《电磁场与电磁波》矢量分析

矢量的基本运算

标量只有大小，如：长度、时间等矢量有大小有方向，如：位移、电场强度等1矢量和标量：直接用斜体字母表示，如l代表长度2标量的表示：3矢量的表示：有向线段长度：

A

的模箭头指向：A的方向1）几何表示2）解析表示：字母上加箭头

或黑体字A单位矢量:模为1的矢量采用e表示单位矢量A称为矢量的模3）

矢量的方向余弦表示：α，β，γ

表示矢量A与三坐标轴正方向之间的夹角，称为方向角xyozA4矢量的运算法则1)加减法：C=A+B平行四边形/三角形法则ABCABC多个矢量相加减：多边形法则C=A–B=A+（–B）A+B+CABCA+B+C矢量加减法满足交换律和结合律A–B=A+(–B)A+B=B+AA+(B+C)=(A+B)+C2)数乘矢量数乘满足交换律和结合律(p+k)A=pA+kAk(pA)=(pk)Ak(A+B)=kA+kB3)矢量的标积（点积，点乘）Bcosθ:B在A方向上的投影矢量标量积满足交换律和结合律判断两矢量垂直的方法则4)矢量的矢积（叉积、叉乘）大小：平行四边形面积方向：平行四边形面积的法向矢量矢量积的交换律和结合律注意！判断两矢量平行的方法则场的直观表示：场线场线:形象描绘场分布的工具1标量场的场线:等值线(面)场值相同的点构成的面/线200m300m400m100m稀：缓密：陡c取一不同的值，得到一系列等值面/线，充满场所在的整个空间等值面/线互不相交场中的每一点只与一等值面/线对应等值面的稀密程度反映场量的空间分布某温度场的表达式为求其等值面。解：等值面方程为2矢量场的场线:A矢量线/流线：1）矢量线定义：处处与矢量相切的曲线，线上每点的矢量方向与该点的切线方向相同B2）矢量线的形式：有头无尾有头有尾无头有尾无头有尾3）矢量线方程：

矢量场：Mz

y

x矢量线举例：电场强度线E线-+4）矢量线的作用：方向：矢量线的切线方向大小：疏密程度--矢量的大小及变化趋势A、B点的电场强度大小不同越密，矢量E的值越大-+标量场的方向导数和梯度φ(x,y,z,t)用标量描述的场，如温度场、高度场等可表示为1标量场等值面分布定性了解场的整体分布为什么引入方向导数？等值线可否？为了定量研究场的局部分布情况需要考察每个点的邻域内沿各方向的变化情况在标量场中：2标量场的方向导数1）

方向导数的引入：小虫如何逃生？为什么？1)各方向的变化快慢不同方向导数2)哪个方向的变化最快？温度下降最快梯度12345设标量函数

(x,y,z),

点M0可微,则

在点M0沿任意方向的方向导数为:当M0趋于M的极限MM0yxz2）

方向导数的定义：标量场沿某方向的变化率3）

方向导数的求解：方向余弦cosα、cosβ、cosγ为方向余弦方向导数和M0有关，也和有关标量场中点的方向变化率MM0yxz2）不同方向的变化快慢是一样的？1）方向导数是标量？矢量？3）方向导数能反映哪方向的变化率最大？4）标量能准确刻画标量场的空间变化率？几个问题：标量不是不能不能l方向改变，方向导数值也变3梯度哈密顿算子梯度gradient1）

梯度的物理意义标量场的梯度是矢量方向：该点最大方向导数的方向,即垂直于等值线（面）指向函数的增加方向大小：最大变化率，即该点最大方向导数;5040302010方向导数梯度例：高度场的梯度

方向：与等高线垂直，指向地势升高

大小：该点的最大陡度梯度:增加最快的方向方向导数=梯度在该方向上的投影小结等值面:只能反映标量分布的总体趋势梯度:场中每点变化最快的方向和最大的变化率求场在点(0,0.5,1)处的梯度。解：矢量场的通量和散度矢量线：描述矢量场的线大小：疏密方向：切线方向形象直观地描述矢量场矢量线的疏密可定性表征矢量场的大小实际需定量描述，故引入通量面元矢量面积元的法向单位矢量S

闭合，法矢量:由内指向外

1）面元矢量1通量2）通量矢量A

沿有向曲面S的面积分θ为锐角,dφ>0θ为钝角,dφ<0θ为直角,dφ=0通量源：管型源，场线有始有终通量的3种结果：净矢量线进入负通量源净矢量线穿出正通量源无源+-2通量意义：场源的总体情况通量源3）通量举例＋A点电荷是通量源-A点电荷通量：闭合面的所有通量源的整体特性，不能描述源分布特性:任意点的源分布强度--散度闭合面S所围区域

V以任意方式缩小为点时,通量与体积之比的极限存在，即散度(通量)源密度3散度散度散度意义：单位体积内散发的通量（通量的体密度）反映该点处通量源的强度(通量)源密度通量求每点的值体积收缩到一点散度的物理意义：•A=0

(无源）•A=

0(负源)•A=0

(正源)标量，通量源的分布特性计算公式对散度作体积分，就得到通量高斯公式通量=散度的体积积分矢量函数的面积分与体积分的相互转换4高斯公式(散度定理)实现了“面-点-体”的转化面点体矢量场的环量和旋度通量:有向曲面上的面积分值，表示体积内的通量源,分布强度用散度来描述矢量场还有另外一种源-涡流源打开出水口出水口水池l例：下漏的水激励出旋涡流速场A取环绕A的闭曲线lA它的场线是闭合的和它相对应的是线积分特点：lA1）有向曲线：指定了正方向的曲线M2M12）有向线元：有向曲线上长度趋于0的微元（可看作直线），方向与曲线正方向同正方向1有向线元

矢量A沿空间有向闭合曲线l的线积分

l正方向d

lA2环量导线导线l电流激励出旋涡磁场B

，是旋涡源取环绕该旋涡场B的闭曲线l，无电流：无磁场BI环量只能反映闭合曲线内漩涡源的整体特性任意点的源分布强度特性，引入旋度的概念l

包围了一定面积导线lBI环量密度环量求每点的值旋度求max值面积收缩到点1)闭合曲线包围的面积→0

时的环量2)计算该环量的最大取值环量除以闭合曲线所围面积3环量密度1）环量密度过点P作微小曲面

S,它的边界曲线记为l,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋。当

S

点P时,存在极限环量密度Pl正方向n

SA环量密度的值和方向有关？比较路径L1、L2和L3，对应的环量面密度的大小?L1L2L3AP平面上有一点P，P点的矢量A的方向如图所示，过P点可做多条有向曲线L3与A垂直，故环量为零，环量密度为零L1，L2对应的环量密度不为零L1对应的环量密度最大在同一位置点(如P)的不同路径，对应的环量密度不唯一L1L2L3AP什么方向，环量密度的值最大？L1对应的环量密度最大L1的特点?L1L2L3APL1的特点：1

它是使该点环量及其密度取得最大值的路径2

其他任意路径所对应的环量均可由它间接求得3

它的法线正好是引发矢量涡旋的轴线

L1L2L3APL1的环量密度最大，定义为旋度大小：为P

点的环流面密度最大值方向：环量密度取最大值时，面积元的法向物理意义：描述了该点处旋涡源密度矢量4旋度旋度在直角坐标系下

矢量的旋度:矢量大小:该点环量密度的最大值在矢量场中，若

A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)方向:该点最大环量密度的方向

若矢量场处处

A=0，称之为无旋场5旋度的物理意义例：判断矢量场的旋度性质=0

0=0

A

是环量密度Stockes定理

矢量函数的线积分与面积分的互换场A与边界l上的场A之间的关系环量=旋度的面积积分6斯托克斯(Stockes)定理线点面实现了“线-点-面”的转化矢量场的环量和旋度通量:有向曲面上的面积分值，表示体积内的通量源,分布强度用散度来描述矢量场还有另外一种源-涡流源打开出水口出水口水池l例：下漏的水激励出旋涡流速场A取环绕A的闭曲线lA它的场线是闭合的和它相对应的是线积分特点：lA1）有向曲线：指定了正方向的曲线M2M12）有向线元：有向曲线上长度趋于0的微元（可看作直线），方向与曲线正方向相同正方向1有向线元

矢量A沿空间有向闭合曲线l的线积分

l正方向d

lA2环量导线导线l电流激励出旋涡磁场B

，是旋涡源取环绕该旋涡场B的闭曲线l，无电流：无磁场BI环量只能反映闭合曲线内漩涡源的整体特性任意点的源分布强度特性，引入旋度的概念l

包围了一定面积导线lBI环量密度环量求每点的值旋度求max值面积收缩到点1)闭合曲线包围的面积→0

时的环量2)计算该环量的最大取值环量除以闭合曲线所围面积3环量密度1）环量密度过点P作微小曲面

S,它的边界曲线记为l,面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋。当

S

点P时,存在极限环量密度Pl正方向n

SA环量密度的值和方向有关？比较路径L1、L2和L3，对应的环量面密度的大小?L1L2L3AP平面上有一点P，P点的矢量A的方向如图所示，过P点可作多条有向曲线L3与A垂直，故环量为零，环量密度为零L1，L2对应的环量密度不为零L1对应的环量密度最大在同一位置点(如P)的不同路径，对应的环量密度不唯一L1L2L3AP什么方向，环量密度的值最大？L1对应的环量密度最大L1的特点?L1L2L3APL1的特点：1

它是使该点环量及其密度取得最大值的路径2

其他任意路径所对应的环量均可由它间接求得3

它的法线正好是引发矢量涡旋的轴线

L1L2L3APL1的环量密度最大，定义为旋度大小：为P

点的环量面密度最大值方向：环量密度取最大值时，面积元的法向物理意义：描述了该点处旋涡源密度矢量4旋度旋度在直角坐标系下

矢量的旋度:矢量大小:该点环量密度的最大值在矢量场中，若

A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)方向:该点最大环量密度的方向

若矢量场处处

A=0，称之为无旋场5旋度的物理意义例：判断矢量场的旋度性质=0

0=0

A

是环量密度Stockes定理

矢量函数的线积分与面积分的互换场A与边界l上的场A之间的关系环量=旋度的面积积分6斯托克斯(Stockes)定理线点面实