对应“入班即静”,但与小王的错误的说法矛盾;若小李的说法正确,则“细节决定成败”不是小李的,则否定小董的说法得出:小王对应“天道酬勤”,所以得出“细节决定成败”是小董的,剩下“入班即静”是小李的,符合题意.所以“入班即静”的书写者是:小李.故选:D.【点睛】本题考查推理证明的实际应用.4、B【解析】

,将,代入化简即可.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算、数乘运算,考查学生的运算能力,是一道中档题.5、C【解析】

对分奇数、偶数进行讨论,利用诱导公式化简可得.【详解】为偶数时,;为奇数时,,则的值构成的集合为.【点睛】本题考查三角式的化简,诱导公式,分类讨论,属于基本题.6、B【解析】

首先由三视图还原几何体,进一步求出几何体的棱长.【详解】解:根据三视图还原几何体如图所示,所以,该四棱锥体的最长的棱长为.故选:B.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体,考查运算能力和推理能力,属于基础题.7、C【解析】

根据函数的对称性和单调性的特点,利用排除法,即可得出答案.【详解】A中,当时,,所以不关于直线对称,则错误;B中,,所以在区间上为减函数,则错误;D中,,而,则,所以不关于直线对称,则错误;故选:C.【点睛】本题考查函数基本性质,根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性,属于基础题.8、A【解析】

可将问题转化,求直线关于直线的对称直线,再分别讨论两函数的增减性,结合函数图像,分析临界点,进一步确定的取值范围即可【详解】可求得直线关于直线的对称直线为,当时,,,当时,,则当时,,单减,当时,,单增;当时,,,当,,当时,单减,当时,单增;根据题意画出函数大致图像,如图:当与()相切时,得,解得;当与()相切时,满足,解得,结合图像可知,即,故选:A【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题,导数研究函数增减性,找准临界是解题的关键,属于中档题9、C【解析】

对任意的总有恒成立,因为,对恒成立,可得,令,可得,结合已知,即可求得答案.【详解】对任意的总有恒成立,对恒成立,令,可得令,得当,当,,故令,得当时,当,当时,故选:C.【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题,解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.10、D【解析】

整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题,,因为纯虚数,所以,则,故选:D【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.11、C【解析】

利用三角形与相似得,结合双曲线的定义求得的关系,从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设,,由,与相似,所以,即,又因为,所以,,所以,即,,所以双曲线C的渐近线方程为.故选:C.【点睛】本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力。12、A【解析】

分析:题设的直线与抛物线是相离的,可以化成,其中是点到准线的距离,也就是到焦点的距离,这样我们从几何意义得到的最小值,从而得到的最小值.详解:由①得到,,故①无解,所以直线与抛物线是相离的.由,而为到准线的距离,故为到焦点的距离,从而的最小值为到直线的距离,故的最小值为,故选A.点睛:抛物线中与线段的长度相关的最值问题,可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

利用递推关系,等比数列的通项公式即可求得结果.【详解】因为,所以,因为是等比数列,所以数列的公比为1.又,所以当时,有.这说明在已知条件下,可以得到唯一的等比数列,所以,故答案为:.【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式,属于简单题目.14、【解析】

由题意得出展开式中共有11项,;再令求得展开式中各项的系数和.【详解】由的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以展开式中共有11项,所以;令,可求得展开式中各项的系数和是:.故答案为:1.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,考查二项式展开式各项系数和的求法,属于基础题.15、【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【详解】设抽取的样本为,则由题意得,解得.故答案为:【点睛】本题考查了分层抽样的知识,算出抽样比是解题的关键,属于基础题.16、【解析】

先根据题意,求出的解得或,然后求出f(x)的导函数,求其单调性以及最值,在根据题意求出函数有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),分情况讨论求出的取值范围.【详解】解:令t=f(x),函数有3个不同的零点,即+m=0有两个不同的解,解之得即或因为的导函数,令,解得x>e,,解得0<x<e,可得f(x)在(0,e)递增,在递减;f(x)的最大值为,且且f(1)=0;要使函数有3个不同的零点,(1)有两个不同的解,此时有一个解;(2)有两个不同的解,此时有一个解当有两个不同的解,此时有一个解,此时,不符合题意;或是不符合题意;所以只能是解得,此时=-m,此时有两个不同的解,此时有一个解此时,不符合题意;或是不符合题意;所以只能是解得,此时=,综上:的取值范围是故答案为【点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合,考查到了函数的零点,导函数的应用,以及数形结合的思想、分类讨论的思想,属于综合性极强的题目,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见证明【解析】

(1)由题意将递推关系式整理为关于与的关系式,求得前n项和然后确定通项公式即可;(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式.【详解】(1)由,得,即,所以数列是以为首项,以为公差的等差数列,所以,即,当时,,当时,,也满足上式,所以;(2)当时,,所以【点睛】给出与的递推关系,求an,常用思路是:一是利用转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.18、(1);(2)见解析,有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联;(3)分布列见解析,.【解析】

(1)分别求出中青年、中老年对高考了解的频数,即可求出概率;(2)根据数据列出列联表,求出的观测值,对照表格,即可得出结论;(3)年龄在的被调查者共5人,其中了解新高考的有2人,可能取值为0,1,2,分别求出概率,列出随机变量分布列,根据期望公式即可求解.【详解】(1)由题中数据可知,中青年对新高考了解的概率,中老年对新高考了解的概率.(2)列联表如图所示了解新高考不了解新高考总计中青年22830老年81220总计302050,所以有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联.(3)年龄在的被调查者共5人,其中了解新高考的有2人,则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为0,1,2,则;;.所以的分布列为012.【点睛】本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望,考查计算求解能力,属于基础题.19、【解析】

先将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程,可得圆心到直线的距离,再由勾股定理,计算即得.【详解】以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,可得曲线C:()的直角坐标方程为,表示以原点为圆心,半径为r的圆.由直线l的方程,化简得,则直线l的直角坐标方程方程为.记圆心到直线l的距离为d,则,又,即,所以.【点睛】本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程,是基础题.20、(1),(2)存在,【解析】

(1)先求得曲线的普通方程,利用伸缩变换的知识求得曲线的直角坐标方程,再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式,求得直线的直角坐标方程.(2)求得曲线的圆心和半径,计算出圆心到直线的距离,结合图像判断出存在符合题意,并求得的值.【详解】(1)曲线的普通方程为,纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线的直角坐标方程为,其极坐标方程为,直线的直角坐标方程为.(2)曲线是以为圆心,为半径的圆,圆心到直线的距离.∴由图像可知,存在这样的点,,则,且点到直线的距离,∴,∴.【点睛】本小题主要考查坐标变换,考查直线和圆的位置关系,考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化,考查参数方程化为普通方程,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.21、(1)见解析;(2)存在,长【解析】

(1)先证面,又因为面,所以平面平面.(2)根据题意建立空间直角坐标系.列出各点的坐标表示,设,则可得出向量,求出平面的法向量为,利用直线与平面所成角的正弦公式列方程求出或,从而求出线段的长.【详解】解:(1)证明:因为四边形为矩形,∴.∵∴∴∴面∴面又∵面∴平面平面(2)取为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系.如图所示:则,,,,,设,;∴,,设平面的法向量为,∴,不防设.∴,化简得,解得或;当时,,∴;当时,,∴;综上存在这样的点,线段的长.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,考查空间想象力以及计算能力.22、(I).(II)【解析】

(I)写出坐标,利用直线与直线垂直,得到.求出点的坐标代入,可得到的一个关系式,由此求得和的值,进而求得椭圆方程.(II)设出点的坐标,由此写出直线的方程,从而求得点的坐标,代入,化简可求得点的坐标.【详解】(I)∵椭圆的左焦点,上顶点,直线AF与直线垂直∴直线AF的斜率,即①又点A是线段BF的中点∴点的坐标为

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