河南省商丘市十校2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学（含答案）

1PAGE第12页普通高中2024—2025学年（上）高二年级期中考试数学（人教版）注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线经过点，，则直线的方程为（）A. B.C. D.2.若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（）A B. C. D.3已知直线与直线垂直，则实数（）A.3 B. C.2 D.14.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.5.已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（）A B. C. D.6.在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则（）A. B.C. D.7.已知点P为圆上一动点，若直线上存在两点A，B，满足，且，则r的最小值为（）A4 B.3 C.2 D.18.已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（）A. B. C.1 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，满足，，，则下列结论正确是（）A. B.C. D.10.已知直线的方程为，圆的方程为，则下列结论正确的是（）A.直线恒过定点B.圆的半径为12C.直线与圆恒有两个交点D.圆心到直线距离的最大值为11.已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角为B.抛物线的方程为C.D.点在以线段为直径的圆上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若α//β，x，，则______.13.已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为______.14.过圆上的一个动点作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆经过点，，且圆C与直线，均相切.（1）若经过圆心C的直线与，平行，求直线的方程；（2）求圆C的标准方程.16.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，，，，.（1）求直线与直线所成角的余弦值；（2）证明：M，C，G，H四点共面.17.已知点在双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0上，且的实轴长为（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与交于另一点，且点位于轴下方，若，求点的坐标.18.如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点E，F分别为，，的中点，且.（1）证明：平面平面；（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.19.已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”.（1）求“倒影椭圆”C的方程；（2）求“倒影椭圆”C的面积；（3）设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值.普通高中2024—2025学年（上）高二年级期中考试数学（人教版）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D2.【答案】A3【答案】B4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BC10.【答案】ACD11.【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】1013.【答案】14.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】【分析】（1）由题意直线到直线，的距离都等于圆的半径，设直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式计算即可；（2）根据题意利用待定系数法求出即可.【小问1详解】由题意直线到直线，的距离都等于圆的半径，设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为；【小问2详解】由题意可得，解得，所以圆C的标准方程为.16.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，得到方向向量，借助向量夹角余弦值公式计算即可；（2）借助向量法，运用空间向量共面的基本定理验证即可.【小问1详解】连接，因为四边形为菱形，又，所以为等边三角形，取的中点E，连接，则，所以.因为平面，平面平面，所以以A为原点，以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则由，可知所以于是故直线与直线所成角的余弦值为【小问2详解】证明：因为，所以分别为中点，则连接，则设，由（1）知则则解得所以故M，C，G，H四点共面.17.【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义及已知条件列出方程组来求解和.（2）利用三角形面积关系得到直线平行关系，进而得出直线方程，再通过联立直线方程与双曲线方程求解点的坐标.【小问1详解】由题设条件，可得，解得，故双曲线的标准方程为.【小问2详解】因为，所以点到直线的距离相等.又点位于轴下方，所以由（1）可知，所以，则直线的方程为联立整理得解得或.当时，点；当时，点，综上，点的坐标为或.18.【分析】（1）设，根据数量积的运算律求出，进而可得为的中点，从而可证明，，再根据线面垂直得判定定理以及面面垂直得判定定理即可得证；（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】设，则，则，所以，因为为的中点，所以，，则，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】由，可得，则，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则，则，设平面的法向量为m=x,y,z则，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，解得，所以的长度为.19.【解析】【分析】（1）根据“倒影距离”和“倒影椭圆”的定义求解即可；（2）分类讨论去绝对值符号，作出“倒影椭圆”的图象，再结合图象求面积即可；（3）先求出椭圆的方程，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再分别求出线段的中垂线的方程，设的外接圆的圆心的坐标为，由这两条中垂线方程得出的关系，进而可得出结论.【小问1详解】设Mx,y由“倒影距离”的定义可知，，，由题意，即，所以“倒影椭圆”C的方程为；【小问2详解】由，得，当时，，当时，由对称性知，，其图象如图所示，故“倒影椭圆”C的面积；【小问3详解】由上图知，“倒影椭圆”C